Новая физика: обобщение механики Ньютона.

[Король Альтов]

Эффект Доплера и аберрация света -11. Для монохраматической волны, поле которой в каждой точке изменяется по закону
f=A*cos(wt-KR+a) ее фаза Fw=wt-KR+a является инвариантом. В самом деле, если поле в данной точке пространства в данный момент
времени приняло нулевое значение, то это не может зависеть от системы отсчета. Откуда получаем для систем S и S' естественное равенство wt-KR+a = w't'-K'R'+a'. Далее из равенства в нулевой точке t=0, x=0 и t'=0, x'=0 получаем очевидное условие a=a', откуда wt-KR = w't'-K'R' =  inv. Здесь w, w' - частоты, а K={kx,ky,kz}=w/c{cos(qx),cos(qy),cos(qz)} , K'={kx',ky',kz'}=w'/c{cos(qx'),cos(qy'),cos(qz')} - волновые векторы.
Используя формулы обобщенного преобразования Лоренца (3+=>) и (3+<=) получаем общие формулы для эффекта Доплера и абберации света \( (b=\frac{v}{c}) \)
\( \frac{w(t'+\frac{x'}{c}b)}{g^{fs+1}} - \frac{kx(x'+b*c*t')}{g^{fs+1}} -ky*y - kz*z= w'*t' - kx'*x' -ky'*y' - kz'*z'. => \)
\( w' = \frac{(w - kx*v)}{g^{fs+1}}=\frac{w(1 - b*cos(qx))}{g^{fs+1}} \) - эффект Доплера (5D=>)
\( kx' = \frac{(kx - \frac{w*b}{c})}{g^{fs+1}} = \frac{kx*(1 - \frac{b}{cos(qx)})}{g^{fs+1}},  ky' = ky,  kz' = kz \)- аберрация света (5A=>)
\( w*t - kx*x - ky*y - kz*z = w'(t - \frac{x}{c}b)*g^{fs} - kx'*(x - v*t)*g^{fs} - ky'*y' - kz'*z' => \)
\( w = (w' + kx'*v)*g^{fs} = w'(1 + b*cos(qx'))*g^{fs} \) - эффект Доплера (5D<=)
\( kx = (kx' + \frac{w'*b}{c})*g^{fs} = kx'*(1 + \frac{b}{cos(qx')})*g^{fs},  ky = ky',  kz = kz' \)- аберрация света (5A<=)
Поскольку cистема ИСО S связана с наблюдателем, то естественно именно в ней и представляет интерес наблюдать эффект Доплера и
аберрацию света, поэтому приемник сигналов мы всегда будем ассоциировать именно с ней. Ну а источник сигналов поэтому всегда будет расположен в движущейся относительно наблюдателя системе S'. Рассмотрим различные случаи соотношения масс ИСО излучателя и ИСО приемника \( fs=-1+\frac{0,5(M - m')}{M + m'} \). Следует отметить, что если расстояние между ними чрезвычайно велико, то очевидно, что никакого гравитационного взаимодействия между ними практически нет. При этом можно рассмотреть эквивалентную ИСО источника