Обобщаем производную и интеграл

[Мастеров АВ]

Ещё студентом я пытался обобщить производную и интеграл, заменив дискретный порядок дифференцирования-интегрирования на множество рациональных чисел, а потом и комплексных.

Обобщённие производной (и интеграла) проще всего получить посредством Фурье преобразования:
\[ f(x)\div F(j\omega) \]
\[ f^{(n)}(x)\div (j\omega)^n F(j\omega) \]

Логично сделать следующее обобщение:
\[ f^{(z)}(x)\div (j\omega)^z F(j\omega) \]

Я не нашел вразумительного физического определения для производных и интегралов не целого порядка, хотя таблицу производных и интегралов (помню) написал. С тех пор прошло четверть века, а эта задумка так и лежит в моём загашнике не востребованной. (У меня такого добра много.)

Предлагаю обсудить, и (возможно) у кого-то появятся идеи относительно того, где можно было бы использовать производные-интералы в обобщённом смысле.

[Мастеров АВ]

Для примера:

Производная степенной функции произвольного (комплексного - в том числе) порядка:
\[ (x^n)^{(z)}=\Gamma(n+1)x^{n-z}/\Gamma(n+1-z) \]

Производная показательной функции произвольного порядка:
\[ (e^{\lambda x})^{(z)}=\lambda^ze^{\lambda x} \]

[В.И.Костицын]

Ещё студентом я пытался обобщить производную и интеграл, заменив дискретный порядок дифференцирования-интегрирования на множество рациональных чисел, а потом и комплексных.

Обобщённие производной (и интеграла) проще всего получить посредством Фурье преобразования:
\[ f(x)\div F(j\omega) \]
\[ f^{(n)}(x)\div (j\omega)^n F(j\omega) \]

Логично сделать следующее обобщение:
\[ f^{(z)}(x)\div (j\omega)^z F(j\omega) \]

Я не нашел вразумительного физического определения для производных и интегралов не целого порядка, хотя таблицу производных и интегралов (помню) написал. С тех пор прошло четверть века, а эта задумка так и лежит в моём загашнике не востребованной. (У меня такого добра много.)

Предлагаю обсудить, и (возможно) у кого-то появятся идеи относительно того, где можно было бы использовать производные-интералы в обобщённом смысле.

 В классической геометрии нет промежуточных объектов между точкой (n=0 ) и отрезком прямой (n=1), между отрезком прямой и квадратом (n=2 ) и так далее.

 Целые показатели размерности бывают только у неподвижных пространств. Это предельный идеальный случай, который мы можем представить себе только теоретически, ведь реальное пространство – время без движения не существует.

 Зачастую дробные показатели размерности считают противоестественными. Такой взгляд стал возможным  лишь из-за того, что показатели размерности в большинстве физических процессов мало отличаются от целых чисел ввиду малых скоростей движения реальных физических объектов.

Дробные степени в показателях размерностей возникают также при описании фрактальных  (разномасштабных, подобных целому) сред. В фрактальной среде, в отличие от сплошной среды, случайно блуждающая частица удаляется от места старта медленнее, так как не все направления движения становятся для нее доступными. Замедление диффузии в фрактальных средах настолько существенно, что физические величины начинают изменяться медленнее первой производной и учесть этот эффект можно только в интегрально – дифференциальном уравнении, содержащем производную по времени дробного порядка

[Мастеров АВ]

Нелогично.

Наоборот: всё очень даже логично.

Дело в том, что первое свойство доказывается с помощью того, что Фурье преобразование есть просто интеграл специального вида, однако это обычный "целый" интеграл.

Что это отменяет?

Во втором выражении слева стоит неизвестно, что, приравненное наобум взятому выражению.

Это я не понял.

Разумеется, вы имеете право ввести такую величину, вот только на каком основании вы называете это производной?

Имею право ввести обобщённое понятие, частным случаем которого является понятие, всем известное.

Вы сначала должны ввести "нецелый" интеграл и производную на уровне определений, а уже потом показать, что используя обычный интеграл (Фурье) получим такое выражение.

