Математика и ААД (Абсурдный Алгоритм Давидюка)

[yakiniku]

Данные три странички возникли как отклик на рискованное предложение о премии в $100,000 тому кто найдет ошибку в работе Давидюка. Быстро выяснилось, что само по себе предложение о премии прямая ложь - даже самые откровенные, бросающиеся в глаза и всеми признанные ошибки Давидюк отрицает. К тому же он настолько, пардон, вонюч, что любая дискуссия с ним совершенно невозможна.

Но все же какого-то внимания вопрос заслуживает, поэтому хочу привести мои заметки здесь (не выбрасывать же). Тем более, что МаленькийГном возмущался, что на формуе вообще нет математики, пусть хоть какая-то будет  .

Итак, три странички. Читается, наверное, не очень легко, но уж всяко легче чем исходная работа.
Ссылки на ПиДиЭф файлы:
http://dl.dropbox.com/u/36985177/Page1.pdf
http://dl.dropbox.com/u/36985177/Page2.pdf
http://dl.dropbox.com/u/36985177/Page3.pdf

[Alexpo]

Итак, три странички. Читается, наверное, не очень легко, но уж всяко легче чем исходная работа.

yakiniku, прошу прощения, но в вашем сообщении я убрал теги img, которые не реагируют на формат pdf. Получились просто ссылки. Если хотите, чтобы картинки были видны, переделайте pdf в какой нибудь из графических форматов.

P.S.  По делу пока не пишу, некогда. Потом внимательно прочитаю.

[Dachnik]

yakiniku, прошу прощения, но в вашем сообщении я убрал теги img, которые не реагируют на формат pdf. Получились просто ссылки. Если хотите, чтобы картинки были видны, переделайте pdf в какой нибудь из графических форматов.
P.S.  По делу пока не пишу, некогда. Потом внимательно прочитаю.

После удаления тегов, ссылки открываются, кликом по ссылке. У меня стоит Adobе rеаder.
Как я понял автор вводит понятие "двоично-рационального числа. Хочет показать, что при записи в двоичном коде, результат манипуляций с двоичным числом, будет отличаться от подобных манипуляций  с десятичным.
Как понять эту фразу?

Если же действительное число не двоично-рациональное, ...

Любое действительное десятичное число может быть записано в двоичном коде и никогда от этого не станет иррациональным. И наоборот.
Когда понятие "рациональное число" подменяют двоично-рациональным, десятично-рациональным жди подтасовки.
Просто авторам понравилась запись двоичного числа 0,101 как 1*1/2 + 0*1/2² + 1*1/2³ = 1/2+0+1/8 = 0,625
а 0,111 = 1*1/2 + 1*1/2² + 1*1/2³ = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 в десятичной системе. Решили что то ловить в бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
Как говорится Бог в помощь. Математика тут не поможет.

[yakiniku]

После удаления тегов, ссылки открываются, кликом по ссылке. У меня стоит Adobе rеаder.
Как я понял автор вводит понятие "двоично-рационального числа. Хочет показать, что при записи в двоичном коде, результат манипуляций с двоичным числом, будет отличаться от подобных манипуляций  с десятичным.
Как понять эту фразу?Любое действительное десятичное число может быть записано в двоичном коде и никогда от этого не станет иррациональным. И наоборот.
Когда понятие "рациональное число" подменяют двоично-рациональным, десятично-рациональным жди подтасовки.
Просто авторам понравилась запись двоичного числа 0,101 как 1*1/2 + 0*1/2² + 1*1/2³ = 1/2+0+1/8 = 0,625
а 0,111 = 1*1/2 + 1*1/2² + 1*1/2³ = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 5/8 в десятичной системе. Решили что то ловить в бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
Как говорится Бог в помощь. Математика тут не поможет.

Натуральное число : 1,2,3,...
Целое число - это натуральное число или натуральное число, взятое с обратным знаком или 0, то есть:
1,2,3,... или 0, или  -1,-2,-3...
Рациональное число - это целое число плюс простая дробь вида i/j, где m,n - натуральные числа.
Примеры рациональных чисел: 1/2 = 0,5,  2/3 = 0,666666...
Действительные числа - это рациональные и иррациональные числа. Примеры иррациональных чисел - число пи или корень квадратный из двух.

Для того, чтобы ввести иррациональные числа, понятие рациональных чисел сначала сужают и вводят понятие десятично-рационального числа, то есть простые дроби вида i/j, но j не любое натуральное число (как для рационального числа), а степень 10 (то есть 10, 100, 1000, ...) Что то же самое,
десятично-рациональные это такие числа, которые можно записать в виде конечное деситячной дроби. Пример десятично-рационального числа: 1/2 = 0,5 = 5/10. Пример рационального числа, которое не является десятично-рациональным 2/3 = 0,666666...