на близком расстоянии при выполнении условия подобия, то-есть \( \frac{m'}{R^2}=\frac{me}{Re^2}\) или \(me=m'*(\frac{Re}{R})^2 \). Сразу понятно, что при космологически больших расстояниях R вне зависимости от величины массы m' при достаточно ограниченной величине расстояния Re массу me можно считать практически равной нулю, откуда получаем значение fs= - 0,5.
Из всевозможных значений рассмотрим три крайних случая.
1). Масса ИСО приемника  значительно больше массы ИСО источника M >> m', тогда fs= - 0,5, откуда
\( w'=\frac{w-kx*v}{g^{0,5}}=\frac{w*(1-b*cos(qx))}{g^{0,5}} \) -эффект Доплера; \( kx'=\frac{kx-\frac{w*b}{c}}{g^{0,5}} =
\frac{kx*(1-b/cos(qx))}{g^{0,5}}, ky'=ky, kz'=kz \)-аберрация света.(=>)
\(w=\frac{w'+kx'*v}{g^{0,5}} = \frac{w'*(1+b*cos(qx')}{g^{0,5}} \)-эффект Доплера; \( kx=\frac{kx'+\frac{w'*b}{c}}{g^{0,5}}=
\frac{kx'*(1+\frac{b}{cos(qx')})}{g^{0.5}}, ky=ky',kz=kz' \)-аберрация света.(<=)
    1.a) В случае продольного эффекта Доплера волна в системе S' будет распространяться в направлении оси ОХ, поэтому получаем для
волнового вектора соответствующие значения (cos(qx')=1 и kx'=w'/c) и получаем обычные формулы (<=)
\( w =  w'*[\frac{1+b}{1-b}]^{0,5} \) -эффект Доплера. Поскольку система S' движется относительно системы S в положительном направлении оси ОХ, то волна в этом случае будет набегать на систему S, и поэтому частота w в ней будет увеличиваться по отношению к частоте w' в системе S', то-есть в этом случае просто b>0. Очевидно при движении волны в обратном направлении частота w будет соответственно уменьшаться, поскольку в этом случае b<0.
\( kx =  kx'*[\frac{1+b}{1-b}]^{0.5}, ky = ky', kz = kz' \)-аберрация света.
    1.b). Поперечный эффект Доплера соответствует случаю, когда наблюдение ведется в системе отсчета S и притом перпендикулярно к
направлению распространящейся волны. В этом случае значения волнового вектора будут иметь следующие значения (kx=0 => cos(qx)=0) (=>)
\( w = w'*(1 - b^2)^{0,5}\) - эффект Доплера; Из формулы видно, что в этом случае происходит смещение частоты в длинноволновую область спектра пропорционально квадратному корню из величины \( g = 1 - b^2 \).
kx' = - w'*b/c,  ky' = ky,  kz' = kz-аберрация света.

