1. Спасибо за "надежду"!
Я исправил некоторые "неаккуратные" высказывания в изложении темы и добавил сравнение с функцией Лагранжа. Всё таки у него сохраняется логарифмический закон числа простых чисел, хотя "нормировка" аргумента в знаменателе множителем 1/e^k "произвольна".
Я не выписал его функцию в "первозданном" виде и коэффициент
1,08366 заставил оговориться о "некотором нарушении логарифмического закона". Функция Лагранжа:
π(x) = x/ln (x/e^k)
компактна и точна в сравнении с (1) и с (5) при к = 1,088366, но с числа 100 000 даёт оценки, прогрессивно превышающие фактические числа простых чисел. Кажется, это недопустимо, поскольку речь, в принципе, идёт о величинах достоверных.
Конечно, усложняя предложенную мной функцию основания логарифма a = f(x), можно бы "искать"...
Но Лагранж поступил почти великолепно!
3. Разве, что сама идея функциональной зависимости основания логарифма от аргумента может и пригодиться.
И она пригодилась.
Способ, применённый Лагранжем строго рассуждая, нехорош тем, что введенный коэффициент 1,08633 не обусловлен логарифмическим законом роста числа простых чисел. Это эмпирическое число, обеспечивающее очень хорошее приближение расчётного
числа простых чисел среди чисел натурального ряда для ограниченного натурального числа. Однако, именно точность этого приближения на большом интервале натуральных чисел свидетельствует о том, что это следствие существования некой логарифмической функции.
Разумеется, что применение определённой функции натурального числа, обеспечивающей такую же точность без введения дополнительных параметров, предпочтительнее найденного Лагранжем коэффициента, не зависящего от аргумента x.
Оказалось, что функция основания логарифмирования, определяющая плотность потока простых чисел в натуральном ряде, довольно проста:
a = e^{1 +[x (ln 2)(ln x)]^-1 – (ln x)^-1 – (ln x)^-2 – (ln x)^-3 - …}^-1
При этом число простых чисел определяется простой формулой:
Π(x) = x /{1 +[x (ln 2)(ln x)]^-1 – (ln x)^-1 – (ln x)^-2 – (ln x)^-3 - …}ln x
Формулы тем точнее при больших x, чем больше слагаемых в знаменателе. Я привожу сравнительную таблицу значений π(x) для интервала чисел натурального ряда от 10^2 до 10^10.
x: 100 500 10^3 10^4 10^5 10^6
n(ф): 26 96 169 1260 9572 78498
n(L): 28 97 172 1231 9588 78543
n(Л): 26 96 174 1234 9591 78474
n(Л): 26 96 174 1236 9598 78506
x: 10^7 10^8 10^9 10^10
n(ф): 664579 5761455 50847534 455052512
n(L): 665140 5768036 50917518 455743190
n(Л): 664185 5758250. . 50825892 454908920
n(Л): 664354 5759230 50831907 454947950
В этой таблице приведены фактические числа, вычисленные по Лагранжу и два варианта вычисленных значений при двух основаниях логарифмирования:
a = e^(1 +[x(ln2)(lnx)]^-1 – (ln x)^-1) и a = e^(1+[x(ln2)(lnx)]^-1 – (ln x)^-1 – 1/(ln x)^2).
Формула (6) даёт хорошие оценки и при малых значениях х:
x: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
n(ф): 4 8 11 13 16 18 20 23 25 26
n(L): 7 10 12 15 17 19 22 25 26 28
n(Л): 6 9 12 14 16 18 23 25 26 26
Таким образом, чисел простых чисел в натуральном ряду, получаемые по формуле, не содержащей эмпирических параметров и в соответствии с логарифмическим законом, не хуже рассчитываемых с применением поправки Лагранжа.