Я и дал опрежделение, обобщающее понятие производной и интеграла.
Тут ничего доказывать не нужно.

Не забудем и о том, что вычисления интегралов для комплексного переменного - это отдельный разговор.

Это я тут даже и не обсуждал.

Как я понимаю, записав второе выражение для комплексного z, вы тем не менее полагаете, что Фурье преобразование идет по действительному переменному? Почему?

Я не обобщал производную и интеграл на случай, когда функция является функцией комплексной переменной.
На комплексных переменных и производных комплексного порядка можно пока не зацикливаться.
Достаточно ограничиться попытками осмыслить новое понятие: произаодные и интегралы рационального порядка.

Так у вас пока нет вразумительного и математического определения.

Как раз с определением всё чётко.

[Король Альтов]

Обобщённие производной (и интеграла) проще всего получить посредством Фурье преобразования:
\[ f(x)\div F(j\omega) \]
\[ f^{(n)}(x)\div (j\omega)^n F(j\omega) \]
Логично сделать следующее обобщение:
\[ f^{(z)}(x)\div (j\omega)^z F(j\omega) \]
Я не нашел вразумительного физического определения для производных и интегралов не целого порядка, хотя таблицу производных и интегралов (помню) написал. С тех пор прошло четверть века, а эта задумка так и лежит в моём загашнике не востребованной. (У меня такого добра много.)

О это очевидно - я думал у вас было что то серьезное.
Вот посмотрите я по совету В.И.Костицына кое чего интересного набрал поисковиком
http://ru.wikipedia.org/wiki/Дифферинтеграл
http://ru.wikipedia.org/wiki/Дробная_производная
http://314159.ru/de.htm

[Мастеров АВ]

О это очевидно - я думал у вас было что-то серьезное.

Очевидное не может быть серьёзным?

Любая новая идея проходит три стадии:

1. Все воспринимают её как чушь, как нечто невероятное, как то, че не может быть.

2. Идея воспринимается как вполне допустимое.

3. Идея становится очевидной.
___________________________

И ещё: всё, что я придумываю нового - просто и очевидно.
Взять к примеру ответ на вопрос "Почему дует ветер?".
Ни в одной книге правильного ответа нет, а тем не менее - ответ очевиден.
То же касаемо природы торнадо: ответа не знает никто, но ответ - очевиден (станет очевидным после того, как я его озвучу).

Обобщение производной на нецелый порядок очевиден, но почему-то в голову это обобщение пришло только мне.
И за четверть века никто не пытался сделать такое обобщение.

Так может ли быть очевидное серьёзным?

Мой опыт говорит, что "Всё гениальное - просто."

Хорошая ссылка: http://ru.wikipedia.org/wiki/Дробная_производная
Было время, когда я это искал.
Но - не нашел.
(Интернета тогда не было, а в наших книгах этого не было, и преподаватели университета про это не знали.)

ВОПРОС: Почему Риман и Лиувилль ограничились дробной производной, и - почему взяли такое сложное определение обобщённой производной?

[МаленькийГном]

Ещё студентом я пытался обобщить производную и интеграл, заменив дискретный порядок дифференцирования-интегрирования на множество рациональных чисел, а потом и комплексных.

Обобщённие производной (и интеграла) проще всего получить посредством Фурье преобразования:
\[ f(x)\div F(j\omega) \]
\[ f^{(n)}(x)\div (j\omega)^n F(j\omega) \]

Логично сделать следующее обобщение:
\[ f^{(z)}(x)\div (j\omega)^z F(j\omega) \]

Я не нашел вразумительного физического определения для производных и интегралов не целого порядка, хотя таблицу производных и интегралов (помню) написал. С тех пор прошло четверть века, а эта задумка так и лежит в моём загашнике не востребованной. (У меня такого добра много.)

Предлагаю обсудить, и (возможно) у кого-то появятся идеи относительно того, где можно было бы использовать производные-интералы в обобщённом смысле.

Интересная, хорошо изученная тема. Посмотрите
    * Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

[Мастеров АВ]

Интересная, хорошо изученная тема. Посмотрите
    * Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

У меня этой книги нет.