[Король Альтов]

Эффект Доплера и аберрация света -12.  2). Масса ИСО источника равна массе ИСО приемника M= m', тогда fs= - 1, откуда
w'=(w-kx*v)=w*(1-b*cos(qx))-эффект Доплера; \( kx'=(kx-\frac{w*b}{c})=kx*(1-\frac{b}{cos(qx)}), ky'=ky,kz'=kz \) -аберрация света.(=>)
\( w=\frac{w'+kx'*v}{g}=\frac{w'*(1+b*cos(qx'))}{g} \) - эффект Доплера; \( kx=\frac{kx'+\frac{w'*b}{c}}{g}=\frac{kx'*(1+\frac{b}{cos(qx')})}{g}, ky=ky',kz=kz' \)-аберрация света(<=)
    2.a) В случае продольного эффекта Доплера волна в системе S' будет распространяться в направлении оси ОХ, поэтому получаем для волнового вектора соответствующие значения (cos(qx')=1 и kx'=w'/c) и получаем формулы (<=)
\( w =  \frac{w'}{1 - b}\) - эффект Доплера. Поскольку система S' движется относительно системы S в положительном направлении оси ОХ, то волна в этом случае будет набегать на систему S, и поэтому частота w в ней будет увеличиваться по отношению к частоте w' в системе S', то-есть в этом случае просто b>0. Очевидно при движении волны в обратном направлении частота w будет соответственно уменьшаться, поскольку в этом случае b<0.
\( kx = \frac{kx'}{1 - b},  ky = ky',  kz = kz' \) - аберрация света
   2.b).  Поперечный эффект Доплера соответствует случаю, когда наблюдение ведется в системе отсчета S и притом перпендикулярно к направлению распространящейся волны. В этом случае значения волнового вектора будут иметь следующие значения (kx=0 => cos(qx)=0) (=>)
w = w' - эффект Доплера. В данном случае получаем в силу симметрии системы, что поскольку в этом случае выполняется эффект
относительности, то-есть как система S' движется относительно системы S, так точно и наоборот система S' зеркально симметрично
движется относительно системы S, а следовательно в силу полной симметрии системы поперечного эффекта Доплера в этом случае нет.
\( kx' = - \frac{w'*b}{c},  ky' = ky,  kz' = kz \)- аберрация света.
3). Масса ИСО источника значительно больше массы ИСО приемника M << m', тогда fs= - 1,5, откуда
\( w'=(w-kx*v)*g^{0,5}=w*(1-b*cos(qx))*g^{0,5}\) -эффект Доплера;
\(kx'=(kx-\frac{w*b}{c})*g^{0,5}=kx*(1-\frac{b}{cos(qx)})*g^{0,5},ky'=ky,kz'=kz \)-аберрация света.(=>)
\( w=\frac{w'+kx'*v}{g^{1,5}}=\frac{w'*(1+b*cos(qx'))}{g^{1,5}} \) эффект Доплера;
\( kx=\frac{kx'+\frac{w'*b}{c}}{g^{1,5}}=\frac{kx'*(1+\frac{b}{cos(qx')})}{g^{1,5}}, ky=ky',kz=kz' \)-аберрация света(<=)
   3.a) В случае продольного эффекта Доплера волна в системе S' будет распространяться в направлении оси ОХ, поэтому получаем для волнового вектора соответствующие значения \( (cos(qx')=1 и kx'=\frac{w'}{c}) \) и получаем формулы (<=)
\( w = \frac{w'}{(1-b)*(1-b^2)^{0,5}}\)  -эффект Доплера.  Поскольку система S' движется относительно системы S в положительном направлении оси ОХ, то волна в этом случае будет набегать на систему S, и поэтому частота в ней w будет увеличиваться по отношению к частоте w' в системе S', то-есть в этом случае просто b>0. Очевидно при движении волны в обратном направлении частота w будет соответственно уменьшаться, поскольку в этом случае b<0. Следует отметить, что продольный эффект Доплера в этом случае выражается существенно сильнее, чем в первых двух случаях, однако реально реализация такой ситуации на практике весьма маловероятна, и поэтому этот случай имеет весьма гипотетическое значение.
\( kx = \frac{kx'}{(1-b)*(1-b^2)^{0,5}}, ky = ky', kz = kz' \)-аберрация света.
   3.b).  Поперечный эффект Доплера соответствует случаю, когда наблюдение ведется в системе отсчета S и притом перпендикулярно к
направлению распространящейся волны. В этом случае значения волнового вектора будут иметь следующие значения (kx=0 => cos(qx)=0) (=>)
\( w = \frac{w'}{(1-b^2)^{0,5}}\) -эффект Доплера. В этом случае как следует из формул поперечный эффект Доплера должен проявляться наоборот в смещении частоты в коротковолновую часть область спектра, однако реально реализация такой ситуации на практике весьма маловероятна, и поэтому этот случай имеет весьма гипотетическое значение.
\( kx' = - \frac{w'*b}{c}, ky' = ky, kz' = kz \) -аберрация света.
Примечание. Из формул пунктов 2.а). и 3.а). можно сделать вывод о том, что для сверхмассивных источников типа галктик, квазаров и сверхмассивных звездных скоплений продольный эффект Доплера должен усиливаться. Вполне возможно, что такое усиление эффекта Доплера на огромных или даже космологических расстояниях для Хаббловского красного смещения как раз и может служить обьяснением эффекта так называемого "ускоренного расширения вселенной".

