Переписка с David Tombe об основах механики и электродинамики

[Barau_R_Tour]

[продолжение]

Я не верю, что сила Кориолиса вовлечена в какое-либо из этих явлений «переворачивания» или «изменения направления».

Вам лучше поверить в это. В противном случае вы никогда не избавитесь от путаницы.

Все это происходит благодаря центробежному крутящему моменту, который не следует из уравнений Эйлера. Сила Кориолиса, которая тоже не следует из уравнений Эйлера, участвует в обеспечении гироскопической устойчивости во время вынужденной прецессии, но не играет роли в переворотах во время свободной прецессии.

Это глубокое непонимание того, что представляют собой уравнения Эйлера.

A.B.
 

[Barau_R_Tour]

Октябрь 14, 2019

Привет Артур,

Я пока проигнорирую первую часть вашего последнего письма, где речь идет о волчке Джанибекова. Мы еще вернемся к этой теме, так как это есть основная цель этого обсуждения. Но давайте сначала проясним вопросы, относящиеся ко второй части вашего письма, которые касаются осесимметричного Т-волчка.

Ночью я все продумал более тщательно и понял, почему я был не прав. Т-волчок будет идеально подчиняться Эйлеру и не будет переворачиваться. Так что забудем, что я сказал про конический маятник. Но рассуждения, которые привели меня к такому выводу отличаются от ваших. В одном они, правда, совпадают. Мы оба согласны с тем, что происходит сокращение, но мы расходимся в том, что с чем сокращается.

Я наконец-то рассудил, что центробежные моменты сокращаются по всем трем главным осям. Первоначально я ошибочно рассматривал это сокращение только в сценарии с диском, игнорируя его в случаях со стержнем и с телами в форме буквы «Т».

Я все еще не согласен с тем, что сила Кориолиса участвует в нейтрализации действия центробежных моментов. Конечно, сила Кориолиса будет задействована во время любого переворота в связи с законом сохранения момента импульса.

Кроме того, крутящий момент Кориолиса будет задействован, когда мы переходим к рассмотрению принудительной прецессии.

С уважением Дэвид

[Barau_R_Tour]

Октябрь 14, 2019

Привет Дэвид,

Ночью я все продумал более тщательно и понял, почему я был не прав. Т-волчок будет идеально подчиняться Эйлеру, и не будет переворачиваться.

Хорошо.

Но рассуждения, которые привели меня к такому выводу отличаются от ваших. В одном они, правда, совпадают. Мы оба согласны с тем, что происходит сокращение, но мы расходимся в том, что с чем сокращается.

Ничего страшного. Давайте согласимся не соглашаться по этому вопросу. Теперь – когда вы, наконец, согласились, что Т-волчок не перевернется – я хочу обратить ваше внимание на то, что у вас нет больше своего решения загадки волчка Джанибекова. Действительно, волчок Джанибекова, по сути, есть Т-волчок, поэтому он не должен переворачиваться. А он переворачивается!

Я предложил ключ к разгадке этой головоломки. Вы не согласны с моим предложением, но теперь получается, что у вас нет своего собственного! Вы загнали себя в угол.

A.Б.

[Barau_R_Tour]

Октябрь 14, 2019

Привет Артур,

Именно об этом я думал сегодня за рулем на обратном пути домой. Исключив все инерционные решения, мы действительно получаем загадку. На данный момент у меня нет ответа.

Так что давайте рассмотрим ваш подход к решению, основанный на учете аэродинамического сопротивления. Вы хотите воспользоваться принципом Бернулли в приложении к крутящемуся шару?

С уважением Дэвид

[Barau_R_Tour]

Октябрь 15, 2019

Так что давайте рассмотрим ваш подход к решению, основанный на учете аэродинамического сопротивления. Вы хотите воспользоваться принципом Бернулли в приложении к крутящемуся шару?

Вот как бы я подошел к этому.

Давайте начнем с математического определения объекта, движение которого в воздухе мы хотим проанализировать. Возьмем шар радиуса R и массы М, который плотно опоясан бесконечно тонким кольцом радиуса r (r < R) и массы m. Мы будем называть это осесимметричное тело  rb-волчок. Раскрутим его вокруг оси симметрии (то есть относительно линии, соединяющей центры шара и кольца) внутри МКС.