А затем, понятие десятично-рациональных чисел расширяют, с помощью представления о бесконечных десятичных дробях, и в это расширение захватываются, во-первых, все рациональные числа, представимые в виде бесконечной периодической дроби. Например:
2/3=0,66666....=0,(6) (скобки означают "в периоде"). Все остальные бесконечные десятичные дроби - это иррациональные числа.  

Тут я ничего не вводил - это все из учебников, из Википедии и.т.д.
--------------------------
Если в этих терминах, то Давидюк чтобы переопределить понятие действительных чисел (делать ему нечего), сначала сузил рациональные числа до двоично-рациональных (так делать можно, абстрактной математике все равно, двоичная у нас система или десятичная), но вот расширить их пространство настолько, чтобы ввести все действительные числа, не сумел (а скорее всего - забыл).    

[Dachnik]

Меня смутила фраза. "Если действительное число не двоично-рациональное..............", то для меня она звучала как "Если действительное число не двоично-рациональное, то оно иррациональное." Потому и не четко составил последующую фразу.
Да вроде бы с числами все в порядке, все они находятся на числовой оси. И зачем их там еще определять из-за  двоично, десятеричного  исчисления.
Что хотел показать автор, переводя дроби в двоичное исчисление. На десятеричном потренироваться не мог?

[Alexpo]

В определение действительных чисел на стр.91-92 должно быть добавлено, что рациональное число является действительным и что действительное число [a_n;b_n]. рационально тогда и только тогда, когда a_n эквивалентна стационарной последовательности.

У Давидюка фактически производится отображение множества натуральных чисел на отрезок, получаемый дихотомией или т.п.. Таким образом он получает не множество действительных чисел, а множество отрезков. Да эти отрезки сходятся, однако действительное число, представляемое бесконечной десятичной дробью может быть получено только при числе шагов разбиения, стремящихся к бесконечности. Но бесконечное число шагов алгоритма противоречит требованию о его конечности.

Кроме того, насколько я понимаю, идет отображение множества натуральных чисел на множество действительных чисел. Но, насколько я знаю, мощность континуума больше мощности счетного множества.

Мне лично непонятно следующее утверждение на стр 86 при определении натуральных чисел

"А < В равносильно (то же самое, что) "

ведь А и В натуральные числа, а не множества и А не может содержаться в В.

[yakiniku]

Пожалуй, с использованием Латеха, я и в одном посте все сумею сформулировать.
1. В [1] введена функция F от двух целочисленных аргументов p; n, где n=0,1,2, - целое неотрицательное число, а p=1,2,3... - натуральное число, которое может быть однозначным образом представлено в виде:
\[ p=1+\sum_{j=1}^{n_s(p)}{\ell^p_j2^{j-1}}, \quad 2^{n_s(p)-1}<p\le2^{n_s(p)} \]
где \[ \ell^p_j=\{0,1\} \]
равные нулю или единице цифры в записи двоичной формы числа (p-1), перенумерованные индексом j в направлении справа налево, а n_s(p) - число двоичных цифр в такой записи. Каждой паре значений p;n функция F ставит в соответствие пару двоично-рациональных чисел [a^p_n;b^p_n], построенных следующим образом.  
\[ [a^p_n=\sum_{j=1}^{\min(n,n_s(p))}{\ell^p_j2^{-j}};\,\,b^p_n=a^p_n+2^{-n}] \]
Данная форма явной записи эквивалентна куда менее удачной рекурсивной формулировке в [1]
\[ a^p_n=
\left\{
\begin{array}{ll}
a^p_{n-1}=a^p_{n_{\rm s}(p)}&,\text{}n>n_{\rm s}(p) \\
a^{p^\prime}_{n-1}+2^{-n_{\rm s}(p)}&,\text{}n=n_{\rm s}(p) \\
a^{p^\prime}_{n}&,\text{}n<n_{\rm s}(p) \\
\end{array}
\right. \]
где
\[ p^\prime=p-2^{n_{\rm s}(p)-1} \]
(сравни первую, вторую и третью строчку в фигурной скобке с выражениями в [1] на странице 94 для G, G^* и F^* соответственно)
2. Далее в [1] вводятся в рассмотрение действительное число r_p, которое может быть посталено в соответствии паре вложенных последовательностей [a^p_n;b^p_n] при фиксированном значении p. В данном случае это действительное число двоично-рационально и равно a^p_ns(p) поскольку последовательность a^p_n при фиксированном р  стационарна (см определение в [2]) - все ее члены, начиная с n=n_s(p) равны: a^p_n=a^p_ns(p) при n>n_s(p). В терминологии Никольского (см [3]) последовательность  a^p_n стабилизируется к a^p_ns(p):
\[ r_p=a^p_{n_s(p)}=\sum_{j=1}^{n_s(p)}{\ell^p_j2^{-j}} \]
Это число есть не что иное как двоично-рациональное число (конечная двоичная дробь), причем те же  \[ \ell^p_j=\{0,1\} \]
теперь обретают смысл равных нулю или единице цифр в записи числа r_p, перенумерованных индексом j в направлении слева направо, а n_s(p) - число двоичных цифр в такой записи.
3. Наконец, множество А чисел r_p, счетное по построению, есть множество всех двоично-рациональных чисел (то есть всех чисел, представимых в виде конечной двоичной дроби) на отрезке [0;1] за исключением единицы (то есть двоичных дробей с нулевой целой частью), причем каждая двоичная дробь r_p представляет собой записанное в обратном порядке двоичное предстваление для числа (p-1). Такая возможность однозначного вычисления r_p по номеру p и наоборот номера p для любого записанного в виде конечной двоичной дроби числа r_p доказывает, что в множестве A присутствуют все двоично-рациональные числа на отрезке [0;1] за исключением единицы и только эти числа.
4. Тем самым работа [1], утверждающая, что счетное множество А является множеством всех действительных чисел на отрезке [0;1], является грубо ошибочной.
[1] К.В.Давидюк, Конструктивная Теория Множеств.
[2] http://ru.wikipedia.org/wiki/Числовая_последовательность
[3] C.М.Никольский, Курс Математического Анализа.

