Алгебра бесконечно-малых

[Король Альтов]

    Алгебра это раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел. Алгебра — это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма.
Алгебраическая система — упорядоченная пара множеств . Первое множество (R) — элементы какой либо природы (числа, понятия, буквы). Второе множество (E) — операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень).
Примерами алгебраических систем являются группы, кольца, поля.
      Современный математический анализ это совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчисления (анализ бесконечно-малых). В более общей трактовке к анализу относят и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.
    Вместе с тем очевидно, что бесконечно малые это те же самые числовые обьекты, которые изучаются в алгебре, но обладающие просто рядом особых свойств. Отсюда очевидно следует, что раздел математики занимающийся изучением бесконечно малых это просто особая алгебра, подобная обычной общей алгебре, то-есть алгебра бесконечно малых. Это означает что современный математический анализ или анализ бесконечно-малых несовершеннен по своей сути и концепции, хотя бы потому что в нем, в отличие от алгебры, рассматривается только два базовых действия аналогичных сложению и вычитанию это интегрирование и дифференцирование. В данной работе будет предложен принципиально новый подход к анализу бесконечно-малых, как к алгебре бесконечно малых, в которой будут рассматриваться четыре основных базовых действия. Такой подход обладает не только простой и ясностью, но представляет ряд неоспоримых преимуществ по сравнению со стандартным соверменным математическим анализом и является по сути его принципиальным усовершенствованием. В данной постановке алгебра бесконечно малых является по сути многомерным обобщением современного математического анализа, соответствующая природе многомерности нашего мира.

[Король Альтов]

Основная идея алгебры бесконечно-малых -1.
1). Основные базовые алгебраические действия. Как известно в алгебре четыре основных действия.
1.1).     Сложение:    \(  X+Y=Z \)
1.2).     Вычитание:   \(  X-Y=Z \)
1.3).    Умножение:   \( X \times Y=Z  \)
1.4).    Деление:       \( X:Y = \frac{X}{Y}=Z \)
1.exp). Показательная функция: в качестве примечания следует отметить, что возведение в степень, радикалы, показательная сепень и логарифм не совсем тривиальным образом вписываются в наши представления о четырех основных алгебраических действиях. Однако с другой стороны радикалы, как и возведение в степень являются частными случаями показательной и логарифмической функции, а сама показательная функция есть некое обобщение операций умножения и сложения и самостоятельной операцией считаться не может. Это скорее можно считать уже элементарными или специальными функциями, которые могут быть, как известно, выражены через совокупность базовых алгебраических действий.
1.J).     Неполнота множества вещественных чисел: общеизвестно, что четыре базовых алгебраических действия над множеством вещественных чисел \(\mathbb{R} \) не обладают свойством полноты, несмотря на общеизвестную аксиому полноты Дедикинда. Фактически здесь речь идет о том, что требуется дополнительное специальное пятое алгебраическое действие извлечение корня квадратного из -1. \( j := \sqrt{-1} \) .
При этом мы получаем вместо множества вещественных чисел \(\mathbb{R} \) равномощное ему расширение множество комплексных чисел \(\mathbb{C} \) .
При этом \( Z=X+JY \) , где \( Z \in \mathbb{C},  X \in \mathbb{R},  Y \in \mathbb{R} \).

[Король Альтов]

Основная идея алгебры бесконечно-малых-1.*
1.*). Очень важные понятия и обобщения.
1.*.1). Существенным обобщением множества чисел является понятие вектора, которое просто необходимо для полноценного развития алгебры бесконечно-малых.
Числа будем обозначать как обычно, а для вектора Х будем использовать обозначение \(\vec{X}:= ( x_1,x_2, ..... x_n )  \)
1.*.2). К сожалению некоторые математические операции неприменимы к вектору и поэтому мы будем далее в общем случае вместо переменной или числа использовать матрицу квадратную NxN как совокупность N векторов  \(\vec{ Xi} := (xi_1,xi_2,....xi_n ) \) размерности N каждый.
Тогда в общем виде матрица размерности m на n (m=n) запишется в виде
\(  X_{m,n} =  \begin{pmatrix}
  x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,n} \\
  x_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & x_{2,n} \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  x_{m,1} & x_{m,2} & \cdots & x_{m,n}
 \end{pmatrix} \)
В этом случае под вектором просто будем понимать частный случай n=1, а под числом тривиальную матрицу m=n=1.

