Фрактальная размерность вселенной.

[Король Альтов]

    Картина формирования окружающей нас области мира весьма напоминает рост дерева из отдельного семечка и обзаводящегося множеством ветвей с бесчисленными отростками и ответвлениями. Как пишет московский астрофизик Ф. Цицин, «древо – суть и символ глубинных связей между причинами и следствиями, корнями и кроной, тем, что вытекает из небытия, и тем, к чему устремлено развитие Вселенной – частный, но чрезвычайно типичный случай отсутствия непрерывности и целочисленности, присутствия дискретности, квантованное T, при сохранении подобия на всех масштабах – в пространстве и во времени. Древо – универсальный образ для самых разнообразных процессов, способ, коим ткется пространственное лоно Вселенной, выражение Единства и целесообразности всего сотворенного в мире. Такие дробные свойства Вселенной, именуемые фрактальностью, стали серьезно обсуждаться лишь последние пятнадцать лет, поколебав тем самым пятидесятилетнее господство классической релятивистской космологии».
       Речь идет о том, что за последние примерно 20 лет получил право на существование совершенно новый и довольно неожиданный аспект окружающего нас Мира. Оказалось, что наша Вселенная является не «целомерной», а, как принято сейчас говорить, «фрактальной», состоящей сплошь из «фрактальных» систем. Астрофизики с некоторым удивлением осознали, что мир, в котором мы живем, состоит из объектов и систем «дробной размерности». Это оказалось весьма неожиданным по той причине, что до самого недавнего времени мы имели дело с объектами, во-первых, целочисленной, а, во-вторых, сравнительно небольшой, минимальной размерности. В самом деле, размерность точки равняется нулю, размерность прямой линии – единице, плоскости – двум, а различных тел – трем.
     Но в 1908 году Г. Минковский предложил четырехмерную трактовку теории относительности, в которой роль четвертого измерения играет время. И это был только первый толчок. Вслед за тем появились модели с 5 и 6 измерениями, а сравнительно недавно – в различных теориях возникли операции с 10 и 11-мерными физическими пространствами. В конце же концов дело дошло до… 506 измерений!
   Что же касается математиков, которые в меньшей степени, чем физики, ограничены реальными свойствами материального мира, то с легкой руки великого Д. Гильберта они уже давно оперируют и с пространствами «бесконечномерными».
     Однако до последнего времени речь шла лишь о целых числах. А теперь оказалось, что наша Вселенная на самых разных уровнях заполнена объектами с… дробной размерностью.
     Это открытие произвело, пожалуй, не меньший эффект, чем обнаружение частиц с дробным электрическим зарядом – знаменитых кварков. Но если кварки до сих пор остаются «теоретическими объектами», то в данном случае оказалось, что фрактальной природой, то есть дробными размерностями, обладает не только Вселенная, но и многие привычные объекты и структуры окружающего нас мира. К их числу относятся такие процессы, как эрозия почвы, сейсмические явления, химические реакции, солнечные пятна и скрытая масса галактик, фрагментация протогалактической среды, переменные звезды, и даже совокупность «ресничек» на стенках кишечника. Иными словами, «фрактальные формы» существуют буквально повсюду. Как пишет американский математик Бенуа Мандельброт, стоявший у истоков фрактальных представлений, «ученые с немалым удивлением и восторгом… уясняют для себя, что многие и многие формы, которые они до сих пор вынуждены были характеризовать как зернистые, гидроподобные, похожие на морские водоросли, странные, запутанные, ветвистые, ворсистые, морщинистые и т. п., отныне могут изучаться и описываться в строгих количественных терминах… Фрактальные множества, считавшиеся до сих пор чем-то исключительным… в некотором смысле должны стать правилом».

