Разгон ракеты

[aid]

До этого мы еще дойдем. Но я могу и Вам задать вопрос. Зачем постоянно трубить о ПНД, если он является следствием основных законов динамики.

А кто постоянно трубит о ПНД?

Взял из своей книги "Моделирование систем и оптимизация их параметров", а вот откуда я это взял, когда писал книгу, это я уже не помню. Быстрее всего, из какого ни будь учебника по теоретической механики для технарей (я ведь по образованию инженер-механик).

Сдается мне, что это не то. Заглянул в учебники - это уравнения Лагранжа с реакциями связей, а не уравнения второго рода. При чем для случая голономных связей надо производные по координатам брать, а не скоростям. Впрочем, не важно. Зачем нам связываться с уравнениями Лагранжа, когда все решается по Ньютону.

Да тут, в принципе, все можно включить в обобщенные силы и получим просто 2-ой закон Ньютона, т.е. силовой подход Эйлера. Проблема в том, что Вы вообще не хотите учитывать энергию, рассеянную при неупругом соударении пыли с пылесборником.

Зачем, если у нас уже известно условие, наложенное на систему - скорость выброса пыли. А там уже не важно - пыль там собирают и сжигают, или там винты стоят, или гребцы гребут.

А вот это для меня новость, т.к. с полярными координатами я никогда не работаю. Нельзя ли простенький пример

.

Например, шарик, скользящий по стержню, вращающемуся с заданной угловой скоростью. Его кинетическая энергия будет равна mr'²/2+mw²r²/2=mr'²/2+mfi'²r²/2.
Полярные координаты - расстояние до оси r и угол fi.
  То же в цилиндрических координатах. А в сферических - еще и полярный угол theta.

[Ser100]

Подстановкой можно убедиться, что это равно mv₂²/2-mv₁²/2

Я не понял. У тебя энергетический баланс сошелся и никаких проблем нет. Или мне надо проверить твою формулу для работы совершенной силой давления газов на ракету. И что такое m, u и mp. Это что для третьей задачи с безтопливным двигателем что ли?

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Я не понял. У тебя энергетический баланс сошелся и никаких проблем нет. Или мне надо проверить твою формулу для работы совершенной силой давления газов на ракету. И что такое m, u и mp. Это что для третьей задачи с безтопливным двигателем что ли?

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Сергей, Вы меня с Гориным не перепутали? Я же отвечаю на Ваш вопрос о работе силы реакции пыли на бестопливную ракету.
m - масса ракеты, m_p - массовый расход пыли, u - скорость выброса пыли ракетой.

[Ser100]

Сергей, Вы меня с Гориным не перепутали?

Извиняюсь. Перепутал.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

\[ A=\frac{1}{2}m(u-{v}_{1})(u+{e}^{-\frac{2{m}_{p}t}{m}}(u-2u{e}^{\frac{2{m}_{p}t}{m}}-{v}_{1})+{v}_{1}) \]

Подстановкой можно убедиться, что это равно mv₂²/2-mv₁²/2

Это как же и что я тут буду проверять. Тем более, что мне неизвестно ни t ни V2. Я же Вас просил записать баланс энергий, как, например, я его записывал при разгоне топливной ракеты от V1 до V2 при небольшой разнице скоростей.

dEr= P*t - Eg1 + Eg2

dEr= (m1-m_g) * (V2² - V1²) / 2  - прирост кинетической энергии ракеты (без массы сгоревшего топлива) на этапе разгона, т.е. от скорости V1 до V2
P*t - энергия выработанная за время разгона двигателем
Eg1= m_g * V1² / 2  - кинетическая энергия массы топлива (которое сгорит во время разгона) в начале разгона, т.е. при скорости ракеты V1
Eg2= m_g * Vg² /2  - кинетическая энергия массы топлива, которое сгорело во время разгона и превратилось в газы, которые теперь со скоростью Vg летят от ракеты в другую сторону или летят вслед за ракетой
m_g=m_g1*t - расход топлива за время разгона

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Иван Горин]

Посмотрел твой вывод с использованием импульсного подхода и вроде явных ляпов не нашел.

