ПРОДОЛЖИМ ИЗУЧЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Функции распределения электронной плотности в Фурье-представлении
Полный текст
http://osh9.narod.ru/stat/fun.htm С целью успешного применения статистических методов описания электронных процессов, происходящих в атомах, вспомним некоторые моменты из статистической физики.
При статистическом описании состояние системы изображается точкой в соответствующем фазовом пространстве (фазовая точка с координатами p и q). Изменение состояния системы изображается траекторией фазовой точки в фазовом пространстве – фазовой траекторией.
Благодаря использованию фазового пространства законы изменения состояния системы могут быть сформулированы на геометрическом языке.
Основным положением статистической физики является утверждение о возможности определить функцию распределения (или плотность вероятности состояний) w(p,q) из общих соображений, в том числе и из геометрических для систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, т.е. не решая уравнений движения для отдельных частиц.
Согласно теореме Лиувилля [1] функция распределения является интегралом движения системы, т.е. остается постоянной, если импульсы p и координаты q изменяются в соответствии с уравнениями движения механики Гамильтона, т.е. каноническими уравнениями. При этом фазовый объем системы (объем в переменных p и q) в результате ее естественного движения остается постоянным. Это свойство можно выразить при помощи интеграла
∫ d Г = ∫ d p d q = const, (30.1)
где d Г обозначает элемент объема фазового пространства.
Рассмотрим наиболее общие свойства функции распределения w. В статистической механике для полного описания состояния движения частицы достаточно указать вероятность, с которой координата частицы лежит в области от q до q + dq, и одновременно ее импульс – в интервале от p до p + dp, т.е. в некотором элементе объема фазового пространства d p d q, или в декартовых координатах – dx dy dz dpx dpy dp z.
В случае стационарных процессов, когда система частиц находится в термодинамическом равновесии и в стационарном состоянии, возможно использование стационарной функции распределения только по координатам w(x, y, z). Принимая во внимание тот факт, что функция распределения по своей величине является принципиально неотрицательной, т.е. w(x, y, z) 0, ее можно выразить в комплексном пространстве через вспомогательную комплексную функцию (комплексную амплитуду) Ф(x, y, z) посредством выражения
Ф(x, y, z) = Ф(x, y, z) 2 = Ф*Ф. (30.2)
С использованием функции распределения w(x, y, z) средняя потенциальная энергия электрона по области его движения определяется через объемный интеграл
<U> = ∫ U(x, y, z) w(x, y, z) dV (30.3)
или, с учетом выражения (30.2),
<U> = ∫ Ф*UФ dV. (30.4)
Функция распределения, как правило, нормируется посредством интеграла
∫ w(x, y, z) dV = ∫ Ф*Ф dV = 1. (30.5)
Таким образом, задача на нахождение функции распределения электронной плотности w(x, y, z) в атомах сводится к отысканию некоторой комплексной характеристической функции Ф(x, y, z), через которую могут быть определены не только плотность вероятности местопребывания электронов в атомах, но также и, как будет показано в дальнейшем, целый ряд интегралов движения. С целью вычисления функции Ф(x, y, z) необходимо составить для нее дифференциальное уравнение, максимально используя при этом всю известную нам заранее информацию об атомах. Для этого можно воспользоваться известными из классической механики законами сохранения определенных динамических величин (например, полной энергии Е, модуля полного механического момента L, а также проекции механического момента на ось симметрии атома Lz ) [2].
Подробнее - Научная монография-учебник по Фундаментальной физике -
http://s6767.narod.ru - Решение основных Ключевых задач физики ХХ века (впервые), вывод всех основных уравнений Классической электродинамики (впервые) и Квантовой механики (впервые). Шаляпин А.Л., Стукалов В.И. Введение в Классическую электродинамику и Атомную физику, Свердловск, 2006, 490 с.
