Обозначим искомый интеграл \(I\):
\(\displaystyle I=\int\limits_0^1 dx\frac{\ln(x+1/x)}{1+x^2}.\)
Воспользуемся заменой \(x=\mathrm{tg}\,\theta\):
\(\displaystyle I=\int\limits_0^{\pi/4}d\theta\ln(\mathrm{tg}\,\theta+\mathrm{ctg}\,\theta)=\int\limits_0^{\pi/4}d\theta\ln\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}.\) (1)
Далее заменим \(\theta=\pi/2-\beta\):
\(\displaystyle I=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}d\beta\ln\frac{1}{\sin\beta\cos\beta}.\) (2)
Складываем левые и правые части уравнений (1) и (2):
\(\displaystyle 2I=\int\limits_0^{\pi/2}d\beta\ln\frac{1}{\sin\beta\cos\beta}, \qquad 2I=-\int\limits_0^{\pi/2}d\beta\ln\sin\beta-\int\limits_0^{\pi/2}d\beta\ln\cos\beta.\)
В первом из интегралов переобозначаем \(\beta=\alpha\), а во втором заменяем \(\beta=\pi/2-\alpha\):
\(\displaystyle 2I=-\int\limits_0^{\pi/2}d\alpha\ln\sin\alpha-\int\limits_0^{\pi/2}d\alpha\ln\sin\alpha, \qquad I=-\int\limits_0^{\pi/2}d\alpha\ln\sin\alpha.\) (3)
Возвращаемся к (1):
\(\displaystyle I=\int\limits_0^{\pi/4}d\theta\ln\frac{2}{\sin2\theta}=\int\limits_0^{\pi/4}d\theta\ln 2 -\int\limits_0^{\pi/4}d\theta\ln\sin 2\theta.\)
В последнем интеграле выполняем замену \(\alpha=2\theta\):
\(\displaystyle I=\frac{\pi}{4}\ln 2 -\frac{1}{2}\int\limits_0^{\pi/2}d\alpha\ln\sin\alpha.\) (4)
Подставляя теперь в (4) соотношение (3), получаем уравнение \(\displaystyle I=\frac{\pi}{4}\ln 2 +\frac{1}{2}I\), откуда находим окончательный ответ \(\displaystyle I=\frac{\pi}{2}\ln 2\).