[Король Альтов]

     Остается лишь удивляться тому, что ученые столетиями не замечали того, что сейчас выглядит как совершенно очевидное. Но как уже не раз бывало в науке, стоит хотя бы одному это «очевидное» обнаружить, как вслед за ним очень быстро «прозревают» и все остальные. И это влечет за собой существенные изменения в научной картине мира.
     Известный писатель-фантаст и ученый-палеонтолог И. Ефремов писал: «Смотрите, как повсюду окружают нас непонятные факты, как лезут в глаза, кричат в уши, но мы не видим и не слышим, какие большие открытия таятся в их смутных очертаниях». А Ф. Левольд говорил: «Истина бывает часто настолько проста, что в нее не верят»…
    История обнаружения фрактальности довольно характерна для развития естественных наук и весьма поучительна. Все началось с мысленного эксперимента, осуществленного Б. Мандельбротом. Он обратил внимание на то, что длина участка береговой линии моря между какими-либо двумя пунктами зависит от того, как ее измерять, то есть от «длины линейки». Однако осознав довольно очевидный факт, Б. Мандельброт на этом не остановился, как поступили все его предшественники. А задумавшись над проблемой «устройства» Вселенной, пришел по аналогии к выводу и об ее фрактальном строении. Тем самым догматический барьер в устоявшемся сознании научного сообщества, убежденного в том, что во Вселенной для фрактальности нет места, был, наконец, преодолен. И картина мира, в том числе и его астрономическая картина, необратимо изменилась. По мнению Ф. Цицина, какие бы изменения эта картина ни претерпела в дальнейшем, «аспект фрактальности» вошел в ее «твердое ядро» принципов-постулатов и не будет изъят ни при какой ревизии.
     Таким образом, современное естествознание приходит к выводу о том, что все системы, существующие в окружающей нас природе – от микромира до Метагалактики, – имеют фрактальную структуру, то есть обладают дробной размерностью. Возникает, однако, законный вопрос: какой физический смысл имеет, скажем, пространство с дробной размерностью или вообще любой фрагмент с фрактальными свойствами? По мнению Ф. Цицина, это структура пространственно-иерархического типа с постепенно убывающим, но в то же время строго закономерным единообразным «заполнением объема». Пример: крона «зимнего дерева» с опавшими листьями.
     А существуют ли в самой природе пространства с дробной размерностью? И мыслимо ли такое пространство вообще? По утверждению Ф. Цицина, такой объект в последние годы, наконец, появился, правда, только в теории. Этот уникальный и пока что единственный объект – сама Большая Вселенная в модели хаотического раздувания, разрабатываемой А. Линде. Она обладает фрактальной природой по «построению» в силу случайного (или, как говорят математики, стохастического) процесса раздувания в пространстве и во времени.
    Правда, многое еще остается неясным. Например, мы не в силах представить себе, что могла бы означать дробная размерность времени. Но, видимо, прав был физик-теоретик Л.Д. Ландау, заявлявший, что если надо, мы можем понять даже то, что не можем представить…
    Можно считать симптоматичным, что математический аппарат, соответствующий фрактальным представлениям, подготавливался уже на протяжении нескольких сотен лет трудами таких выдающихся математиков, как Лейбниц, Эйлер, Лаплас, Фурье, Лиувиль и Риман. Хотя достаточно полное обобщение этих исследований было достигнуто только во второй половине XX столетия в работах итальянского математика Тарди, а затем независимо А. Летинковым в России и Л. Грюнвальдом в Праге.

[Король Альтов]

     В дальнейшем, правда, наступил период «невостребованности» математических достижений в рассматриваемой области. Но у этого факта существуют вполне объективные причины. Дело в том, что долгое время казалось, что такие объекты, системы и процессы, которые требовали бы для своего понимания и описания «фрактального математического исчисления» в окружающем нас мире, отсутствуют.
      Пока фрактальная картина мира находится только в стадии становления. Однако уже можно не опасаться того, что «фрактальный математический анализ» и «фрактальные уравнения» останутся и в обозримом будущем без применения, окажутся невостребованными. В свое время английский астрофизик и известный популяризатор науки Джеймс Джине утверждал, что есть творчество математиков, которое никогда не пригодится за пределами самой математики. И в качестве примера он приводил теорию групп, с которой в настоящее время, как мы уже отмечали, связана едва ли не половина современных физических теорий. История науки не раз подтверждала также правоту видного французского математика Т. Эрмита, утверждавшего, что самым абстрактным спекуляциям математического анализа соответствуют реальные соотношения, существующие вне нас, которые когда-нибудь достигнут нашего сознания.
   И, наконец, самый главный вопрос: что принесет современному естествознанию дальнейшее развитие представлений о «фрактальной картине мира»? Опыт развития науки убедительно показывает, к какому величайшему прогрессу в наших знаниях о природе приводит обнаружение каких-либо общих черт в различных естественных процессах. Но можно с полным правом утверждать, что за всю историю развития естествознания науке еще никогда не удавалось находить общее в столь многообразных и разнообразных, казалось бы, весьма далеких друг от друга явлениях и процессах, какое было обнаружено с открытием фрактальности.