Я этим интересовался в с 1982 по 1983 год.

Вопрос тот же: зачем так сложно определять производную, и - почему только жробный порядок?

[МаленькийГном]

У меня этой книги нет.

Я этим интересовался в с 1982 по 1983 год.

Вопрос тот же: зачем так сложно определять производную, и - почему только жробный порядок?

Где-то в инете она есть, надо поискать. Производные определяются не  только дробного, но и комплексного порядка. Есть несколько определений и не все они равносильны.

[Мастеров АВ]

Где-то в инете она есть, надо поискать. Производные определяются не  только дробного, но и комплексного порядка. Есть несколько определений и не все они равносильны.

Хорошо, что наука не стоит на месте.
Вот только физический смысл (практическая ценность) не просматривается.

[МаленькийГном]

Хорошо, что наука не стоит на месте.
Вот только физический смысл (практическая ценность) не просматривается.

Не согласен. Один из источников проблемы дробного интегрирования и дифференцирования - решение Абелем (если не ошибаюсь) задачи о брохостохроне.

[Мастеров АВ]

Не согласен. Один из источников проблемы дробного интегрирования и дифференцирования - решение Абелем (если не ошибаюсь) задачи о брохостохроне.

Брохостохроне?
А это что за зверь?

[МаленькийГном]

Брохостохроне?
А это что за зверь?

Кривая, соединяющая две точки такая, что материальная точка под действием силы тяжести переместиться из одной точки в другую за минимальное время.

[Мастеров АВ]

Кривая, соединяющая две точки такая, что материальная точка под действием силы тяжести переместиться из одной точки в другую за минимальное время.

Циклоида называется.

Вот только (чтобы получить эту кривую) достаточно решить вариационную задачу, в которой достаточно владеть обычными производными и интегралами.

[В.И.Костицын]

Хорошо, что наука не стоит на месте.
Вот только физический смысл (практическая ценность) не просматривается.

Да как же он просматриваться будет, если Вы с Дидусей закрыли глаза и заткнули уши, как только о СТО речь зашла.
Уж куда наглядней и "физичней" предлагаемое мною.

1) Дробные производные должны описывать процесс пространственно-временных преобразований. Например, как площадь (двумерное пространство) преобразуется в отрезок (одномерное пространство). Ведь в геометрии и физике нет чего-то среднего между плоскостью и отрезком.
 
2) Однако СТО такие объекты допускает. Мало того, В СТО только такие промежуточные объекты (полуотрезок-полуплоскость) и возможны. Покоящийся квадрат со стороной x и площадью x² имеет размерность n=2, то есть
                                         Sⁿ⁼²=x².
Этот же квадрат, движущийся с V=c превращается в два отрезка размерностью n=1 и длиной x каждый, то есть                                          
                                                    Sⁿ⁼¹=2x.


3) Легко заметить, что производная от Sⁿ⁼² равна (Sⁿ⁼²)^/_x=2x
4) Появилась возможность связать размерность пространства n c загадочной дробной производной, получающей в СТО наглядное геометрическое и физическое истолкование, если допустить плавное изменение n от 2 до 1 при увеличении скорости движения квадрата от V=0 до V=c.

5) То есть надо найти формулу, преобразующую x² в 2x. И тут возможны несколько вариантов введения дробной производной. Если использовать сокращение размеров при движении в СТО, то
                                               (x²)^(N)_x=((x)²)^M

где N - показатель дробной производной, он же размерность движущегося пространства (N=2...1).
 M=1/2+(1-V²/c²)^1/2, если 1/2+(1-V² /c²)^1/2<1 (1)
 M=1/2 -(1-V²/c²)^1/2, если 1/2+(1-V² /c²)^1/2>1      (2)


6) Легко убедиться, что дробная производная при V=0  равна x², как и должно быть, а при  V=c равна x, а не 2x, как это требуется.
Это маленькое недоразумение легко устраняется, если двигать не квадрат, а круг, приняв x=R и тогда при V=c круг сожмется в диаметр окружности, равный 2x.