Небольшая ляпа была.
Я её исправил.
И исчезла б/м величина, которой не надо пренебрегать.
На конечную формулу ускорения и скорости это не повлияло.
Кстати формулу для времени разгона, которую ты привёл Анаксагору, это моя формула.
Доказательства вывода у меня в черновиках.
Хотя это простая формула. И у меня нет претензий.

К тому же и формулы для времени разгона и скорости у тебя совпали с этими же формулами полученными при силовом подходе. А данные для времени разгона, текущей скорости и пройденного пути совпали с данными, которые получаются при расчете по моим формулам при численном интегрировании. К тому же у меня при расчете по моим формулам сходится и энергетический баланс. Таким образом, какие могут быть претензии, но у меня все же остаются какие-то смутные претензии к твоему выводу с использованием импульсного подхода. Хотя, возможно, что эти претензии отпадут в процессе дальнейших обсуждений, поэтому логично будет, по крайней мере, пока, твой вывод с использованием импульсного подхода считать безупречным. Кстати, неплохо бы было и для меня и для всех остальных, если бы ты так же подробно расписал свой вывод формул и с использованием силового подхода, а может быть ты замахнешься и на энергетический подход (с использованием лагранжиана системы) - ведь тема этого топика именно использование различных подходов для описания явлений Природы.
 

Использование закона сохранения импульса в задаче разгона ракеты я использовал в качестве доказательства силового подхода, по твоей терминологии.
Или в качестве доказательства правильности использования второго закона Ньютона.
А энергетический подход для решения этой задачи в принципе не нужен.
Закон сохранения импульса достаточен.
Но тем не менее закон сохранения энергии должен выполняться.
Я этим занимаюсь.
И есть результаты.
Пока в итерациях, то есть численными методами.
Но моя задача – показать строго аналитически.
Сейчас буду разбирать твой баланс энергий в приращениях.

[aid]

Это как же и что я тут буду проверять. Тем более, что мне неизвестно ни t ни V2.

Я же приводил t в 175 ответе и мы даже обсуждали эту формулу. Вот она:

\[ t=\frac{m}{m_{p}}\ln(\frac{u-v_{1}}{u-v_{2}})  \]
А v₂ берите, какую захотите, но меньше u.

Баланс: А=dEr. Масса ракеты не меняется - поэтому это просто разность энергий.
А работа на малом интервале это Fv_srt.
F=m_п(u-v) - переменная величина. На малом интервале можно взять v_sr.
Я ведь записал, что баланс я составляю для равенства работы по разгону ракеты и изменения ее кинетической энергии. А через полезную мощность двигателя нет смысла составлять баланс, т.к. сама эта полезная мощность - не константа, как для ракеты, несущей топливо с собой, а убывающая величина. По идее, она равна P=m_п(u-v)v+m_п(u-v)²/2.

[Иван Горин]

dEr= P*t - Eg1 + Eg2

dEr= (m1-m_g) * (V2² - V1²) / 2  - прирост кинетической энергии ракеты (без массы сгоревшего топлива) на этапе разгона, т.е. от скорости V1 до V2
P*t - энергия выработанная за время разгона двигателем
Eg1= m_g * V1² / 2  - кинетическая энергия массы топлива (которое сгорит во время разгона) в начале разгона, т.е. при скорости ракеты V1
Eg2= m_g * Vg² /2  - кинетическая энергия массы топлива, которое сгорело во время разгона и превратилось в газы, которые теперь со скоростью Vg летят от ракеты в другую сторону или летят вслед за ракетой
m_g=m_g1*t - расход топлива за время разгона

Сергей баланс энергий по твоим формулам не сходится.



Исходник:

http://yadi.sk/d/JTzBgOJNGkRZi

[Ser100]

Сдается мне, что это не то. Заглянул в учебники - это уравнения Лагранжа с реакциями связей, а не уравнения второго рода. При чем для случая голономных связей надо производные по координатам брать, а не скоростям. Впрочем, не важно.