[Король Альтов]

Основная идея алгебры бесконечно-малых-2.
   Математический анализ в отличие от алгебры трактуется совсем по-другому - есть интеграл, а есть производная. Это не самый лучший подход к высшей математике. Самый лучший состоит в том, что между элементарной алгеброй и алгеброй бесконечно малых есть полная аналогия, то-есть в алгебре бесконечно малых также есть четыре основных действия. Для начала повторим очевидное и пройденное в начальной школе.
Школьная математика: school2.1). Аддитивный интеграл  \[ F = \int_a^b  f \mathrm{d}x = lim_{ n \to \infty \\ \Delta x_i \to 0 } \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x_i  \]
Школьная математика: school2.2). Аддитивная производная  \[ \frac{dF}{dx} = F'(x) =  lim_{  \Delta x \to 0 } \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} \]
PS. Поскольку тема стала исключительно простой и очевидной приходится ввести 2-3 определения, без которых двигаться вперед в неизвестные для современной математики просторы просто невозможно.
Определение 1. Понятие матричного вектора. Матричным вектором maV будем называть трехмерную матрицу размера [nxn]xm подобную вектору размерности m , у которого в качестве компонент служат матрицы размером [nxn].
\[ maV (A):= [A1_{n,n}, A2_{n,n}.... Ai_{n,n}....Am_{n,n} ]  ;  Ai_{n,n} =  \begin{pmatrix}
  ai_{1,1} & ai_{1,2} & \cdots & ai_{1,n} \\   ai_{2,1} & ai_{2,2} & \cdots & ai_{2,n} \\   \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  ai_{n,1} & ai_{n,2} & \cdots & ai_{n,n}  \end{pmatrix}  \]
Определение 2. Производная по вектору от матрицы. Далее будем использовать в качестве независимой переменной Х вектор размерности m -  \(\vec{X}:= ( x_1,x_2, .... x_m )  \) . В качестве функции будем рассматривать матрицу размерности [nxn]
\[  F_{n,n} =  \begin{pmatrix}
  F_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & F_{1,n} \\   F_{2,1} & F_{2,2} & \cdots & F_{2,n} \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\   F_{n,1} & F_{n,2} & \cdots & F_{n,n}   \end{pmatrix} \]
В качестве производной функции-матрицы F по вектору X будем рассматривать матричный вектор, состоящий из матриц производных по координатам вектора Х
\[ \frac{dF}{dx}: = [\frac{ \partial F}{ \partial x_1}, \frac{ \partial F}{ \partial x_2}...  \frac{ \partial F}{ \partial x_i}...\frac{ \partial F}{ \partial x_m} ] ;  \frac{ \partial F}{ \partial x_i} =  \begin{pmatrix}
   \frac{ \partial F_{1,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{1,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{1,n}}{ \partial x_i} \\
 \frac{ \partial F_{2,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{2,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{2,n}}{ \partial x_i} \\   \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  \frac{ \partial F_{n,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{n,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{n,n}}{ \partial x_i}  \end{pmatrix}  \]
Определение 3. Скалярное произведение матричных  векторов. Пусть имеются матричные вектора A размерности [nxn]xm и B размерности [n1xn1]xm, тогда их скалярным произведением <A,B> будем считать матрицу вида \[ <A,B>: = A*B:=  \sum_{i=1}^{n} Ai_{n,n} Bi_{n,n} \]
Если n=n1, тогда \( Ai_{n,n} Bi_{n,n}= Ci_{n,n} \) есть обычная матрица [nxn], где \( ci_{j,k} =  \sum_{l=1}^{n}ai_{j,l} bi_{l,k} \)
Если n1=1, тогда получаем скалярное произведение матричного вектора A на обычный вектор \(\vec{X}:= ( x_1,x_2, ..... x_m )  \)  \[ <A,X>: = A*X:=  \sum_{i=1}^{m} Ai_{n,n} xi \]
Пример - скалярное произведение производной от функции F по вектору Х на диффернициал вектора Х.
\[< \frac{dF}{dX}, dX >:= \frac {dF}{dX}*dX :=  \sum_{i=1}^{m}\frac{ \partial F}{ \partial x_i}dx_i \]

[Король Альтов]

