В каждый момент времени движущееся тело имеет строго определённую скорость, говорит нам график зависимости скорости от времени. Но физически за время равное нулю замер скорости сделать невозможно, - такого значения времени не существует. (Ещё древний грек Зенон заметил, что за время равное нулю летящая стрела неподвижно висит в пространстве.) Придётся взять бесконечно-малую долю времени не имеющую физического дления, то есть ∆t, что будет означать на графике уже некоторую невещественную площадь прямоугольника с этим основанием, и высотой V. Соответственно за время ∆t измерения скорости, тело пройдёт не имеющее вещественной длины расстояние ∆s, и на графике зависимости пути от времени это получит своё отражение. (Опять отношение невещественных отрезков даёт вещественную величину.) Отсюда вывод, - функция пути от времени состоит из бесконечно малых участков, каждый из которых имеет свой угол наклона. Отношение ∆s/∆t (тангенс угла наклона в точке t) на этом графике равно скорости V на графике производной (зависимости скорости от времени) в этой же точке t. Таким образом,
В этом смысле все сечения шара, чей объём мы считали выше, тоже содержат в себе безразмерную толщину дольки, которые, бесконечно суммируясь под кривой и дают общую "толщину" всего шара. На самом деле происходит неразрывный перенос всех площадей сечений в площадь под кривой производной. Однако метод позволяет с чудесной лёгкостью выхватывать точки экстремумов, в которых функция меняет знак, определяя минимумы и максимумы.
Бесконечно малое не существует подобно атомному ядру или нейтрону, оно плод нашего воображения, логическая условность, разбивающая на части реальную протяженность. Отождествление площади круга площади прямоугольного треугольника происходит в целом, а обоснование, - через условное разбиение на бесконечно малые сектора с последующим их сложением в изменённом виде.
Разберём, как интегрирование помогло найти формулу закона радиоактивного распада.
Экспериментальным путём установили - за одно и то же время радиоактивных ядер исследуемого нуклида или изотопа становится в два раза меньше. Требуется найти формулу расчёта количества ядер для любого времени t. Если от цикла к циклу за одно и то же время распадается в два раза меньше ядер, равномерно убывает и скорость распада (рис а). Введём свою для каждого нуклида постоянную λ, гарантирующую равенство ∆N/∆t=-λN (знак минус означает убывание количества ядер) бесконечно малого изменения количества ядер за бесконечно малое время. У каждого значения N своё соотношение ∆N/∆t, максимальное при начальном количестве ядер и минимальное при приближении N к нулю на искомой N(t).
Пусть N=200 ядер. За ∆t их становится вдвое меньше, - ∆N=100. Тогда:
Чтобы решить нашу задачу слева сгруппируем количество ядер, справа время: ∆N/N=-λ∆t. Слева гипербола Y=∆N/N=(1/X)dx (рис б), справа константа Y=-λ∆t=-adx (рис в). Каждому значению гиперболы через равенство соответствует значение константы.
Сравним приращения площадей справа и слева. Пусть λ=1
Этого абсурда можно избежать, допустив изменение ширины ∆N в зависимости от положения на координатной прямой (рис б). ∆N в точке N=0,001 в тысячу раз тоньше, чем в точке N=1. Ведь чем больше N, тем больше ∆N (50<->25, 100<->50, 200<->100). ∆N/N произведение бесконечно малого на число, делающее всё произведение тоже бесконечно малым. Запись ∆N/N=f(x)∆x=f(x)dx означает сумму площади под функцией f(x), то есть интегрирование. Тогда по аналогии скорость-производная пути, 1/N у нас "скорость", N своеобразное время, а первообразная (LnN) – "путь". Мы отрываемся от физики к чистой математике. На графике б) чем больше ядер, тем меньше "скорость" f(N), что соответствует отставанию роста функции первообразной LnN от роста аргумента N, хотя это вроде бы противоречит физической картине, в которой чем больше ядер, тем больше скорость распада. Площади под кривыми разной формы интегрированием унифицируются, превращаясь в отрезки первообразных.