[Король Альтов]

Дополнение- 13. Из формул (5D) и (5A) получаем \( 1=\frac{(1+b*cos(qx'))*(1-b*cos(qx))}{g} =>\)
\( cos(qx')=\frac{cos(qx)-b}{1-b*cos(qx)},  \frac{w}{w'}=\frac{g^{fs+1}}{1-b*cos(qx)}; \)
\( cos(qx)=\frac{cos(qx')+b}{1+b*cos(qx')},  \frac{w'}{w}=\frac{g^{fs}}{1+b*cos(qx')}. \)
Отсюда легко выразить вектора K и K' друг через друга.
\( K'=[kx',ky',kz']=\frac{w'}{c}[cos(qx'),cos(qy'),cos(qz')]; cos(qx')=\frac{cos(qx) -b}{1 - b*cos(qx)}; \)
\( cos(qy')=\frac{cos(qy)*g^{fs+1}}{1 - b*cos(qx)}; cos(qz')=\frac{cos(qz)*g^{fs+1}}{1 - b*cos(qx)}. \)
\( K =[kx,ky ,kz ]=\frac{w}{c}[cos(qx), cos(qy), cos(qz)]; cos(qx) =\frac{cos(qx')+b}{1+b*cos(qx')}; \)
\( cos(qy)=\frac{cos(qy')*g^{fs+1}}{1+b*cos(qx')}; cos(qz) =\frac{cos(qz')*g^{fs+1}}{1+b*cos(qx')}. \)

[Король Альтов]

Импульс-14. Будем полагать по аналогии с пунктом [Взаимосвязь массы и энергии.], что масса функционально зависит от скорости m=m(V) и P=m(V)*V, причем при стремлении скорости к нулю V-> 0 масса стремится m(V)-> mo. Рассмотрим абсолютно упругое столкновение двух одинаковых частиц с массой m в системе их центра масс Sc. Поскольку в этой системе суммарный импульс системы частиц равен нулю тогда скорости частиц одинаковы по модулю и противоположные по направлению. Пусть системы S и S' как обычно двжутся относительно друг друга как обычно по оси х со скоростью V. Системы же выбираются так, чтобы движение в них частиц происходило только по оси У, то-есть в системе S первая частица 1 движется только по оси У со скоростью -Vy, а в системе S' частица 1' движется только по оси У со скоростью Vy. Для физичности наших систем отсчета необходимо, чтобы в них выполнялись законы сохранения и в частности закон сохранения импульса. Понятно что иксовая компнента суммарного импульса частиц в результате столкновения в системе S не меняется. Тогда должна оставаться неизменной и игрековая составляющая суммарного импульса частиц, то-есть
 \( m(Vy)(-Vy)+m(\sqrt{V^2+Vy'^2})(Vy')=m(Vy)(Vy)+m(\sqrt{V^2+Vy'^2})(-Vy') => m(Vy)(Vy)=m(\sqrt{V^2+Vy'^2})(Vy') \)
Теперь используем правило сложения скоростей из пункта [8] для игрековых компонет с учетом того, что в \( S' Vx'=0 => Vy=Vy'*g^{fs+1} \).
Тогда получаем \( m(Vy)=m(\sqrt{V^2+Vy'^2})*g^{fs+1}  , g=1 - \frac{V^2}{C^2} \). Пусть скорость движения по оси Х больше нуля но не равна скорости света тогда устремив к нулю игрековую компонету скорости получаем Vy -> 0 => Vy' -> 0 , откуда  \( m(V)=\frac{mo}{g^{fs+1}}\)  (m)  
а для импульса соответственно получаем выражение \( P=\frac{mo*V}{g^{fs+1}} (p) \), где \( fs+1= \frac{0,5*(M - m')}{M + m'}. \)
Отметим важные частные случаи
1). \( M >>m' => m=\frac{mo}{g^{0,5}} \) - обычная общеизвестная формула.
2).  M=m' => m=mo - масса от скорости не зависит. Эта ситуация соответсвует случаю так называемого симметричного парадокса близнецов, когда на самом деле реализуется ситуция полной симметричности или относительности движения, поэтому естественно в этом случае и не должно быть никакого изменения массы от скорости.
3). \(M<<m' m=mo*g^0,5 )\- масса уменьшается с увеличением скорости. Кажущийся парадоксальный результат на самом деле легко обьясним.
Для примера можно вспомнить космические мезоны, движущеися с околосветовой скоростью. Поскольку в этом случае движется на самом деле мезон относительно Земли, а не Земля относительно мезона, то масса Земли остается неизменной, в то время как масса мезона существенно растет, а значит и соотношение масс Земля - мезон уменьшается, что и отражено в формуле.