Основная идея алгебры бесконечно-малых-3.
Теперь с учетом введенных понятий можно привести определения всех четырех основных действий алгебры бесконечно-малых.
3.1). Аддитивный интеграл   \[ F = \int_a^b  f *\mathrm{d}X = \begin{pmatrix}
\int \sum_{l=1}^{m}fl_{1,1}dx_l  & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{1,2}dx_l & \cdots & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{1,n}dx_l \\
\int \sum_{l=1}^{m}fl_{2,1}dx_l & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{2,2}dx_l & \cdots & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{2,n}dx_l  \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
 \int \sum_{l=1}^{m}fl_{n,1}dx_l  & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{n,2}dx_l  & \cdots & \int \sum_{l=1}^{m}fl_{n,n}dx_l  \end{pmatrix} \]
3.2). Аддитивная производная
 \[ \frac{dF}{dx} = F'(x) =  [\frac{ \partial F}{ \partial x_1}, \frac{ \partial F}{ \partial x_2}...  \frac{ \partial F}{ \partial x_i}...\frac{ \partial F}{ \partial x_m} ] ;  \frac{ \partial F}{ \partial x_i} =  \begin{pmatrix}
   \frac{ \partial F_{1,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{1,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{1,n}}{ \partial x_i} \\
 \frac{ \partial F_{2,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{2,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{2,n}}{ \partial x_i} \\   \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  \frac{ \partial F_{n,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{n,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{n,n}}{ \partial x_i}  \end{pmatrix}  \]
3.3). Мультипликативный интеграл
  \[ F = \prod^b_a ( E + f*dX) ?= EXP( \int_a^b  f *\mathrm{d}X) \]
3.4). Мультипликативная производная
 \[ \frac{dП F}{dX} = \frac {dF}{dX}F(X)^{-1} := [F(X+dX) - F(X)] F(X)^{-1} dX^{-1} ?= \frac{d Ln[F(X)]}{dX} \]

[Король Альтов]

Пример 1. Решить обыкновенное векторное дифференциальное уравнение.
\( \frac {d \vec X }{dt} = A(t) \vec X \) при начальных условиях \( \vec X(0) = \vec X_o \)
где  \(\vec{ X(t)} := (x_1,x_2,....x_n ) \) вектор размерности N , t - временная переменная , \( \vec{ X(0)} := (x_{1,0},x_{2,0},....x_{n,0} ) \) вектор начальных условий, а A(t) - матрица квадратная NxN .
Дополним вектор \( \vec X \) до квадратной матрицы XK , так чтобы она имела обратную.
Тогда \( d \vec X = \vec X(t+dt) - \vec X(t) = dt A(t) \vec X(t) \) Нетрудно показать, что \( \vec X(t) = \prod \limits_0^t (E + dt_1 A(t_1)) \vec X(0)= EXP( \int\limits_0^t A(t_1) dt_1 ) \vec X(0)\)
В самом деле \( \frac {d XK }{dt}  XK^{-1} = A(t); =>  \int\limits_0^t d XK * XK^{-1} =  \int\limits_0^t A(t_1) dt_1 = Ln ( XK(t_1)|_0^t =Ln( XK(t) * XK(0)^{-1} ) \)
Откуда получаем \( EXP( Ln( XK(t) * XK(0)^{-1} ) ) = XK(t) * XK(0)^{-1} = EXP( \int\limits_0^t A(t_1) dt_1 ) \)
В полученном решении \( XK(t) = EXP( \int\limits_0^t A(t_1) dt_1 ) XK(0) \) нас в матрице ХК интересует только первый столбец поэтому остальные можно просто откинуть \( \vec X(t) = EXP( \int \limits_0^t A(t_1) dt_1 ) \vec X(0)\)
Учитывая выражение для матричной экспоненты \( EXP(M) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {M^n}{n!} \) получаем решение задачи в виде экспоненциального ряда
\[ \vec X(t) = ( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {( \int \limits_0^t A(t_1) dt_1 )^n }{n!}) \vec X(0)\]

Решение обыкновенного векторного дифференциального уравнения с правой частью.

\( \frac {d \vec X }{dt} = A(t) \vec X + \vec f(t) \) при начальных условиях \( \vec X(0) = \vec X_o \)
Решение будем искать методом вариации произвольной постоянной в виде \( \vec X(t) = EXP( \int\limits_0^t A(t_1) dt_1 ) (\vec C(t) + \vec X_0 ) \)
 \(  EXP( \int\limits_0^t A(t_1) dt_1 ) \frac {d \vec C(t)}{dt} = \vec f(t);  \frac {d \vec C(t)}{dt} = EXP( - \int\limits_0^t A(t_1) dt_1 ) \vec f(t); \vec C(t) = \int\limits_0^t EXP( - \int\limits_0^{t_2} A(t_1) dt_1 ) \vec f(t_2) dt_2 \)
Окончательный результат: \( \vec X(t) = EXP( \int\limits_0^t A(t_1) dt_1 ) (\int\limits_0^t EXP( - \int\limits_0^{t_2} A(t_1) dt_1 ) \vec f(t_2) dt_2   + \vec X_0 ) \)

[Король Альтов]

