Неопределённости вида 0^0

[Иван Горин]

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D0%BB%D1%8C_%D0%B2_%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8
В любом случае соглашение \( 0^{0}=1 \) чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке, в противном случае может возникнуть ошибка.

Можно строго доказать, что \(0^0=1\)
\(x^x=e^{x \ln x}\)
\(\displaystyle  \lim_{x\to 0}x \ln x =-\infty *0\)
Раскроем неопределённость по правилу Лопиталя
\(\displaystyle  \lim_{x\to 0}x \ln x =\lim_{x\to 0}\frac{\ln x}{x^{-1}}\)
Берём производную от числителя и знаменателя
\(\displaystyle  \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=-\lim_{x\to 0}x=0\)
\(e^{-0}=1\)
\(0^0=1\)

[severe]

Можно строго доказать, что \(0^0=1\)
\(x^x=e^{x \ln x}\)
\(\displaystyle  \lim_{x\to 0}x \ln x =-\infty *0\)
Раскроем неопределённость по правилу Лопиталя
\(\displaystyle  \lim_{x\to 0}x \ln x =\lim_{x\to 0}\frac{\ln x}{x^{-1}}\)
Берём производную от числителя и знаменателя
\(\displaystyle  \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=-\lim_{x\to 0}x=0\)
\(e^{-0}=1\)
\(0^0=1\)

Правило Лопиталя действует только для раскрытия неопределённостей вида \( 0/0 \) и \( \infty/\infty \).
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D0%9B%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8F
Если бы можно было строго доказать, что \(0^0=1\), то не существовало бы раскрытия неопределенности вида \(0^0\).
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5_%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9

[Иван Горин]

Правило Лопиталя действует только для раскрытия неопределённостей вида \( 0/0 \) и \( \infty/\infty \).

Я ПРИВЁЛ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ К ВИДУ \( \infty/\infty \)
\(\displaystyle  \lim_{x\to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=-\frac{\infty }{\infty }\)
и раскрыл её по правилу Лопиталя.
\(x^{-1}=1/x\) возможно в моих формулах тебе непонятно что это такое.

[severe]

Я ПРИВЁЛ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ К ВИДУ \( \infty/\infty \)
\(\displaystyle  \lim_{x\to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=-\frac{\infty }{\infty }\)
и раскрыл её по правилу Лопиталя.
\(x^{-1}=1/x\) возможно в моих формулах тебе непонятно что это такое.

OK. И что теперь неопределенности вида \( 0^0 \) больше не существует?

[Иван Горин]

OK. И что теперь неопределенности вида \( 0^0 \) больше не существует?

Существует, но для каждого случая надо раскрывать такую неопределённость, также как раскрываются неопределённости типов
\(\displaystyle  \frac{0}{0}\) и \(\displaystyle \frac{\infty }{\infty }\)

[severe]

Разумеется не существует.

Раскрытие неопределенности \( 0^0 \): https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D0%BB%D1%8C_%D0%B2_%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8#%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5_%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_00
Ваш случай разобран первым.

[Иван Горин]

Раскрытие неопределенности \( 0^0 \): https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D0%BB%D1%8C_%D0%B2_%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8#%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5_%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_00
Ваш случай разобран первым.

Разберём подробно  неопределённость 0^0 .

[Иван Горин]

Разберём подробно  неопределённость 0^0 .

Рассмотрим такие неопределённости четырёх видов.
1. \(y=0^0\)
2. \(y=\displaystyle \lim_{x \to 0}x^x\)
3. \(y=\displaystyle \lim_{x \to 0}0^x\)
4. \(y=\displaystyle \lim_{x \to 0}x^0\)
Кто сможет вывести формулы самостоятельно без ссылок на википедии?
Справа в формулах 0 это числа, а не функции.

[Иван Горин]

Рассмотрим такие неопределённости четырёх видов.
1. \(y=0^0\)
2. \(y=\displaystyle \lim_{x \to 0}x^x\)
3. \(y=\displaystyle \lim_{x \to 0}0^x\)
4. \(y=\displaystyle \lim_{x \to 0}x^0\)
Кто сможет вывести формулы самостоятельно без ссылок на википедии?
Справа в формулах 0 это числа, а не функции.

Все эти четыре примера можно доказать самым простым способом без применения высшей математики.
Примем за  нуль глубокий компьютерный нуль.
Например \(0=10^{-100}\)
\(y=0^0=10^{0*lg0}=\)
\({0*lg0}=10^{-100}*lg(10^{-100})=-100*10^{-100}*lg10=-100*10^{-100}=-10^2*10^{-100}=-10^{-98}\approx -0\)
В пределе точно 0.
\(y=0^0=10^{-0}=1\)
Вариант первый это не предел, а число.
Предлагаю отгадать , какие из оставшихся вариантов имеют одинаковые пределы справа и слева.
Назвать цифры.

[severe]

Все эти четыре примера можно доказать самым простым способом без применения высшей математики.
Примем за  нуль глубокий компьютерный нуль.
Например \(0=10^{-100}\)
\(y=0^0=10^{0*lg0}=\)
\({0*lg0}=10^{-100}*lg(10^{-100})=-100*10^{-100}*lg10=-100*10^{-100}=-10^2*10^{-100}=-10^{-98}\approx -0\)
В пределе точно 0.
\(y=0^0=10^{-0}=1\)
Вариант первый это не предел, а число.
Предлагаю отгадать , какие из оставшихся вариантов имеют одинаковые пределы справа и слева.
Назвать цифры.

Только четвертый. Второй и третий не имеют пределов слева. Третий, потому что функция \( 0^x \) не определена для отрицательных \( x \). Второй, потому что при стремлении к нулю слева будут попадаться комплексные числа типа \( (-\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}} \).

[Иван Горин]

Только четвертый. Второй и третий не имеют пределов слева. Третий, потому что функция \( 0^x \) не определена для отрицательных \( x \). Второй, потому что при стремлении к нулю слева будут попадаться комплексные числа типа \( (-\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}} \).

А теперь правильный ответ:
3 и 4.

[severe]

А теперь правильный ответ:
3 и 4.

Какова область определения функции \( f(x)=0^x \)?

[Иван Горин]

Какова область определения функции \( f(x)=0^x \)?

\(\displaystyle (-\infty, \infty )  \)

\(0^x=\infty\) при \(\displaystyle x=[-\infty, 0^{-} )  \)
\(0^x=1\) при \(\displaystyle x= 0^{-}   \) предел слева

\(0^x=1\) при \(\displaystyle x=0^{+}   \) предел справа
\(0^x=0\) при \(\displaystyle x= (0^{+} , \infty] \)