N
t t
∫∆N/N=-
∫λ∆t => Ln(N
t/N
о)= λt => N
t=N
ое
-λt N
о 0
Вот так чисто математический метод помог найти формулу с заявленными условиями.
Если теперь мы продифференцируем полученное выражение по времени dN/dt и возьмём результат по модулю, назовём его активностью N
t`= I = λN
ое
-λt, переобозначим так же λN
о на I
о, то получим запись производной I
t=I
ое
-λt очень похожую на первообразную. На самом же деле производная, она же скорость убывания первоначального количества ядер, опущена и перевёрнута по сравнению с первообразной на – λ. Интегрирование по частям помогло нам преобразовать неясное равенство, из которого выразили количество ядер ("путь" так сказать). Затем продифференцировали его получив скорость распада.
Укажем нюанс между математической и физической вероятностями. Возьмём десять рослых людей и будем откладывать на абсциссе их рост, а на ординате количество людей, попадающих в определённый диапазон, например, рост 195+/-2 см в нашей группе имеют три человека. Эти три человека будут вершиной кривой Гаусса. По краям расположатся более низкие и более высокие группы, составляющие нисходящие и восходящие ветви кривой. Если мы возьмём тысячу случайных людей, кривая Гаусса у нас останется, но станет больше и шире. И чем больше в нашей выборке людей, тем больше кривая, и тем меньше диапазон сложения. Заменим людей на ядра вещества, испытывающего радиоактивный распад, а рост на время жизни отдельного ядра. Всё та же кривая Гаусса. Но когда мы интегральным путём получали математическое описание закона радиоактивного распада мы предполагали бесконечно большое количество распадающегося вещества что даёт нам возможность свести интервал к бесконечно малому и добиться математической точности, которой в реальности нет. То есть если мы говорим о математике, то множество величин роста или времён жизни ядер ведут себя так, словно знают рост или время жизни всего остального множества, сверяясь с ним, чтобы занять своё место на кривой, а в реальности это всегда конечное множество приближённых из-за ненулевого интервала значений обусловленное неким единым обстоятельством, как например, прибоем формирующим размер гальки.
Сделаем самое широкое обобщение. Мы представляем состоящую из бесконечно малых декартову систему координат, образы функций изучаемых процессов, а также наше представление об бесконечно малом, и с бесконечной скоростью множащемся бесконечно большом. Одномерные, то есть бесконечно малые объекты, мы приравниваем к двумерным, двумерные к трехмерным, и наоборот. Мы ставим в точном соответствии бесконечное множество точек бесконечному множеству отрезков, из которых слагается площадь. Мы не можем для проверки своей версии тонко и изящно нарисовать график функции, чтобы при помощи мощного микроскопа увеличив его, увидеть изломы прямых участков, из которых такая кривая состоит. Мы только мыслим себе это.
