Об устойчивости системы Земля-Луна

[VPD]

Средняя мощность за один оборот Луны \(1.209 \cdot 10^{11}~ Вт\).
Вы не учитываете кинетическую энергию орбитального движения.

  Да, не  учитывал.  Для упрощения.
   Но и с учётом кинетической энергии Луны точно одного года для подъёма не хватает.
   Скорее всего, из-за эмпирического коэффициента 0, 165 в формуле Бялко.
   

[Ost]

  Да, не  учитывал.  Для упрощения.
   Но и с учётом кинетической энергии Луны точно одного года для подъёма не хватает.
   Скорее всего, из-за эмпирического коэффициента 0, 165 в формуле Бялко.

Да, похоже на коэффициент.
Коэффициент меньше по моменту инерции на \(17.5 \%\).
Величина мощности меньше примерно на \(21 \%\).

[VPD]

Да, похоже на коэффициент.
Коэффициент меньше по моменту инерции на \(17.5 \%\).
Величина мощности меньше примерно на \(21 \%\).

.  Тогда не совпадение  по времени подьема станет больше.

[Ost]

Тогда не совпадение  по времени подъёма станет больше.

Если формально использовать коэффициент в моменте инерции Земли равный \(2/5\), а не \(0.33\),
то при его входных данных, время подъёма будет только на \(5.5 \%\) больше года, по сравнению с моим расчётом.

[VPD]

Если формально использовать коэффициент в моменте инерции Земли равный \(2/5\), а не \(0.33\),
то при его входных данных, время подъёма будет только на \(5.5 \%\) больше года, по сравнению с моим расчётом.

У него проблема в том, что вычисленная им мощность не соответствует реальному угловому ускорению Земли,
если исходить из величины замедления \(1.78 \cdot 10^{-5}~с\) в год.

  Однако я считаю, что его подход  лучше других.
Земля - маховик, скользящим фрикционом связанный с другим маховиком - приливной волной, которая через пружину гравитационной связи раскручивает Луну.

[Ost]

Вычислим угловое ускорение

\(d \omega/dt \approx \Delta \omega/ \Delta T = (\omega_2-\omega_1)/\Delta T=(2\pi/T_2-2\pi/T_1)/\Delta T=2\pi (1/T_2-1/T_1)/\Delta T=2\pi (T_1-T_2)/(\Delta T~T_1~T_2)=2\pi \Delta T_{12}/(\Delta T~T_1~T_2) \approx 2\pi \Delta T_{12}/\Delta T^3\).

Где \(\Delta T~-\) период суток в секундах; \(\Delta T_{12}~-\) изменение периода за сутки в секундах.

Если изменение  периода \(1.78 \cdot 10^{-5}~с\) в год, то \(\Delta T_{12}=4.873289 \cdot 10^{-8}~с\), тогда

\(d \omega/dt \approx 4.747454 \cdot 10^{-22}~с^{-2}\).

[Ost]

Вычислим мощность \(P=J_z~\omega_z~d \omega /dt\).

Для момента инерции на \(17.5 \%\) меньше шара:  \(2.761974 \cdot 10^{12}~Вт\). Соответствует дрейфу Луны \(2.90~см\) в год.

Для момента инерции шара:  \(3.347847 \cdot 10^{12}~Вт\). Соответствует дрейфу Луны \(3.52~см\) в год.

Мощность приложенная к Луне меньше на коэффициент \(1/(1+27.322)\), соответственно будет равна: \(0.975204 \cdot 10^{11}\);  \(1.182066 \cdot 10^{11}\).

[VPD]

Вычислим мощность \(P=J_z~\omega_z~d \omega /dt\).

Для момента инерции на \(17.5 \%\) меньше шара:  \(2.761974 \cdot 10^{12}~Вт\). Соответствует дрейфу Луны \(2.90~см\) в год.

Для момента инерции шара:  \(3.347847 \cdot 10^{12}~Вт\). Соответствует дрейфу Луны \(3.52~см\) в год.

Мощность приложенная к Луне меньше на коэффициент \(1/(1+27.322)\), соответственно будет равна: \(0.975204 \cdot 10^{11}\);  \(1.182066 \cdot 10^{11}\).

   Отличный результат. И без эмпирических коэффициентов.
  Я вас поздравляю!
   Можно подсчитать массу приливной волны, имеющемся в ближнем от Луны "горбе".
   Написать бы вам статью под названием "Как Земля поднимает Луну" и изложить бы последовательно этот  расчёт...
  Поучительный рассказ мог бы получиться...
   

[Ost]

Вычисляем углы и расстояния через теорему синусов.

\(sin(\theta)/r_z=sin(\gamma+\theta)/r_0\).    \((1)\)

\(r_g (\gamma)=r_z~sin(\gamma)/sin(\theta)\).

Из решения уравнения \((1)\) определяем функцию \(\theta=\theta f(\gamma)\).

\(\beta (\gamma)=\pi/2-\gamma -\theta f(\gamma)\).

Вычисляем моменты приложенные к горбам на единицу массы

\(\displaystyle M_g (\gamma)=\frac{G~m_l}{r_g (\gamma)^2} r_z~ cos(\beta (\gamma))\).

Суммарный момент от горбов равен \(\displaystyle M_{gs} (\gamma)=\displaystyle M_g (\gamma)+\displaystyle M_g (\gamma+\pi)\).

Момент действующий на Землю равен \(M_z=J_z~d \omega/dt\).

Масса одного горба \(m_g(\gamma)=M_z/M_{gs}(\gamma)\).

Объём горбов при плотности воды \(V_g(\gamma)=2m_g(\gamma)/\rho_v\).