[Король Альтов]

Энергия 15. В соответствии со вторым законом Ньютона имеем dP/dt=F=dA/ds=dE/ds, откуда dP*(ds/dt)=dE=dP*V. Используя формулу (p) получаем
\( dE=V*d[\frac{mo*V}{g^{fs+1}}]=\frac{moV*dV}{g^{fs+1}}+\frac{moV^2(fs+1)2V*dV}{C^2g^{fs+2}}=\frac{mo}{g^{fs+2}}[2(fs+1) -
(2fs+1)g]V*dV = moC^2[\frac{(fs+1)d(\frac{V^2}{C^2})}{g^{fs+2}} - \frac{(fs+0,5)d(\frac{V^2}{C^2})}{g^{fs+1}}] \)
После интегрирования получаем формулу
 \( E - Eo = moC^2[\frac{1}{g^{fs+1}} - \frac{1 + \frac{0,5}{fs}}{g^{fs}} - 1 + (1+\frac{0,5}{fs})] \), где \( fs+1= \frac{0,5*(M - m')}{M + m'} ;  g=1 -
\frac{V^2}{C^2} \).
В пункте [Взаимосвязь массы и энергии.] уже была получена формула для энергии E = M*C^2 в частном случае исходя из предположения, что dE = C^2*dM. Из этой формулы в частности следует, что Eo=mo*C^2.
Окончательно получаем формулу \( E = moC^2[\frac{1}{g^{fs+1}} - \frac{1 + \frac{0,5}{fs}}{g^{fs}}  + (1+\frac{0,5}{fs})] \)
Отметим важные частные случаи 1).\( M >>m' => fs+1=0,5  E=\frac{moC^2}{g^{0,5}} \) - обычная общеизвестная формула.
2). \( M=m' => fs+1 = 0.  E = moC^2[1 - 0,5g+0,5] = moC^2(1 + \frac{0,5*V^2}{C^2}) \) Эта ситуация соответствует случаю так называемого симметричного парадокса близнецов, когда на самом деле реализуется ситуция полной симметричности или относительности движения.
3). \( M<<m' => fs+1 = - 0,5   E = moC^2 [ g^{0,5} -2/3g^{1,5} +2/3] = moC^2(2/3 + g^{0,5} - 2/3g^{1,5}) \) - энергия  уменьшается с увеличением скорости. Кажущийся парадоксальный результат на самом деле легко обьясним. Для примера можно вспомнить космические мезоны, движущеися с околосветовой скоростью. Поскольку в этом случае движется на самом деле мезон относительно Земли, а не Земля относительно мезона, то масса Земли остается неизменной, в то время как масса мезона существенно растет, а значит и соотношение энергий Земля - мезон уменьшается, что и отражено в формуле.

[Король Альтов]