Вопрос: Будет ли вращение rb-волчка стабильным?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно как-то смоделировать взаимодействие волчка с окружающим воздухом. Разумно предположить, что избыточное давление воздуха на элемент поверхности шара, пропорционально скалярному произведению vn, где n – единичный вектор к элементу поверхности, а v – вектор скорости элемента поверхности.

Теперь у нас есть четко определенная математическая модель для анализа поведения нашего волчка. Я не уверен, что решение этой задачи может быть получено в аналитической форме, но ее можно проанализировать численно без особых проблем.

Чтобы еще больше упростить задачу, можно зафиксировать центр масс вращающегося волчка (то есть предположить, что он неподвижен в пространстве), что, по-видимому, не повлечет серьезного искажения характера поведения волчка.

A.Б.

[Barau_R_Tour]

Октябрь 16, 2019

Привет Артур,

Здесь возникает вопрос, связанный с направлением движения вращающегося rb-волчка относительно оси вращения. Если они параллельны, будет ли реакция воздуха создавать крутящий момент?

Но прежде чем продолжить, у меня есть еще один вопрос о волчке Джанибекова. Правильно ли я понимаю, что шар из пластилина прилеплен к обычной гайке? Если так, то почему обычная гайка сама [т.е. без шара - А.Б.] не переворачивается? Почему присоединение шара из пластилина принципиально меняет ситуацию?

С уважением Дэвид

[Barau_R_Tour]

Октябрь 16, 2019

Правильно ли я понимаю, что шар из пластилина прилеплен к обычной гайке?

Да.

Если так, то почему обычная гайка сама не переворачивается? Почему присоединение шара из пластилина принципиально меняет ситуацию?

Это ведет к двум вещам, которые обе важны для аэродинамического механизма разрешения загадки. Игнорируя несущественные детали (такие как: шар из пластилина – математически не идеальный шар; обычная гайка является телом вращения только приблизительно; поскольку размер пластилинового шара намного больше, чем размер гайки, комбинированное тело все еще шар, но не идеальный), то вот что мы имеем.

Шар из пластилина – это случай I₁ = I₂ = I₃, где центр масс тела совпадает с его геометрическим центром.

Обычная гайка – это тело вращения с I₁ = I₂ < I₃ (а не I₁ = I₂ > I₃). Прикрепив сравнительно небольшую гайку, изготовленную из материала более высокой плотности, к большому пластилиновому шару, мы получим комбинированное тело почти сферической формы, где:

(A) центр масс смещен от геометрического центра шара; и

(Б) I₁ = I₂ > I₃ (а не I₁ = I₂ < I₃).

Теперь, почему оба эти фактора важны?

Начнем с (A). Если бы центр масс оставался в геометрическом центре шара, то присутствие воздуха не могло объяснить неустойчивость вращающегося шара. Действительно, тогда не было бы никакого избыточного давления воздуха нигде на поверхности шара (nv = 0 для каждого элемента поверхности). Конечно, есть еще небольшая тангенциальная сила трения о воздух. Но крутящий момент этой силы будет совпадать по направлению с мгновенной осью вращения, поэтому его действие сведется к простому замедлению вращения шара, но никак не повлияет на стабильность вращения.

Теперь представьте, что произойдет при смещении центра масс от геометрического центра шара. В исходном состоянии шар вращается вокруг линии, соединяющей центр масс с геометрическим центром. Когда эта линия немного отклоняется от мгновенной оси вращения, происходит важная вещь: теперь nv не исчезает повсюду на поверхности шара. Почему? Потому что шар все еще вращается вокруг центра масс, но ось вращения больше не проходит через геометрический центр шара!

Рассмотрим теперь фактор (Б). В состоянии без вращающего момента, вращение вокруг оси симметрии (то есть третьей оси) является устойчивым как при I₁ = I₂ < I₃, так и при I₁ = I₂ > I₃. Внешние силы – при условии, что они создают крутящий момент – могут в принципе вызвать переворот в обоих этих случаях. Я подчеркиваю: могут вызвать, но не обязательно вызовут. Крутящий момент должен быть достаточно сильным, чтобы преодолеть естественную устойчивость вращения, которая присуща этим двум случаям. Поэтому важно иметь в виду, что вращение тела с I₁ = I₂ < I₃ более стабильно, чем вращение с I₁ = I₂ > I₃. Следовательно, аэродинамический крутящий момент имеет больше шансов вызвать переворот именно в случае слабой стабильности, т.е. при I₁ = I₂ > I₃.