[Константин Давидюк]

Так вот - это не так и я могу это показать (и при необходимости подробно доказать). Вся работа Давидюка основана на введенной им рекурсивной функции F(p,n)=[a^p_n;  a^p_n+2^-n]. При этом числа (1) - элементы пространства А - вводятся следующим образом:
\[ r_p=\lim_{n\rightarrow\infty}a^p_n=a^p_\infty\qquad(2) \]
где предельный переход по n к бесконечности, происходит при фиксированном p.

А теперь покажи и подробно докажи как ты переходишь к пределу по n при фиксированном p, когда они связаны равенством p=2ⁿ.

Видишь, Якунака, тебя никто за язык не тянет. Сам же говоришь: покажу, докажу... Так вот покажи и докажи  
И сразу премию получишь от самого Давидюка Константина.

[МаленькийГном]

Для того, чтобы ввести иррациональные числа, понятие рациональных чисел сначала сужают и вводят понятие десятично-рационального числа, то есть простые дроби вида i/j, но j не любое натуральное число (как для рационального числа), а степень 10 (то есть 10, 100, 1000, ...) Что то же самое,
десятично-рациональные это такие числа, которые можно записать в виде конечное деситячной дроби. Пример десятично-рационального числа: 1/2 = 0,5 = 5/10. Пример рационального числа, которое не является десятично-рациональным 2/3 = 0,666666...

Определение иррациональных чисел, вообще говоря, не имеет никакого отношения к десятичным или двоичным числам. Вещественное число называют рациональным, если его можно представить в виде отношения двух целых. Если вещественно число не рациональное, то его называют иррациональным. То, что Вы говорите - это только следствие из этого определения.

[МаленькийГном]

Меня смутила фраза. "Если действительное число не двоично-рациональное..............", то для меня она звучала как "Если действительное число не двоично-рациональное, то оно иррациональное." Потому и не четко составил последующую фразу.
Да вроде бы с числами все в порядке, все они находятся на числовой оси. И зачем их там еще определять из-за  двоично, десятеричного  исчисления.
Что хотел показать автор, переводя дроби в двоичное исчисление. На десятеричном потренироваться не мог?

С двоично-рациональными числами оперировать проще

[yakiniku]

Определение иррациональных чисел, вообще говоря, не имеет никакого отношения к десятичным или двоичным числам. Вещественное число называют рациональным, если его можно представить в виде отношения двух целых. Если вещественно число не рациональное, то его называют иррациональным. То, что Вы говорите - это только следствие из этого определения.

Да, конечно. Я собственно никаких определений и не давал.

Работа Давидюка неверна, ошибка найдена и тема закрыта. Желающие продолжить дискуссию могут сделать это в его теме на форуме Менде.

[yakiniku]

Рецензия на работу К.В.Давидюка "Конструктивная Теория Множеств" (КТМ).

Настоящим подтверждаю заключение ИМ НАН РБ об ошибочности работы КТМ: построенное в ней множество А является множеством двоично-рациональных чисел отрезка [0,1] за исключением единицы, а не всех действительных чисел отрезка [0,1], как утверждяется в КТМ.

