Асимметричные преобразования Лоренца.
Рассмотрим преобразования координат от системы S к системе S': x'=f(x,t,v); t'=g(x,t,v). Нетрудно показать, что преобразования координат и времени должны быть линейными функциями: x'=Ax+Bt; t'=Dx+Et (1) , где коэффициенты A, B, D, E могут зависеть от относительной скорости систем отсчёта , но не зависят от x и t. В (1) преобразованиях зафиксировано начало отсчета времени таким образом, чтобы при t=t'=0 начала систем совпадали: x=x'=0. Здесь мы считаем, что точка x'=0 системы S' движется относительно S по траектории: x=vt. Подставляя x'=0, x=vt в первое уравнение (1), получаем B= - v*A. Аналогично x=0, x'= - vt' в уравнениях (1) дают -vt' =Bt и t' = Et, откуда B= - vE и A=E. В результате преобразования между системами отсчёта принимают вид:
x'=A*(x - v*t) : t'=A*t + d*x. В виду полной аналогии точно также могут быть введены и обратные преобразования
x=B*(x' + v*t') : t=B*t' + e*x. Естественно, что между коэффициентами прямого и обратного преобразования есть полная
взаимосвязь, благодаря которой одни коэффициенты могут быть выражены через другие.
x'=A*[x - v*(B*t'+e*x)] ; t'=A*t +d*B*(x' + v*t'); => x=x'*(1/A - v*e)+t'*v*B; t=t'*(1/A - d*B*v/A) - x'*d*B/A;
Отсюда получаем B=1/A - v*e; e= - d*B/A; B=1/A - d*B*v/A => B=1/(A+d*v); Отсюда уравнения можно переписать в виде
x'=A*(x-v*t); t'=A*t + d*x; - Прямые преобразования. x=(x'+v*t')/(A+d*v); t=(t' - x'*d/A)/(A+d*v); -Обратные преобразования.
Далее реализуем событие посылки светового импульса в точку с координатами x=ct в системе S и x'=ct' в системе S'.
ct'=A*(ct - vt); t'=A*t +d*ct; Отсюда получаем с*(A+dc)=A*(c-v); d = - v*A/c^2. Наши уравнения примут вид
x'=A*(x - vt); t'=A*(t - xv/c^2); x=(x'+v*t')/[A*(1-v^2/c^2)]; t=(t'+x'v/c^2)/[A*(1-v^2/c^2)]; (2)
В силу положительной определнности A имеет место равенство m*A^b= 1/[A*(1-v^2/c^2)], где b и m некоторые вещественные числа, которые можно подобрать так, чтобы выполнялось равенство. Однако в этих преобразованиях при нулевой скорости следует положить m=1. Окончательно получаем A=1/(1-v^2/c^2)^[1/(1+b)], где b параметр относительности преобразваоний Лоренца. В случае b=1 получаем обычные преобразования Лоренца для СТО.
Для значений b равных нулю или бесконечности СТО неверна, поскольку в этом случае не выполняется принцип относительности - это имеет место в частности в случаях симметричных близнецов. В этом случае получаем ассиметричные преобразования Лоренца. x'=x - vt; t'=t - xv/c^2; x=(x'+v*t')/(1-v^2/c^2); t=(t'+x'v/c^2)/(1-v^2/c^2); (3)
В общем асимметричном случае получаем следующие преобразования Лоренца g=1-v^2/c^2;
x'=(x - vt)/g^[1/(1+b)]; t'=(t - xv/c^2)/g^[1/(1+b)]; x=(x'+v*t')/g^[b/(1+b)]; t=(t'+x'v/c^2)/g^[b/(1+b)]; (4)
Асимметричные преобразования Лоренца есть самый общий случай таких преобразований, а общеизвестные преобразования есть лишь их частный случай, когда величина ассиметрии равна нулю. Благодаря наличию таких преобразований СТО может быть полностью удалена из современной физики без всякого ущерба для нее.