A.Б.

[Barau_R_Tour]

Октябрь 16, 2019

Привет Артур,

Так, я не уверен, как вы получили I₁ = I₂ < I₃ для шестигранной гайки.

С уважением Дэвид

[Barau_R_Tour]

Октябрь 16, 2019

Это довольно просто, Дэвид. Обычная гайка – это примерно кольцо, а точнее тор. В обоих случаях главные моменты инерции можно рассчитать аналитически и легко подтвердить, что I_xx = I_yy < I_zz:

http://scienceworld.wolfram.com/physics/MomentofInertiaRing.html

A.Б.

[Barau_R_Tour]

Октябрь 16, 2019

Спасибо. Это убедительно.

Продолжу размышления.

[Barau_R_Tour]

Октябрь 17, 2019

Привет Артур,

Хорошо, давайте подведем итоги. Теперь у нас есть ситуация I₁ = I₂ > I₃, но она отличается от объектов в предыдущих обсуждениях в силу неравномерного распределения массы, так что центр масс смещается от геометрического центра.

Ось вращения будет испытывать эйлерову прецессию вокруг симметричной оси в отсутствие крутящего момента.

Затем, вы говорите, из-за этой прецессии аэродинамическое взаимодействие вызовет внешний крутящий момент и заставит объект перевернуться. Правильно я понимаю?

С уважением Дэвид

[Barau_R_Tour]

Октябрь 17, 2019

Привет Дэвид,

Теперь у нас есть ситуация I₁ = I₂ > I₃, но она отличается от объектов в предыдущих обсуждениях в силу неравномерного распределения массы, так что центр масс смещается от геометрического центра.

Здесь стоит уточнить. Мы абстрагировали реальный волчок Джанибекова (пластилиновый шар + обычная гайка) в геометрически совершенный шар с неравномерным, но осесимметричным распределением массы, где центр масс смещен от геометрического центра шара. Другими словами, мы заменили реальный волчок Джанибекова нашим rb-волчком: идеальный шар радиуса R_b и массы m_b, увенчанный бесконечно тонким кольцом радиуса R_r (очевидно, R_r < R_b) с массой m_r.

Теперь нам нужно вычислить I₁, I₂, I₃. Для этого нам нужно знать положение центра масс O rb-волчка. Он расположен на третьей оси, между геометрическим центром шара O_b и геометрическим центром кольца O_r:

OO_b ≡ L_b = m_r√(R_b² – R_r²)/(m_r + m_b),
OO_r ≡ L_r = m_b√(R_b² – R_r²)/(m_r + m_b).

Я дам готовые выражения для I₁, I₂, I₃, а вы попробуйте вывести их сами:

I₁ = I₂ = 2m_bR_b²/5 + m_bL_b² + m_rR_r²/2 + m_rL_r²,
I₃ = 2m_bR_b²/5 + m_rR_r².

Всегда ли верно I₁ = I₂ > I₃ для rb-волчка? В общем да, если радиус кольца значительно меньше радиуса шара, что примерно так и есть в случае с реальным волчком Джанибекова. В этом легко убедиться, переходя к пределу R_r → 0.

Ось вращения будет испытывать эйлерову прецессию вокруг симметричной оси в отсутствие крутящего момента.

Да, сразу после раскрутки имеет место свободная прецессия с маленьким углом прецессии.

Затем, вы говорите, из-за этой прецессии аэродинамическое взаимодействие вызовет внешний крутящий момент и заставит объект перевернуться.

Да. И мы уже обговорили, как смоделировать аэродинамическое взаимодействие rb-волчка с окружающим воздухом.

A.Б.

[Barau_R_Tour]

Октябрь  17, 2019

Небольшой вопрос. Волчок Джанибекова включает шестигранную гайку. Верно ли, что I₁ = I₂ для этой гайки?

