Вывод преобразований координат и времени НРТПВ
Рассмотрим две движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно инерциальные системы отсчета (ИСО) А (c нештрихованными координатами x, y, z, t) и ИСО B (со штрихованными координатами x', y', z', t'). Пусть в каждой из них имеется прямоугольная пространственная система координат и множество одинаковых покоящихся друг относительно друга хронометров, синхронизированных друг с другом эйнштейновским способом. При этом все хронометры, покоящиеся в инерциальной системе отсчета А, синхронизированы друг с другом эйнштейновским способом при помощи источника света, покоящегося в инерциальной системе отсчета А, а все хронометры, покоящиеся в инерциальной системе отсчета B, синхронизированы друг с другом эйнштейновским способом при помощи источника света, покоящегося в инерциальной системе отсчета B.
Пусть ИСО В со штрихованными координатами (x’, y’, z’, t’) является покоящейся ИСО, а ИСО A c нештрихованными координатами (x, y, z, t) движется со скоростью u в отрицательном направлении оси x' инерциальной системы отсчета B.
Тогда в ПОКОЯЩЕЙСЯ инерциальной системе отсчета B свет имеет скорость \(c_0\), а в ДВИЖУЩЕЙСЯ со скоростью u инерциальной системе отсчета А, свет этот распространяется со скоростью, определяемой выражением \(c_u = c_0 \sqrt{1 + \frac{u^2}{c_0^2}}\). Вследствие этого выражение для интервала в галилеевых координатах ДВИЖУЩЕЙСЯ инерциальной системы отсчета А имеет вид
\(ds^2 = c_u^2\cdot dt^2 – dx^2 – dy^2 – dz^2 \) , (1)
где \(c_u = c_0\sqrt{1 + \frac{u^2}{c_0^2}}\).
Совершим над выражением (1) преобразования Галилея
\(x’’ = x – ut, t’’ = t, y’’ = y, z’’ = z .\) (2)
Для этого запишем преобразования, обратные (2)
\( x = x’’ + ut, t = t’’, y = y’’, z = z’’ .\) (3)
где x, y, z, t - галилеевы координаты события в инерциальной системе отсчета А.
Взяв дифференциалы от обеих частей равенств (3) и подставив dx, dy, dz, dt в выражение для интервала (1), получим
\(ds^2 = c_u^2(dt’’)^2(1 – \frac{u^2}{c_u^2}) -2 u dx’’ dt’’ – (dx’’)^2 – (dy’’)^2 – (dz’’)^2 .\) (4)
От возникшего в выражении (4) перекрестного члена \(dx’’ dt’’\) можно избавиться. Для этого выделим в выражении (4) полный квадрат. В результате интервал (4) примет вид
\(ds^2 = c_0^2 [\psi(u) dt’’ (\sqrt{1 - \frac{u^2}{c_u^2}} - \frac{u dx’’}{c_0 c_u \sqrt{1 - \frac{u^2}{c_u^2}}}]^2 - \frac{(dx’’)^2}{1 - \frac{u^2}{c_u^2}} – (dy’’)^2 – (dz’’)^2, \) (5)
где \(\Psi(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c_u^2}}} = \sqrt{1 + \frac{u^2}{c_0^2}}. \) Теперь введем новое время
\(t’ = \Psi(u) t’’ \sqrt{1 - \frac{u^2}{c_u^2}} - \frac{u x’’}{c_0 c_u \sqrt{1 – \frac{u^2}{c_u^2}}} \) (6)
и новые координаты
\(x’ = \frac{x’’}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c_u^2}}}, y’ = y’’, z’ = z’’.\) (7)
Тогда выражение (5) принимает вид
\(ds^2 = c_0^2 (dt’)^2 – (dx’)^2 – (dy’)^2 – (dz’)^2. \) (8)
Но выражение (8) есть выражение для интервала в галилеевых координатах ПОКОЯЩЕЙСЯ инерциальной системы отсчета B.
Следовательно, применив последовательно преобразования (2) и преобразования (6) - (7), мы от интервала (1) в ДВИЖУЩЕЙСЯ инерциальной системе отсчета А перешли к интервалу (8) в ПОКОЯЩЕЙСЯ инерциальной системе отсчета B. Это означает, что, подставляя выражения ( 2) в выражения (6) и (7), мы получим преобразования координат и времени событий от ДВИЖУЩЕЙСЯ инерциальной системы отсчета А к ПОКОЯЩЕЙСЯ инерциальной системе отсчета B
\(c_0 t’ = \gamma (c_u t - \beta x), x’ = \gamma (x - \beta c_u t), y’ = y, z’ = z, \) (9)
где \(\beta = \frac{u}{c_u}, \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}, c_u = c_0 \sqrt{1 + \frac{u^2}{c_0^2}}.\)
Разрешив преобразования (9) относительно нештрихованных координат и времени, получим преобразования
\(c_u t = \gamma (c_0 t’ + \beta x’), x = \gamma (x’ + \beta c_0 t’), y = y’, z = z’ ,\) (10)
где \(\beta = \frac{u}{c_u}, \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}, c_u = c_0 \sqrt{1 + \frac{u^2}{c_0^2}}.\)
Выражения (9) и (10) являются прямыми и обратными преобразованиями координат и времени событий от одной ИСО к другой ИСО для того частного случая, когда ПОКОЯЩЕЙСЯ является штрихованная ИСО B, а движущейся является нештрихованная ИСО А.
(окончание следует)