А не важно это потому, что все эти уравнения Лагранжа это просто дуристика. К тому же у Лагранжа ничего этого и не было, даже лагранжиана и то не было. Это сейчас уже с использованием долбанного вариационного исчисления (им же с Эйлером и придуманного) по мотивам его Аналитической механики насочиняли и про то и про это. При этом, формально, уравнения Лагранжа 1-го рода позволяют найти реакции связей по уже заданной функции движения, а, если их использовать совместно с уравнениями связей, то и уравнения движение системы и реакции связей. Недостатком уравнения Лагранжа I рода считается то, что число уравнений оказывается больше чем  число степеней свободы, а если мы сократим число уравнений, т.е. оставим только обобщенные координаты, число которых будет равно числу степеней свободы системы, то мы придем к уравнениям Лагранжа II рода. При этом два последних члена в приводившейся мною выше формуле должны отсутствовать и уравнения Лагранжа 2-го рода позволяют найти уравнение движения без определения реакций связи, т.к. при идеальных голономных связях (я там исправил производную по dq) эти реакции не совершают работы при перемещении по обобщенным координатам и поэтому не отражаются на энергетическом балансе.

Но, насколько я знаю, никто с использованием уравнений Лагранжа 2-го рода не решает реальные, а не учебные, задачи со связями в обобщенных координатах. Это для нашей ракеты, где нет связей, все будет просто и можно воспользоваться этим формализмом, а, например, при выводе дифференциального уравнения для описания простейшего кривошипно-шатунного механизма (КШМ), где будут уравнения связей, получается формула на пол страницы и более. Вот, например, посмотрите на дифференциальное уравнение, полученное мною при точном выводе с использованием математического пакета Maple 9.5 (смотрите файл Krivo1.mws).



       А полученное мною дифференциальное уравнение в файле Krivo2.mws, где я воспроизвел методику вывода использованную в учебнике (Бать М.И., Джанилидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. т.2. М. Наука, 1972 г.) немного поменьше приведенной выше, т.к. при выводе сделаны некоторые математические допущения, но и оно слишком громоздко, чтобы им пользоваться практически. Правда, после некоторых математических преобразований его удается привести в более-менее читабельный вид и в таком виде я его и использовал в программе Krivoship1



\[ J_p \ddot\varphi_1 + K_j \dot\varphi_1^2 = M - R \cos \varphi_1 \frac {{P_1 + P_2}} {{2}} \]        

\[ J_p = \frac {R^2} {12 g} \{4 P_1 + P_2 [ 12 (\sin \varphi_1 +  \frac {K_l} {4}\sin 2 \varphi_1)^2 + 3 \cos^2 \varphi_1 + \]        

\[ \frac {\cos^2 \varphi_1} {(1 + \frac {K_l^2} {4} + \frac { K_l^2 \cos 2 \varphi_1}{4})^2} ] + 12 P_3 (\sin \varphi_1 +  \frac {K_l}{2} \sin 2 \varphi_1)^2 \} \]            

\[ K_j = \frac {R^2} {24 g} \{P_2 [ 24 ( \sin \varphi_1  + 0.25 K_l \sin 2 \varphi_1) ( \cos \varphi_1 + 0.5 K_l \cos 2 \varphi_1) - \]

\[ \frac {3  \sin 2 \varphi_1 ( 1 – 0.25 K_l^2 + 0.25 K_l^2  \cos 2 \varphi_1)^3 + 1 - 0.75 K_l^2 - 0.25 K_l^2 cos 2 \varphi_1} {(1 – 0.25 K_l^2 + 0.25 K_l^2  \cos 2 \varphi_1)^3 } ] + \]
\[ 24 P_3 (\sin \varphi_1 + 0.5 K_l \sin 2 \varphi_1) (\cos \varphi_1 + K_l \cos 2 \varphi_1) \} \]
где : Jp -  приведенный момент инерции системы;
Kl, Kj - коэффициенты ( Kl = R / L );
R - радиус кривошипа;
L - длина шатуна;
M - момент сопротивления приложенный к кривошипу (маховику);
P1 , P2 , P3 - соответственно вес кривошипа, шатуна и поршня;
g - ускорение свободного падения.