С уважением Дэвид

[Barau_R_Tour]

Октябрь 17, 2019

Шестигранная гайка не является телом вращения, поэтому это разумный вопрос. Тем не менее, да, I₁ = I₂ для этой гайки.

Действительно, обычную гайку  можно представить как толстый шестиугольный диск с круглым отверстием. Теперь обратите внимание, что для правильного шестигранного диска справедливо I₁ = I₂:

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_second_moments_of_area

Кстати, чтобы вывести выражения для I₁, I₂ и I₃ для rb-волчка, которые я дал в предыдущем письме, вам нужна следующая теорема:

https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_axis_theorem

A.Б.

[Barau_R_Tour]

Октябрь 18, 2019

Привет Артур,

ОК, еще раз спасибо за пополнение моих знаний. Вы, конечно, понимаете, что мне нужно устранить все возможные инерционные решения, прежде чем я начну уделять серьезное внимание аэродинамическому решению.

И вот теперь еще один вопрос. Согласно теореме о промежуточной оси, устойчивость вращения относительно оси с наибольшим или наименьшим моментом инерции основана на том, что ось вращения точно совпадает с одной из этих осей. А будет ли сохраняться стабильность  вращения, если ось вращения не совпадает в точности с одной из этих осей, а скорее имеет ненулевые компоненты относительно каждой из трех осей?

С уважением Дэвид

[Barau_R_Tour]

Октябрь 19, 2019

Привет Дэвид,

Вы, конечно, понимаете, что мне нужно устранить все возможные инерционные решения, прежде чем я начну уделять серьезное внимание аэродинамическому решению.

Нет проблем.

Согласно теореме о промежуточной оси, устойчивость вращения относительно оси с наибольшим или наименьшим моментом инерции основана на том, что ось вращения точно совпадает с одной из этих осей.

Это не совсем так. Теорема утверждает следующее. Пусть I₁ > I₂ > I₃, тогда:

(1) Если в момент времени t = 0 мгновенная угловая скорость такова, что ее компоненты удовлетворяют соотношениям ω₁ >> ω₂ и ω₁ >> ω₃, эти соотношения сохранятся, то есть значения этих компонент не будут сильно отклоняться от их начальных значений.

(2) Если в момент времени t = 0 мгновенная угловая скорость такова, что ее компоненты удовлетворяют соотношениям ω₂ >> ω₁ и ω₂ >> ω₃, то они НЕ останутся таковыми, т.е. ВСЕ ТРИ компоненты сильно и резко изменятся в дальнейшем.

(3) Если в момент времени t = 0 мгновенная угловая скорость такова, что ее компоненты удовлетворяют соотношениям ω₃ >> ω₁ и ω₃ >> ω₂, эти соотношения сохранятся, то есть значения этих компонент не будут сильно отклоняться от их начальных значений.

А будет ли сохраняться стабильность  вращения, если ось вращения не совпадает в точности с одной из этих осей, а скорее имеет ненулевые компоненты относительно каждой из трех осей?

И да, и нет. Например, возьмем случай ω₁ = 1000, ω₂ = 7? ω₃ = 5. Это как раз тот случай, о котором вы спрашиваете, верно? В этом случае вращение будет устойчивым, поскольку условия теоремы ω₁ >> ω₂, ω₁ >> ω₃ соблюдаются.

Возьмем теперь случай ω₁ = 100, ω₂ = 77, ω₃ = 21. Здесь вращение не будет устойчивым, поскольку условия теоремы ω₁ >> ω₂, ω₁ >> ω₃ не соблюдаются.

Надеюсь, я ответил на ваш вопрос.

A.Б.

[Barau_R_Tour]

Октябрь 19, 2019

Привет Артур,

Да, понятно. Таким образом, если раскрутить волчок Джанибекова вокруг оси симметрии, то – несмотря на то, что его форма не идеальная – при небольшом отклонении оси вращения от оси симметрии, соотношения ω₁ >> ω₂ и ω₁ >> ω₃ все равно сохранятся.

Хорошо, я подумаю об этом.

С уважением Дэвид

[Barau_R_Tour]

Октябрь 19, 2019

Таким образом, если раскрутить волчок Джанибекова вокруг оси симметрии, то – несмотря на то, что его форма не идеальная – при небольшом отклонении оси вращения от оси симметрии, соотношения ω₁ >> ω₂ и ω₁ >> ω₃ все равно сохранятся.