Аннотация. На стр.90-92 КТМ действительное число определено через соответствие как предел последовательности "вложенных" пар рациональных чисел. Далее на стр.94-95 определяется множество А:

1. Введена функция F(p,n) двух целых аргументов (индексов) p=1,2,3,...,n=0,1,2, значениями функции являются пары двоично-рациональных чисел (то есть чисел вида m/2ⁿ, где m - целое):
\[ F(p,n)=[a^p_n;a^p_n+2^{-n}],\quad p=1,2,3,...\quad n=0,1,2...\qquad(1) \]
где a¹₀=0, а прочие a^p_n заданы рекурсивно^*):
\[ a^p_n=
\left\{
\begin{array}{ll}
a^p_{n-1}=...=a^p_{s(p)}&,\text{}\,\,\,\,s(p)<n<\infty\quad(2.1)\\
a^{p}_{n-1}+2^{-n}&,\text{}\,\,\,\,0<n=s(p)\quad(2.2) \\
a^{p-2^{s(p)-1}}_{n}&,\text{}\,\,\,\,0\le n<s(p)\quad(2.3)\\
\end{array}
\right. \quad \qquad(2)  \]
и целое число s(p) для заданного p находится из соотношения: 2^s(p)-1<p ≤2^s(p).

2. При любом фиксированном p нумерованная индексом n последовательность значений функции^*) F(p,n):
\[ F(p,n)=[a^p_n;a^p_n+2^{-n}],\quad n=0,1,2,...\qquad(3) \]
есть последовательность вложенных пар, которой соответствует имеющая пределом действительное число r_p:
\[ r_p=\lim_{n\rightarrow\infty}F(p,n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a^p_n. \]
Множество таким образом введенных чисел r_p в КТМ обозначено А. Мое изложение тождественно КТМ по смыслу, однако смотри^*). Зачеркнутый вариант учитывает, что в КТМ не вводится понятие предела.

Опровержение. Согласно (2.1) последовательность a^p_n при фиксированном р стационарна - все ее члены, начиная с n=s(p), равны: a^p_n=a^p_s(p) при n>s(p). Поэтому все числа r_p (элементы множества А) соответствуют стационарным последовательностям двоично-рациональных чисел и потому двоично-рациональны:
\[ r_p=a^p_{s(p)}. \]
Итак, доказано: А - это множество двоично-рациональных чисел, - а не всех действительных чисел.
Числа r_p и их свойства могут быть получены с помощью вытекающего из (2) правила рекурсии для них:
\[ r_1=0,\qquad r_p=r_{p-2^{s(p)-1}}+2^{-s(p)}, \]
\[ r_p=0,\frac12,\frac14,\frac34,\frac18,\frac58,\frac38,\frac78,\frac1{16},\frac{9}{16},\frac5{16},\frac{13}{16},\frac3{16},\frac{11}{16},\frac7{16},\frac{15}{16},...\qquad0\le r_p<1. \]
По официальному запросу заключение может быть подписано на бланке университета, входящего в топ-20 мирового рейтинга.

Примечания.
^*) В этом месте работы КТМ сделан "лишний ход":
1. Предполагается заполнение бесконечного списка "упорядоченных троек" [p,n,F(p,n)],    p=1,2,3...,n=0,1,2...(предположение незаконно, так как такой список невычислим в конечном алгоритме).
      - На шаге "рекурсии" J>0 создаются множества троек G_J-1, G*_J-1, F*_J-1 со значениями аргументов p,n функции F в интервалах:
\[ G_{J-1}:\,1\le p\le2^{J-1},\,\,\,n=J;\quad G^*_{J-1}:\,2^{J-1}<p\le2^J,\,\,\,n=J;\quad F^*_{J-1}:\,2^{J-1}<p\le2^J,\,\,\,n<J. \]
         Отсюда:
            [p,n,F(p,n)] ∈ G_n-1    , если s(p)<n;
            [p,n,F(p,n)] ∈ G*_n-1  , если 0<s(p)=n;
            [p,n,F(p,n)] ∈ F*_s(p)-1, если n<s(p) - сравни с условиями в (2.1-3).
      - В тройках для генерации значений функции (1) используется один из вариантов рекуррентного соотношения (2):
            вариант (2.1), если [p,n,F(p,n)] ∈ G_n-1;
            вариант (2.2), если [p,n,F(p,n)] ∈ G*_n-1;
            вариант (2.3), если [p,n,F(p,n)] ∈ F*_s(p)-1. (Доказано сотношение (2) во всех вариантах и условиях).
2. Для фиксированного р выделяются в класс все тройки, в которых первый элемент равен р: [p,n,F(p,n)], n=0,1,2...
3. Строится последовательность третьих элементов троек из класса: F(p,n), n=0,1,2...
Но это и будет последовательность (3)! Причем опирающийся на бесконечный алгоритм "лишний ход" недопустим, а введение последовательности (3) напрямую законно, так как каждый ее член (1) вычислим в конечном рекурсивном алгоритме (2).