см. продолжение

[Ser100]

При этом, когда я выводил уравнение для КШМ с использованием уравнений Лагранжа 2-го рода, я не использовал в явном виде уравнения связей, а учел их непосредственно при определении энергии системы, а вот А.И.Лурье в своей Аналитической механике (1961 г.) на стр.341 при выводе уравнения для описания КШМ использует уравнения связей и в явном виде. При этом он еще на стр.283 записывает, как и у меня в приводившемся мною уравнении последний член для неголономных связей. В общем, здесь сам черт ногу сломит и гораздо продуктивнее будет использовать энергетический подход Лагранжа ( который, кстати, у него получился по ошибке) без обобщенных координат, т.е. с тремя декартовыми координатами. Тем более, что с появлением компьютеров полностью отпала потребность в уменьшении количества уравнений, описывающих нашу систему. Кому интересно посмотреть программу Krivoship1 и файлы Krivo1.mws и Krivo2.mws (как в формате mws, так и в формате html), могут скачать их в разделе программы (искать программу Krivoship1).

Зачем нам связываться с уравнениями Лагранжа, когда все решается по Ньютону.

Ну, если не устанем, то дойдем и до того, что не все решается по Ньютону. А это я планирую рассмотреть в последнюю очередь. И потом, это Вы знаете, что все решается по Ньютону, а студенты и преподаватели МГУ об этом не знают и даже представить себе не могут, как можно решить задачу без лагранжиана и его уравнений 2-го рода. Например, когда я решив задачу по проверке принципа наименьшего действия, используя силовой подход, привел получающиеся результаты, которые опровергали этот принцип, то с меня стали требовать лагранжиан системы. Но я заявил, что у меня нет никакого лагранжиана и я решал задачу без него. Тогда мне не поверили и, обвинив в том, что я отказываюсь предоставить свой лагранжиан, мою тему закрыли.

Зачем, если у нас уже известно условие, наложенное на систему - скорость выброса пыли. А там уже не важно - пыль там собирают и сжигают, или там винты стоят, или гребцы гребут.

А это надо за тем, чтобы знать с использованием какого подхода конкретную задачу можно решать, а с использованием какого нельзя, а для этого надо выяснить суть того или иного подхода.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

Сергей баланс энергий по твоим формулам не сходится.

Я переделал твою программу и теперь все сходится. Тут, во-первых, я ошибся, т.к. надо было dEr= P*t + Eg1 - Eg2, а, во-вторых, у тебя при расчете P*t, Eg1 и Eg2 используется полное время, а надо разность между двумя скоростями, т.е. кругом будет 0,1 и еще ты забыл разделить Eg2 на два. Кажется еще что то забыл (посмотри по ячейкам). Скачать здесь
https://googledrive.com/host/0BwnV2Ac6zvhMalpOVGktQ1Jic1U/Ris/Raketa_xls2.zip

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

F=m_п(u-v) - переменная величина. На малом интервале можно взять v_sr.
Я ведь записал, что баланс я составляю для равенства работы по разгону ракеты и изменения ее кинетической энергии. А через полезную мощность двигателя нет смысла составлять баланс, т.к. сама эта полезная мощность - не константа, как для ракеты, несущей топливо с собой, а убывающая величина. По идее, она равна P=m_п(u-v)v+m_п(u-v)²/2.

В том то весь и фокус, что мощность двигателя остается постоянной m_g1*V_go²/2. Поэтому, мне и интересно, как Вы получили правильный результат. Ведь в начале темы Вы утверждали, что сила, с которой газы давят на ракету, остается неизменной, а теперь подтверждаете мое утверждение о том, что она уменьшается с ростом скорости ракеты, т.е. так же, как при разгоне автомобиля. Вот что нам надо выяснять, а не то почему Вы при неправильном понимании процессов протекающих при разгоне безтопливной ракеты "угадали" правильный ответ. Так что давайте рассматривать именно баланс энергий, чтобы понять, где у Вас ошибка в рассуждениях.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

В том то весь и фокус, что мощность двигателя остается постоянной m_g1*V_go²/2. Поэтому, мне и интересно, как Вы получили правильный результат. Ведь в начале темы Вы утверждали, что сила, с которой газы давят на ракету, остается неизменной, а теперь подтверждаете мое утверждение о том, что она уменьшается с ростом скорости ракеты, т.е. так же, как при разгоне автомобиля.

Естественно, для разных условий я получаю и разные следствия. Ваша бестопливная ракета - это как раз аналог автомобиля или гребца. С ростом скорости ракеты она все меньше изменяет импульс пыли в единицу времени. Поэтому для бестопливной ракеты сила непостоянна, а для ракеты с топливом сила постоянна. Ибо топливная ракеты при любой скорости изменяет импульс пыли в единицу времени одинаково - от mv до m(v-u). (а бестопливная - от 0 до m(v-u) - т.е. на все меньшую (по модулю) величину с ростом скорости).
  Мощность двигателя для бестопливной ракеты непостоянна, а для топливной постоянна.