Пример 2. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение N порядка с переменными коэффициентами.
\[ \sum\limits_{i=0}^{n} a_i (t)* \frac {d^i X}{dt^i} = 0 \]
Делим все коэффициенты на коэффициент при старшей производной \( b_i = \frac {a_u}{a_n} \)
и вводим новый вектор размерности n по формулам \( Y_0 = X; \frac {d^i X}{dt^i} = Y_i \)
В результате получаем n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
\( \frac {dY_0}{dt}=Y_1 ; \frac {dY_{i-1}}{dt}= Y_i; \frac {dY_{n-1}}{dt} = - \sum\limits_{i=0}^{n-1} b_i (t)* Y_i \)
Которые можно записать в виде одного векторного дифференциального уравнения первого порядка
 \[ \frac{d \vec Y}{dt} = \vec Y'(t) =   \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 &  \cdots & 0 & 1 \\
-b_0 & -b_1 & -b_2 & \cdots & -b_{n-2} & -b_{n-1}  \end{pmatrix} \vec Y = B_* \vec Y \]
Фактически нам удалось свести задачу к рассмотренной выше в первом примере поэтому мы можем сразу написать ответ
\[ \vec Y(t) = ( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {( \int \limits_0^t B_*(t_1) dt_1 )^n }{n!}) \vec Y(0)\]
Чтобы получить окончательное решение необходимо воспользоваться введенными выше обозначениями и взять интеграл от матрицы
\[ Z(t) = \int \limits_0^t B_*(t_1) dt_1 = \begin{pmatrix}
0 & t & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & t & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 &  \cdots & 0 & t \\
-\int \limits_0^t \frac{a_0(t_1)}{a_n(t_1)}dt_1 & -\int \limits_0^t \frac{a_1(t_1)}{a_n(t_1)}dt_1 & -\int \limits_0^t \frac{a_2(t_1)}{a_n(t_1)}dt_1 & \cdots & -\int \limits_0^t \frac{a_{n-2}(t_1)}{a_n(t_1)}dt_1 & -\int \limits_0^t \frac{a_{n-1}(t_1)}{a_n(t_1)}dt_1  \end{pmatrix} \]

\[ \vec Y(t) =
\begin{pmatrix}
X(t) \\
\frac{dX(t)}{dt} \\
 \vdots  \\
\frac{d^{n-2}X(t)}{dt^{n-2}} \\
\frac{d^{n-1}X(t)}{dt^{n-1}} \end{pmatrix}
= ( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {Z(t)^n }{n!}) \begin{pmatrix}
X(0) \\
\frac{dX(0)}{dt} \\
 \vdots  \\
\frac{d^{n-2}X(0)}{dt^{n-2}} \\
\frac{d^{n-1}X(0)}{dt^{n-1}} \end{pmatrix}\]

1). Следует отметить, что мы получили общее решение при заданных начальных условиях, причем решение получилось даже избыточным, поскольку кроме самой функции X(t) посчитаны также и ее (n-1) производных!
2). Следует также отметить, что в современной математике аналитических методов решения подобных задач не существует, то-есть в данном случае получен принципиально новый результат. Однако безусловным недостатком данного аналитического решения конечно же является его крайняя громоздкость и трудоемкость!

Решение обыкновенного дифференциального уравнения N порядка с переменными коэффициентами. с правой частью.

\( \sum\limits_{i=0}^{n} a_i (t)* \frac {d^i X}{dt^i} = f(t) \) при начальных условиях \(  X^{(i)}(0) = X^{(i)}_o; i=0, ... (n-1) \)
Как и ранее приводим уравнение к виду \( \frac{d \vec Y}{dt} = B_* \vec Y + \vec g(t) \)
 где \( \vec g(t) =   \begin{pmatrix} 0 \\  \vdots  \\ 0 \\ \frac{f(t)}{a_n(t)} \end{pmatrix}   \)

Решение будем искать методом вариации произвольной постоянной в виде \( \vec Y(t) = EXP( \int\limits_0^t B_*(t_1) dt_1 ) (\vec C(t) + \vec Y_0 ) \)
 \(  EXP( \int\limits_0^t B_*(t_1) dt_1 ) \frac {d \vec C(t)}{dt} = \vec g(t);  \frac {d \vec C(t)}{dt} = EXP( - \int\limits_0^t B_*(t_1) dt_1 ) \vec g(t); \vec C(t) = \int\limits_0^t EXP( - \int\limits_0^{t_2} B_*(t_1) dt_1 ) \vec g(t_2) dt_2 \)
Окончательный результат: \( \vec Y(t) = EXP( \int\limits_0^t B_*(t_1) dt_1 ) (\int\limits_0^t EXP( - \int\limits_0^{t_2} B_*(t_1) dt_1 ) \vec g(t_2) dt_2   + \vec Y_0 ) \)