Высота эллиптического горба \(\displaystyle h_g(\gamma)=\frac{3~V_g(\gamma)}{4 \pi~r_z^2}\).

\(\gamma=0.5^\circ~~~h_g=249.597~см\).
\(~~~~~~~1.0^\circ~~~~~~~~~~~~~124.818\).
\(~~~~~~~1.5^\circ~~~~~~~~~~~~~~~83.233\).
\(~~~~~~~2.0^\circ~~~~~~~~~~~~~~~62.447\).
\(~~~~~~~3.0^\circ~~~~~~~~~~~~~~~41.673\).
\(~~~~~~~4.0^\circ~~~~~~~~~~~~~~~31.300\).
\(~~~~~~~5.0^\circ~~~~~~~~~~~~~~~25.086\).
\(~~~~~~~6.0^\circ~~~~~~~~~~~~~~~20.952\).
...

\(~~~~~10.0^\circ~~~~~~~~~~~~~~~12.737\).
\(~~~~~15.0^\circ~~~~~~~~~~~~~~~~~8.713\).

Вычисленные высоты надо рассматривать как минимальные.

...

[Иван Горин]

  Однако я считаю, что его подход  лучше других.
Земля - маховик, скользящим фрикционом связанный с другим маховиком - приливной волной, которая через пружину гравитационной связи раскручивает Луну.

Причиной приливных горбов является луна.
То есть приливы являются следствием влияния луны.
И это следствие раскручивает луну.
Как-то нелогично.

[Иван Горин]

Вычислим угловое ускорение

\(d \omega/dt \approx \Delta \omega/ \Delta T = (\omega_2-\omega_1)/\Delta T=(2\pi/T_2-2\pi/T_1)/\Delta T=2\pi (1/T_2-1/T_1)/\Delta T=2\pi (T_1-T_2)/(\Delta T~T_1~T_2)=2\pi \Delta T_{12}/(\Delta T~T_1~T_2) \approx 2\pi \Delta T_{12}/\Delta T^3\).

Где \(\Delta T~-\) период суток в секундах; \(\Delta T_{12}~-\) изменение периода за сутки в секундах.

Если изменение  периода \(1.78 \cdot 10^{-5}~с\) в год, то \(\Delta T_{12}=4.873289 \cdot 10^{-8}~с\), тогда

\(d \omega/dt \approx 4.747454 \cdot 10^{-22}~с^{-2}\).

Что за обозначения?
\(\omega,\Delta T,\omega_2,\omega_1,T_1,T_2\)

[VPD]

Причиной приливных горбов является луна.
То есть приливы являются следствием влияния луны.
И это следствие раскручивает луну.
Как-то нелогично.

  А логика здесь чья?  Ваша?   Она - "хромает".
  Именно Земля, через лунные приливы поднимет Луну на орбите.
  Это стало давно понятно (ссылки есть здесь в теме),  подтверждается расчётом Бялко и великолепным его развитием уважаемого OSTа.
 

[VPD]

Вычисляем углы и расстояния через теорему синусов.

\(sin(\theta)/r_z=sin(\gamma+\theta)/r_0\).

\(r_g=r_z~sin(\gamma)/sin(\theta)\).

...

   Но, похоже, оба угла \( \gamma \) и \( \theta  \) придётся измерять.

[Ost]

Что за обозначения?
\(\omega,\Delta T,\omega_2,\omega_1,T_1,T_2\)

\(\omega~-\) угловая скорость. Угловая скорость может быть записана через период, если измеряется среднее значение скорости \(\omega_1=\frac{2 \pi}{T_1}\), \(\omega_2=\frac{2 \pi}{T_2}\).
\(\Delta T=t_2-t_1~-\) период равный суткам в секундах в приблизительном определении средней производной.
\(T_1\) и \(T_2~-\) два суточных периода в секундах при вычислении среднего значения угловой скорости.
Они незначительно отличаются, что и позволяет определить ускорение по разности между ними,
при этом считая, что \(\Delta T=T_1 \approx T_2\), не вносит большой погрешности в знаменателе. Эти периоды стоят рядом.
Временное расстояние между их началом равно \(\Delta T=t_2-t_1\). Временное расстояние между их концами содержит изменение периода.
Для определения углового ускорения требуется два суточных периода стоящие рядом, которые будут отличатся из-за ускорения.
Всё вычисляется в соответствии с математическим определением средней производной на интервале \(\Delta T=t_2-t_1\)
с учётом определения угловой скорости по формуле \(\omega=\frac{2 \pi}{T}\).

[Ost]

   Но, похоже, оба угла \( \gamma \) и \( \theta  \) придётся измерять.

Расчёт ведётся в PTC Mathcad. Там через решение уравнения можно просто сформировать функцию \(\theta(\gamma)\).

[VPD]

Расчёт ведётся в PTC Mathcad. Там через решение уравнения можно просто сформировать функцию \(\theta(\gamma)\).

   Но один то угол надо получить от природы...

[Ost]

   Но один то угол надо получить от природы...

Задаём в условии задачи угол \(\gamma\).
Оцениваем результат по соответствию высоты горбов реальности.

Модель с сосредоточенными массами сильно занижает высоту горбов.
При решении этой задачи надо учитывать деформацию твёрдой поверхности.
Возможно, что вклад водяных горбов весьма незначителен.

[VPD]

Оцениваем результат по соответствию высоты горбов реальности.
...
Возможно, что вклад водяных горбов весьма незначителен.

  Водяной горб только индикатор максимума волны. Учитывать, конечно,  надо всю приливную массу.
   Однако,  это лишь моё пожелание. Как  реализовать - вопрос.