И как-то мне обидно читать Ваше "угадали". Я не угадал, а вычислил. И напомню, что и баланс энергий составил и Вам объяснял, и Вы согласились в конце концов, а Вы говорите "угадали"...

[Ser100]

И как-то мне обидно читать Ваше "угадали". Я не угадал, а вычислил. И напомню, что и баланс энергий составил и Вам объяснял, и Вы согласились в конце концов, а Вы говорите "угадали"...

Я понял, почему у нас разное прочтение этого вопроса. Вы рассматриваете подобие прямоточного двигателя, когда у Вас пыль просто пролетает сквозь ракету и по пути ее сначала ионизируют, а потом разгоняют в ускорителе. Если принять такую схему, то Ваше объяснение правильное и Вы, действительно, не "угадали", а логически рассчитали. Но дело в том, что я предлагал корректную задачу, когда писал, что пыль будет улавливаться пылесборниками, поперечное сечение которых будет изменяться так, чтобы при разной скорости захватывалось неизменное количество пыли в секунду, т.е. mg1. А при прямоточном двигателе, который рассматриваете Вы такое не возможно, т.к. у Вас поперечное сечение остается неизменным, т.е. Вы рассматриваете задачу   не имеющую смысла (некорректную).

Более того, естественно, пыль будет сначала из пылесборников попадать в накопитель, а уже оттуда будет подаваться дозатором в ионизатор и оттуда в ускоритель, т.е. все эти процессы будут проходить в ракете, когда скорость пыли будет равна скорости ракеты. И получается, что в моей задаче Вы выкинули из рассмотрения часть процессов, а именно сначала разгон пыли до скорости ракеты, а потом разгон пыли от нуля (относительно ракеты) до скорости газов Vgo. Хотя я подробно писал о том, что все эти процессы будут и их надо учесть в расчете. Таким образом, Вы именно решили и решили правильно, но не ту задачу.

P.S. В качестве компенсации за то, что сразу не понял в чем Ваша ошибка, ставлю Вам плюс.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Я понял, почему у нас разное прочтение этого вопроса. Вы рассматриваете подобие прямоточного двигателя, когда у Вас пыль просто пролетает сквозь ракету и по пути ее сначала ионизируют, а потом разгоняют в ускорителе. Если принять такую схему, то Ваше объяснение правильное и Вы, действительно, не "угадали", а логически рассчитали. Но дело в том, что я предлагал корректную задачу, когда писал, что пыль будет улавливаться пылесборниками, поперечное сечение которых будет изменяться так, чтобы при разной скорости захватывалось неизменное количество пыли в секунду, т.е. mg1. А при прямоточном двигателе, который рассматриваете Вы такое не возможно, т.к. у Вас поперечное сечение остается неизменным, т.е. Вы рассматриваете задачу   не имеющую смысла (некорректную).

Более того, естественно, пыль будет сначала из пылесборников попадать в накопитель, а уже оттуда будет подаваться дозатором в ионизатор и оттуда в ускоритель, т.е. все эти процессы будут проходить в ракете, когда скорость пыли будет равна скорости ракеты. И получается, что в моей задаче Вы выкинули из рассмотрения часть процессов, а именно сначала разгон пыли до скорости ракеты, а потом разгон пыли от нуля (относительно ракеты) до скорости газов Vgo. Хотя я подробно писал о том, что все эти процессы будут и их надо учесть в расчете. Таким образом, Вы именно решили и решили правильно, но не ту задачу.

P.S. В качестве компенсации за то, что сразу не понял в чем Ваша ошибка, ставлю Вам плюс.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Сергей, я тоже  подозревал, что разночтение в этом. Если все процессы происходят одновременно по ходу ускорения ракеты, то по идее разница только в группировке слагаемых - или отдельно рассматривать торможение от сбора пыли и разгон от выбрасывания или, как сделал я, учесть это одновременно. Иначе и закон разгона получался бы разный.