Дэвид, здесь я хотел бы отметить один важный момент, который легко можно прозевать, если не обратить на него специального внимания.

Теорема о промежуточной оси (как я объяснил в предыдущем письме) толкует о ситуации I₁ > I₂ > I₃, в то время как волчок Джанибекова относится к разряду I₁ = I₂ > I₃. Так что, строго говоря, теорему о промежуточной оси нельзя применить для анализа устойчивости волчка Джанибекова. Почему? Да потому что условие, которое идентифицирует волчок Джанибекова, просто выходит за рамки этой теоремы. Конечно можно сказать, что реальный волчок Джанибекова это скорее I₁>≈ I₂> I₃, и использовать этот трюк, чтобы подогнать его под теорему о промежуточной оси.

Это вполне разумный ход. Но гораздо разумнее вообще не пользоваться этой теоремой в случае I₁ = I₂ > I₃. Действительно, все что может дать нам эта теорема для волчка Джанибекова – это правильный прогноз поведения волчка для очень узкой области, а именно для области {ω₃ >> ω₁, ω₃ >> ω₂}. Но дело в том, что благодаря именно тому факту, что волчок Джанибекова есть пограничный случай I₁ = I₂ > I₃, мы можем – без всякой теоремы – прогнозировать его поведение для любой области: в отсутствие внешнего крутящего момента, вращение волчка Джанибекова всегда стабильно, точка.

Я ведь не случайно призываю вас (уже который раз!) прочитать мой пост в MathOverflow внимательно, где я изложил все это со всеми математическими подробностями:

https://mathoverflow.net/a/342886/146631

А.Б.

[Barau_R_Tour]

Октябрь 20, 2019

Привет Артур,

Не отвлекаясь слишком далеко от главной линии обсуждения, я хочу упомянуть, что в случае волчка тип-топ, я ясно вижу, как нормальная реакция стола и геометрия могут породить начальную центробежную силу, и как во второй половине цикла (т.е. после того, как стебелек коснется стола) сила Кориолиса может поднять волчок на попа.

Но в случае волчка Джанибекова сложнее увидеть, как реакция воздуха может вызвать полный переворот при неизменном направлении вращения.

Вот почему я все еще цепляюсь за инерционный механизм переворота.

Итак, да, я согласен, что мы имеем дело с пограничным случаем, где – по вашему мнению – вращение вокруг промежуточной оси не будет достаточно, чтобы вызвать переворот.

Но я думал нечто подобное в отношении противоположной ситуации, когда ошибочно полагал, что осесимметричный объект перевернется при вращении вокруг длинной оси. Я недооценил центробежные эффекты, которые вызваны вращениями (очень малыми) относительно двух других осей. В конце концов, я должен был признать, что баланс имеет место, и это связано с соответствующими обратно различающимися [? – А.Б.] величинами моментов инерции.

С уважением Дэвид

[Barau_R_Tour]

Октябрь 23, 2019

Привет Артур,

Итак, несмотря на небольшие отклонения от идеальной осесимметричной формы, вращение волчка Джанибекова теоретически должно быть устойчивым, если мы раскрутим его вокруг устойчивой оси.

Теперь (вопреки тому, что я говорил пару недель назад) я принимаю, что крутящий момент Кориолиса – это та сила, которая стремится предотвратить переворот, и что при стабильном вращении он компенсирует центробежный крутящий момент, хотя эти два противоположных крутящих момента создают сложный крутящий момент (прецессионный крутящий момент). Я поменял свое мнение, когда понял, что прецессия, конечно, будет включать радиальное движение в ситуации вращения.

При вращении вокруг неустойчивой оси центробежный крутящий момент превышает крутящий момент Кориолиса.

Мы согласны, что на некотором расстоянии от устойчивой оси будет критический момент, когда эффект неустойчивой оси станет доминирующим.

Теперь у нас остается пара открытых вопросов:

(1) Не будет ли это расстояние до критической точки слишком большим вследствие неравномерного распределения массы?

(2) Достаточна ли реакция воздуха для достижения переломной точки?

С уважением  Дэвид