Интегрально-дифференциальное чудо стало возможным благодаря двум перекрещивающимся бесконечностям, - бесконечно мелкому разбиению и бесконечно большому их сложению. Оно поймало непрерывное, постоянное, бесконечно быстрое движение в настоящий момент в окружающем нас мире.Очевидно, что
использование интегрально-дифференциального метода показывает нам ложность разделения математического мира на качество-количество, и единство-множественность. Отказ от противопоставления распахивает бескрайние горизонты возможностей. Для того, чтобы он работал, нам нужно принять мир, в котором количество нулей без границ между ними, без линейных размеров имеет строго определённое направление в пространстве, и мгновенно, непрерывно, вечно перетекает в качество протяжения. Мы обязаны думать, что процесс бесконечно быстрого размножения бесконечно малых не прерывается никогда. Точка не имеет протяжения, имея чёткую ориентацию в пространстве. Вещественный отрезок состоит из бесконечного множества непротяженных точек. "Находясь" на бесконечно-малой точке мы не можем перейти на соседнюю, так как не можем её "увидеть",
и тем ни менее наша точка являющаяся неделимой единицей касания касательной состоит из отрезков в системе координат ∆X и ∆Y имеющих два конца каждый, и обладающих вследствие этого бесконечным множеством точек между собой. Но в этом конкретном случае мы должны допустить, что между концами отрезков нет точек, а самих концов - один у каждого отрезка. Раз качество и количество, единство и множественность не противоположны друг другу, поскольку противопоставление не соответствует реальности, говорит математика, то привычное представление пространства тоже ложная идея. А это значит, что и неразрывно связанная с пространством идея времени, к которой мы привыкли с детства, так же ошибочная концепция. Если бесконечно просуммировать ничто, появится пространство и время. Если его бесконечно не суммировать, то на преодоление в отдельности каждого бесконечно малого не нужно реального времени.
Пространство и время берутся из ничего, и в ничего исчезают! Кто-то скажет, что это ведь только свойство математического, а не реального мира, но рассчитываем-то мы при помощи математики для реального мира, и, значит, математический мир составная его часть.
Использование интегрально-дифференциального исчисления позволяет нам сделать вывод теоретической физики глобальной важности.
Согласно механике Ньютона скорость: v=dx/dt, импульс: p=m
*dx/dt=mv, сила F=dp/dt=m
*d
2x/dt
2=m
*dv/dt, работа/энергия: dA=F
*dx=(m
*d
2x/dt
2)vdt=(m
*dv/dt)vdt=mvd
2x/dt= mvdv
v - абсцисса, A - ордината. Чтобы узнать всю работу/энергию А/Е при v от нуля до бесконечности, интегрируем выражение mvdv, то есть считаем площадь под этой прямой. Получаем Е=mv
2/2 - кинетическую энергию.
Как увеличивается импульс от точки к точке, если в каждой конкретной точке он неизменен? Предположим, что в точке 1 импульс неизменен, а перескочив в соседнюю уже изменился. Тогда получится, что длина абсциссы v состоит из промежутков между точками, в которых импульс неизменен, что очевидный абсурд. Либо между точкой, в которой импульс неизменен и той, в которой он уже изменился мы можем вставить бесконечное множество точек, а между ними ещё, и никогда не сдвинемся с места, не изменим импульс. Значит, при изменении импульса скорость должна меняться уже в каждой точке "на её протяжении". Отсюда все эти ∆E/∆v,
∆Q/∆T,
dx/dt, dv/dt, - берём среднее по бесконечно малому отрезку и делим его на такое же среднее.
На скоростной шкале v импульс в точке равен mv. Но каждая точка v имеет ширину (толщину) ∆v означающую прирост импульса в масштабе одной точки. Этот прирост требует выделения/потребления энергии ∆E. Таким образом произведение импульса в точке mv на ширину этой точки mv∆v=∆E и потому площадь под кривой импульса будет равна необходимой для этого импульса энергии. Так как ∆v постоянна, рост площади будет определять крутизна роста функции mv.
Из опыта Майкельсона-Морли и преобразований Лоренца известно, что часы движущейся системы замедляются в сравнении с часами неподвижной системы на произведение фактора Лоренца
√(1-v
2/c
2) При приближении скорости движения к световой, это выражение, становясь всё меньше, убывает до нуля, тяня в ноль сомножители. Если же оно располагается в знаменателе, то оно точно так же до бесконечности увеличивает любое число. Релятивистское переписывание формулы для импульса внесёт фактор Лоренца как раз в знаменатель. Посчитаем релятивистское выражение для полной энергии тела имеющего массу покоя.
Интегрально-дифференциальный метод позволил нам открыть удивительную тайну природы - любая масса сама по себе является энергией невероятной мощности! При скорости равной нулю полная энергия тела массой m равна mc
2.