[Ser100]

Сергей, я тоже  подозревал, что разночтение в этом. Если все процессы происходят одновременно по ходу ускорения ракеты, то по идее разница только в группировке слагаемых - или отдельно рассматривать торможение от сбора пыли и разгон от выбрасывания или, как сделал я, учесть это одновременно. Иначе и закон разгона получался бы разный.

Как ни странно, у меня при решении этой задачи с использованием всех четырех различных подходов ответ совпал. Естественно он совпал и с Вашим решением с использованием силового подхода (при этом ответы у меня совпали только численно, т.к. формулы у меня при разных подходах получаются для времени разгона разные). Но мне странно, как Вы при Вашей схеме ракеты, которая больше подходит для разгона частиц в ускорителях, получили правильный ответ, т.к. я, например, не могу пока решить эту задачу по Вашей схеме, т.к. не вижу в какой момент здесь будет торможение, а в какой ускорение. И вообще у меня получается по Вашей схеме, что ракета будет ускоряться при любой скорости газов.

А еще мне странно, что импульсный подход тоже дал правильный результат, хотя здесь будет диссипация энергии, а он при этом не применим как, например, в случае если у нас будет сопротивление при движении сквозь пыль. К тому же мне по прежнему интересно, какой у Вас получится энергетический баланс по моей схеме работы ракеты при изменении ее скорости в небольшом интервале. Нам ведь здесь надо не просто решить конкретную задачу, а рассмотреть различные подходы решения, чтобы определить их рамки применимости и, соответственно, достоинства и недостатки. Сейчас, например, пробую рассмотреть процесс циклического разгона, когда, например, 5 секунд пыль собирается, потом 5 секунд выбрасывется. Не знаю только даст ли это что то принципиально новое.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Иван Горин]

Я переделал твою программу и теперь все сходится. Тут, во-первых, я ошибся, т.к. надо было dEr= P*t + Eg1 - Eg2, а, во-вторых, у тебя при расчете P*t, Eg1 и Eg2 используется полное время, а надо разность между двумя скоростями, т.е. кругом будет 0,1 и еще ты забыл разделить Eg2 на два. Кажется еще что то забыл (посмотри по ячейкам). Скачать здесь
https://googledrive.com/host/0BwnV2Ac6zvhMalpOVGktQ1Jic1U/Ris/Raketa_xls2.zip

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Сейчас у тебя баланс при использовании итерационного метода сходится.
Я ошибки не сделал.
Я применял твои формулы точно, как ты их привёл.

dEr= P*t - Eg1 + Eg2

dEr= (m1-m_g) * (V2² - V1²) / 2  - прирост кинетической энергии ракеты (без массы сгоревшего топлива) на этапе разгона, т.е. от скорости V1 до V2
P*t - энергия выработанная за время разгона двигателем
Eg1= m_g * V1² / 2  - кинетическая энергия массы топлива (которое сгорит во время разгона) в начале разгона, т.е. при скорости ракеты V1
Eg2= m_g * Vg² /2  - кинетическая энергия массы топлива, которое сгорело во время разгона и превратилось в газы, которые теперь со скоростью Vg летят от ракеты в другую сторону или летят вслед за ракетой
m_g=m_g1*t - расход топлива за время разгона
 

А судя по коррекции моей таблицы, которую ты сделал, твои формулы такие:

\(\Delta E_r=P\Delta t+E_{g1}-E_{g2}\)
\(\Delta t=t_2-t_1\)
\(\Delta m_g=m_{g1}\Delta t\)
\(E_{g1}=\Delta m_g\frac{V_1^2}{2}\)
\(E_{g2}=\Delta m_g\frac{V_g^2}{2}\)
\(V_g=\frac{V2+V1}{2}-V_{g0}\)
\(\Delta E_r=\left ( m_1-m_{g1}t_2 \right )\frac{V_2^2-V_1^2}{2}\)

Сравни со своими формулами вверху.
Есть небольшая разница.
И дифференциал d не равен приращению Δ, и t не равно Δt, и m_g не равно Δm_g

В твоей программе баланс в приращениях выполняется. Первоначально ты привёл не совсем корректную запись формул.
Это не проблема.
В твоей программе они записаны правильно, если судить по твоей коррекции моей таблицы.
Но как ты вычисляешь скорость ракеты по итерациям, то есть численным методом, исходя из твоего энергетического подхода.
Не по моей же аналитической формуле через логарифм.

