Полностью переписал текст.
В интернете часто упоминается формула Циолковского, но грамотного вывода его формулы не найти.
Известна формула Мещерского для движения тела с переменной массой.
Для ракеты третий член, это присоединенная масса, ее нет. Дополнительной силы F нет.
Остается
\[ M(t)\frac {dv}{dt} = u\frac {dm}{dt} \]
dm/dt - расход массы топлива в секунду q кг/сек
u - скорость струи относительно ракеты. Удельный импульс, величина постоянная.
M(t) - Оставшаяся масса через время t M(t) = M - qt
Ракетный двигатель имеет постоянную силу тяги F,
постоянный удельный расход топлива в секунду q,
потому постоянную скорость массы газов u.
Потому для ракетного двигателя на жидком топливе установлено соотношение
\[ F = qu \]
Но ракета имеет переменную массу m(t) = m - qt
\[ \frac {dm(t)}{dt} = q \]
\[ q = \frac {dm}{dt} \] Это выражение и войдет в уравнение Мещерского.
При переменной массе второй закон Ньютона будет такой.
\[
a =\frac {F}{m-qt} \]
F = qU
q = dm/dt
\[ dV = \frac {F}{m-qt}dt = \frac {qu}{m-qt}dt \]
\[ (m-qt)\frac {dV}{dt} = u\frac {dm}{dt} \]
Получили уравнение Мещерского
\[ m(t)\frac {dV}{dt} = u\frac {dm}{dt} \]
Представляем это уравнение в виде.
\[ dv = u\frac {dm}{m} \]
\[ \vec v = \int_{m}^{m_1}\frac {dm}{m} = \vec u(Ln {m_1} - Ln {m}) = - \vec u(Ln {m} - Ln {m_1}) = -\vec u Ln (\frac {m}{m_1}) \]
Это и есть формула Циолковского