7) Нельзя СТО выкидывать всю на помойку. Для выяснения геометрического и физического смысла дробных производных она очень даже полезна, а вот по разному стареющих близнецов и относительность одновременности следует без сожаления отправить на физическую свалку.

8) В (1) и (2) мы столкнулись с физической дуальностью, но об этом - в следующий раз.

[Король Альтов]

У меня этой книги нет.
Я этим интересовался в с 1982 по 1983 год.
Вопрос тот же: зачем так сложно определять производную, и - почему только жробный порядок?

Блин - я тебе ссылку давал специально - там все есть - только скачивай.
http://314159.ru/de.htm

[Король Альтов]

Очевидное не может быть серьёзным?
И ещё: всё, что я придумываю нового - просто и очевидно.
Взять к примеру ответ на вопрос "Почему дует ветер?".
Ни в одной книге правильного ответа нет, а тем не менее - ответ очевиден.
То же касаемо природы торнадо: ответа не знает никто, но ответ - очевиден (станет очевидным после того, как я его озвучу).
Обобщение производной на нецелый порядок очевиден, но почему-то в голову это обобщение пришло только мне.
И за четверть века никто не пытался сделать такое обобщение.
Мой опыт говорит, что "Всё гениальное - просто."

Ваш диагноз очевиден - вы гений, причем возможно неизлечимый гений.

[Мастеров АВ]

У меня этой книги нет.
Я этим интересовался в с 1982 по 1983 год.
Вопрос тот же: зачем так сложно определять производную, и - почему только жробный порядок?

Блин - я тебе ссылку давал специально - там все есть - только скачивай.
http://314159.ru/de.htm

Четверть века назад мне эта ссылка была бы интересной.
Сегодня - нет.
Тем более, что определение обобщённой производной, которую они предлагают, слишком сложная для понимания.

Мы знаем интерпретации (физические, геометрические и аналитические) производной и интеграла.
Мне интересна интерпретпция производной не целого порядка.

[В.И.Костицын]

Ещё студентом я пытался обобщить производную и интеграл, заменив дискретный порядок дифференцирования-интегрирования на множество рациональных чисел, а потом и комплексных.

Обобщение производной и интеграла целесообразно начать с обычных производных и интеграла, а не с дробных.

Для замкнутых равномерно искривленных евклидовых пространств справедлива формула
 Sⁿ_отн=2пi*n*rⁿ~Lⁿ      (3.6)
где: Sⁿ_отн- количество замкнутого равномерно искривленного пространства n числа измерений; r – радиус пространства.

При n = 1 формула (3.6) дает длину окружности (количество одномерного равномерно искривленного пространства); при n = 2 получаем площадь сферы (количество двумерного равномерно искривленного пространства); при n = 3 получаем количество трехмерного замкнутого равномерно искривленного пространства, специального названия не имеющего:
 S³_отн=2пi*3*r³=6пi*r³~L³
  
При n = 0 получаем S⁰_отн=0, запрещенное нестандартным анализом, следовательно, пространство S⁰ не может быть искривленным. Существует лишь абсолютное (не искривленное) ньютоново время  , единицей измерения которого является безразмерное число, так как L⁰=1 .

Количество абсолютного (не искривленного) пространства равно:
 Sⁿ_абс= //S^n-1_отнdr+ const  (3.7)
// - знак интеграла.

При n=2  получаем по (3.7) S¹_абс=r+const  , где r  - длина отрезка прямой. При n=2   получаем S²_абс=пi*r²+const  где пi*r²  - площадь круга. При n=3 получаем S³_абс=(4.3)пi*r³+const где (4/3)пi*r³  - объем шара.

Количество четырехмерного абсолютного пространства, специального названия не имеющего:
 S⁴_абс=//S³_отн*dr=//2пi*3*r³*dr=(3/2)пi*r⁴+const

Константа в (3.7) может принимать любое значение, лежащее в интервале
 Sⁿ_max>Sⁿ_min   (3.8)
Формула (3.8) выражает краевые условия пространственно-временных преобразований.

[Мастеров АВ]

Обобщение производной и интеграла целесообразно начать с...

Костицын, ваши определения обобщённой производной не годятся.