(1-\sqrt{1-a^2})/a v 1

[severe]

Что больше \( \frac{1-\sqrt{1-a^2}}{a} \) или \( 1 \)?
\( 0<a<1 \)

[Иван Горин]

Что больше \( \frac{1-\sqrt{1-a^2}}{a} \) или \( 1 \)?
\( 0<a<1 \)

\(\frac{1-\sqrt{1-a^2}}{a}<1\)
Функция слева имеет минимум в точке a=0, и возрастает от 0 до 1.

[severe]

\(\frac{1-\sqrt{1-a^2}}{a}<1\)
Функция слева имеет минимум в точке a=0, и возрастает от 0 до 1.

Задача имеет более наглядное решение.
\( 0<a<1 \)
\( a<1 \)
\( 2a<2 \)
\( a+a<2 \)
\( a<2-a \)
\( a^2<a(2-a) \)
\( a^2<2a-a^2 \)
\( -a^2>-2a+a^2 \)
\( 1-a^2>1-2a+a^2 \)
\( 1-a^2>(1-a)^2 \)
\( \sqrt{1-a^2}>1-a \)
\( -\sqrt{1-a^2}<a-1 \)
\( 1-\sqrt{1-a^2}<a \)
\( \frac{1-\sqrt{1-a^2}}{a}<1 \)

[severe]

Практическое применение неравенства.
Неравенство даёт понять, что события \( (x_n=\frac{n}{v}\cdot\frac{\gamma-1}{\gamma}, t_n=n) \) времениподобные. Здесь \( c=1 \), \( 0<v<1 \)
Это последовательность событий, для которой, если \( t_n=n \), то \( t'_n=n \).