Преобразования импульса и энергии - 16. В соответствии с прямыми и обратными обощенными преобразованиями Лоренца
рассмотрим элементарные перемещения некоторой частицы для
четырехмерных векторов \( ds =[cdt, dx, dy, dz] ; ds' = [cdt', dx', dy', dz' ] ;  g= 1 - \frac{v^2}{c^2}. \)
\( dt' = (dt - \frac{dx*v}{c^2})*g^{fs};           dx' = (dx - dt*v)*g^{fs};       dy' = dy; dz' = dz; (d3=>) \)
\( dt =  \frac{dt' + \frac{dx'*v}{c^2}}{g^{fs+1}};  dx = \frac{dx' + dt'*v}{g^{fs+1}}; dy = dy'; dz = dz'; (d3<=)  \)
По аналогии можно рассмотреть обощенные преобразования Лоренца и для некоего произвольного вектора A = [At, Ax, Ay, Az] A'=B*A, где B - матрица, а A' = [At', Ax' , Ay', Az'].
\( At' = (At - \frac{Ax*v}{c^2})*g^{fs};         Ax' = (Ax - At*v)*g^{fs};         Ay' = Ay; Az' = Az;  (A=>) \)
\( At = \frac{At' + \frac{Ax'*v}{c^2}}{g^{fs+1}};  Ax = \frac{Ax' + At'*v}{g^{fs+1}};  Ay = Ay'; Az = Az';  (A<=) \)
Введем по определению 4 импульс P4 = [Pt, Px, Py, Pz],
где положим по определению \( Pt := \frac{mo*c}{G^{fs+1}} = \frac{E}{c} + mo*c*[\frac{1+\frac{0,5}{fs}}{G^{fs}} - (1+\frac{0,5}{fs}) ];\) где \( G=1 - \frac{U^2}{C^2}. \)
В этом случае формулы преобразования импульса и энергии при переходе от одной системы отсчета к другой примут вид
\( Pt'=\frac{E'}{c} + mo*c*[\frac{1+\frac{0,5}{fs}}{G'^{fs}}- (1+\frac{0,5}{fs}) ] = (Pt - \frac{Px*v}{c^2})*g^{fs};  Px' = (Px - Pt*v)*g^{fs};   Py' = Py;  Pz' = Pz;  (PE=>)  \)
\( Pt =\frac{E}{c} + mo*c*[\frac{1+\frac{0,5}{fs}}{G^{fs}} - (1+\frac{0,5}{fs}) ] = \frac{Pt' + \frac{Px'*v}{c^2}}{g^{fs+1}};  Px = \frac{Px' + Pt'*v}{g^{fs+1}};  Py = Py';  Pz = Pz';  (PE<=) \)
Отметим важные частные случаи
1). \( M >>m' => fs+1=0,5; =>  Pt = \frac{E}{c};  Pt' = \frac{E'}{c}. \)
\( \frac{E'}{c}= \frac{\frac{E}{c} - \frac{Px*v}{c^2}}{g^{0,5}};    Px' = \frac{Px -E \frac{v}{c}}{g^{0,5}};  Py' = Py; Pz' = Pz;  (PE1=>) \)
\( \frac{E}{c}= \frac{\frac{E'}{c} + \frac{Px'*v}{c^2}}{g^{0,5}};  Px = \frac{Px' +E' \frac{v}{c}}{g^{0,5}}; Py = Py';  Pz = Pz'; (PE1<=) \)

2). \( M=m' => fs+1 = 0.  E = moC^2[1 - 0,5G+0,5] = moC^2(1 + \frac{0,5*U^2}{C^2}) \) Эта ситуация соответсвует случаю так называемого симметричного парадокса близнецов, когда на самом деле реализуется ситуция полной симметричности или относительности движения.
\( Pt = \frac{E}{c} +mo*c*[\frac{0,5}{g} - 0,5];   Pt' = \frac{E'}{c} +mo*c*[\frac{0,5}{g} - 0,5]. \)
\( \frac{E'}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G'}-0,5] =\frac{\frac{E}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G}-0,5]-Px*\frac{v}{c^2}}{g};
Px'=\frac{Px-[\frac{E}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G}-0,5]]*v}{g}; Py'=Py; Pz'=Pz;  (PE2=>) \)
\( \frac{E}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G} - 0,5] = (\frac{E'}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G'}-0,5]+Px'*\frac{v}{c^2}); Px
=(Px'+[\frac{E'}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G'}-0,5]]*v); Py=Py'; Pz=Pz';  (PE2=>) \)