[Ser100]

Сравни со своими формулами вверху.
Есть небольшая разница.
И дифференциал d не равен приращению Δ, и t не равно Δt, и m_g не равно Δm_g

Да, у тебя все сейчас записано очень корректно, а я писал так, как у меня обозначено в программе, а чтобы было понятно, что есть, что я давал пояснения.

Но как ты вычисляешь скорость ракеты по итерациям, то есть численным методом, исходя из твоего энергетического подхода.
Не по моей же аналитической формуле через логарифм.

Я вычисляю время разгона по заданным двум скоростям V1 и V2, которые задаю через 0,1 м/с. Формулы для всех подходов я приводил выше.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Как ни странно, у меня при решении этой задачи с использованием всех четырех различных подходов ответ совпал. Естественно он совпал и с Вашим решением с использованием силового подхода (при этом ответы у меня совпали только численно, т.к. формулы у меня при разных подходах получаются для времени разгона разные). Но мне странно, как Вы при Вашей схеме ракеты, которая больше подходит для разгона частиц в ускорителях, получили правильный ответ, т.к. я, например, не могу пока решить эту задачу по Вашей схеме, т.к. не вижу в какой момент здесь будет торможение, а в какой ускорение. И вообще у меня получается по Вашей схеме, что ракета будет ускоряться при любой скорости газов.

А еще мне странно, что импульсный подход тоже дал правильный результат, хотя здесь будет диссипация энергии, а он при этом не применим как, например, в случае если у нас будет сопротивление при движении сквозь пыль. К тому же мне по прежнему интересно, какой у Вас получится энергетический баланс по моей схеме работы ракеты при изменении ее скорости в небольшом интервале. Нам ведь здесь надо не просто решить конкретную задачу, а рассмотреть различные подходы решения, чтобы определить их рамки применимости и, соответственно, достоинства и недостатки.

Сергей, я ведь написал баланс через равенство работы ускоряющей силы и изменения КЭ. И привел формулу для механической мощности (т.е. идущей как на разгон пыли, так и ракеты), как функции скорости. Можете проверять.
   К разгону частиц в ускорителях мое решение в принципе не подходит. Хотя многие привлекают привлекательную аналогию о том, что поле тем меньше передает энергии частице, чем больше ее скорость, как при разгоне нашей ракеты, но данная аналогия не работает.
 Насчет применимости - так импульсный и силовой подходы - это практически одно и то же.
  Если есть сопротивление, то его тоже можно учесть - я предлагал вначале, но Вы сказали не учитывать.

[Ser100]

Сергей, я ведь написал баланс через равенство работы ускоряющей силы и изменения КЭ. И привел формулу для механической мощности (т.е. идущей как на разгон пыли, так и ракеты), как функции скорости. Можете проверять.

Может быть, дойдет дело и до проверки через работу непосредственно ускоряющей силы, но меня интересует именно баланс энергий ракеты, двигателя, газов и пыли из которого можно получить, в том числе, и эту работу.

  К разгону частиц в ускорителях мое решение в принципе не подходит. Хотя многие привлекают привлекательную аналогию о том, что поле тем меньше передает энергии частице, чем больше ее скорость, как при разгоне нашей ракеты, но данная аналогия не работает.

Да, Ваше решение не подходит, а вот аналогия для разгона частиц как раз должна подходить и мне не понятно откуда Вы взяли, что она не подходит. Я ведь как раз эту аналогию и собирался использовать, когда дойдем до этой задачи.

Насчет применимости - так импульсный и силовой подходы - это практически одно и то же.

Ну, тогда попробуйте применить импульсный подход при разгоне топливной ракеты, когда у нас присутствует сопротивление среды, сила сопротивления которой определяется формулой k*V². А, т.к. в этом случае не может быть аналитического решения (если у Вас вообще до этого дойдет дело), то можете использовать ламинарное трение k*V.     

 Если есть сопротивление, то его тоже можно учесть - я предлагал вначале, но Вы сказали не учитывать.

Да, сказал, чтобы не усложнять задачу и это сопротивление можно учесть, но только с применением силового, энергетического и мощностного подходов.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.