3). \( M<<m' => fs+1 = - 0,5   E = moC^2 [ G^{0,5} -2/3*G^{1,5} +2/3] = moC^2(2/3 + G^{0,5} - 2/3*G^{1,5}); \)
\( Pt = \frac{E}{c}+mo*c*[2/3*G^{1,5}+2/3];  Pt' = \frac{E'}{c}+mo*c*[2/3*G'^{1,5}+2/3]; \)
\( \frac{E'}{c} + mo*c*[\frac{2/3}{G'^{1,5}} - 2/3 ] = \frac{\frac{E}{c}+mo*c*[2/3*G^{1,5}+2/3]-\frac{Px*v}{c^2}}{g^{1,5}}; \)
 \(  Px' =\frac{Px-[\frac{E}{c}+mo*c*[2/3*G^{1,5}+2/3]]*v}{g^{1,5}};  Py' = Py;  Pz' = Pz; (PE3=>) \)
\( \frac{E}{c}  + mo*c*[2/3*G^{0,5} - 2/3] = (\frac{E'}{c}+mo*c*[2/3*G'^{1,5}+2/3]+\frac{Px'*v}{c^2})*g^{0,5}; \)
 \(  Px =(Px'+[\frac{E'}{c}+mo*c*[2/3*G'^{1,5}+2/3]]*v)*g^{0,5}; Py = Py'; Pz = Pz'; (PE3<=) \)

[Король Альтов]

Формула для второго закона Ньютона -17. Согласно [14] \( (p) => P=\frac{mo*U}{G^{fs+1}} \). Учитывая формулировку второго закона dP/dt=F получаем
\( \vec{F}=\frac{\vec{dP}}{dt}=\frac{\vec{dU}}{dt}*\frac{mo}{G^{fs+1}}+2*(fs+1)*mo\vec{U}*\frac{<\frac{U}{c^2},frac{dU}{dt}>}{G^{fs+2}}.\)
Умножив скалярно обе части на U получим выражение
\( <\frac{\vec{dU}}{dt}, \vec{U}> [\frac{mo}{G^{fs+1}} + \frac{2*(fs+1)*mo*U^2}{c^2*G^{fs+2}}] = <\vec{F},\vec{U}> , \)
 откуда => \(<\frac{\vec{dU}}{dt}, \vec{U}> = \frac{<\vec{F},\vec{U}>}{mo} *\frac{G^{fs+2}}{1+(2*fs+1)\frac{U^2}{C^2}} \)
Отсюда нетрудно поучить формулу для ускорения \( \frac{\vec{dU}}{dt} =\frac{G^{fs+1}}{mo}*[ \vec{F} -
\vec{U}*<\vec{F},\vec{U}>\frac{2(fs+1)}{C^2+(2*fs+1)*U^2}] \) .... ( dU/dt )
Формулы преобразования компонент силы. Исходя из формул 4 векторов формулы преобразования можно получить формулы
\( Fx =\frac{Fx'+\frac{v}{c^2}*<\vec{F'},\vec{U'}>}{1+Ux'*\frac{V}{c^2}}, Fy=\frac{Fy'*g^{fs+1}}{1+\frac{V*Ux'}{c^2}},
Fz=\frac{Fz'*g^{fs+1}}{1+\frac{V*Ux'}{c^2}}, \)
\( <\vec{F},\vec{U}>= \frac{<\vec{F'},\vec{U'}>+V*Fx'}{1+\frac{V*Ux'}{c^2}} \) ....(F=>)
\( Fx' =\frac{Fx-\frac{v}{c^2}*<\vec{F},\vec{U}>}{1-\frac{Ux*V}{c^2}}, Fy'=\frac{Fy}{g^{fs}(1-\frac{V*Ux}{c^2})},
Fz'=\frac{Fz}{g^{fs}(1-\frac{V*Ux}{c^2})}, \)
\( <\vec{F'},\vec{U'}>= \frac{<\vec{F},\vec{U}>-V*Fx}{1-\frac{V*Ux}{c^2}} \)....(F<=)