[Король Альтов]

http://sernam.ru/book_fract.php
Фрактальная геометрия природы
    Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 стр.

Классическая книга основателя теории фракталов, известного американского математика Б. Мандельброта, которая выдержала за рубежом несколько изданий и была переведена на многие языки. Перевод на русский язык выходит с большим опозданием (первое английское издание вышло в 1977 г.). За прошедший период книга совсем не устарела и остается лучшим и основным введением в теорию фракталов и фрактальную геометрию. Написанная в живой и яркой манере, она содержит множество иллюстраций (в том числе и цветных), а также примеров из различных областей науки.

Для студентов и аспирантов, физиков и математиков, инженеров и специалистов.

 



Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ
I ВВЕДЕНИЕ
1. ТЕМА
2. ИРРЕГУЛЯРНОЕ И ФРАГМЕНТИРОВАННОЕ В ПРИРОДЕ
3 РАЗМЕРНОСТЬ, СИММЕТРИЯ, РАСХОДИМОСТЬ
4 ВАРИАЦИИ НА ТЕМУ
II ТРИ КЛАССИЧЕСКИХ ФРАКТАЛА - СОВЕРШЕННО РУЧНЫЕ
5. КАКОВА ПРОТЯЖЕННОСТЬ ПОБЕРЕЖЬЯ БРИТАНИИ?
6 СНЕЖИНКИ И ДРУГИЕ КРИВЫЕ КОХА
7 ПОКОРЕНИЕ ЧУДОВИЩНЫХ КРИВЫХ ПЕАНО
8 ФРАКТАЛЬНЫЕ СОБЫТИЯ И КАНТОРОВА ПЫЛЬ
III. ГАЛАКТИКИ И ВИХРИ
9 ФРАКТАЛЬНЫЙ ВЗГЛЯД НА СКОПЛЕНИЯ ГАЛАКТИК
10 ГЕОМЕТРИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ; ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ
11 ФРАКТАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
IV. МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ ФРАКТАЛЫ
12 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДЛИНОЙ, ПЛОЩАДЬЮ И ОБЪЕМОМ
13 ОСТРОВА, КЛАСТЕРЫ И ПЕРКОЛЯЦИЯ; СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДИАМЕТРОМ И КОЛИЧЕСТВОМ
14 ВЕТВЛЕНИЕ И ФРАКТАЛЬНЫЕ РЕШЕТКИ
V. НЕМАСШТАБИРУЕМЫЕ ФРАКТАЛЫ
15 ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ОБЪЕМА. ЖИВАЯ ПЛОТЬ
16 ДЕРЕВЬЯ. СКЕЙЛИНГОВЫЕ ОСТАТКИ. НЕОДНОРОДНЫЕ ФРАКТАЛЫ
17 ДЕРЕВЬЯ И ДИАМЕТРИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ
VI. САМООТОБРАЖАЮЩИЕСЯ ФРАКТАЛЫ
18 САМОИНВЕРСНЫЕ ФРАКТАЛЫ, АПОЛЛОНИЕВЫ СЕТИ И МЫЛО
19. КАНТОРОВА ПЫЛЬ И ПЫЛЬ ФАТУ. САМОКВАДРАТИРУЕМЫЕ ДРАКОНЫ
20 ФРАКТАЛЬНЫЕ АТТРАКТОРЫ И ФРАКТАЛЬНЫЕ («ХАОТИЧЕСКИЕ») ЭВОЛЮЦИИ
VII. СЛУЧАЙНОСТЬ
21 СЛУЧАЙ КАК ИНСТРУМЕНТ ДЛЯ СОЗДАНИЯ МОДЕЛЕЙ
22 УСЛОВНАЯ СТАЦИОНАРНОСТЬ И КОСМОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ
VIII. СТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ
23 СЛУЧАЙНЫЙ ТВОРОГ: КОНТАКТНЫЕ КЛАСТЕРЫ И ФРАКТАЛЬНАЯ ПЕРКОЛЯЦИЯ
24 СЛУЧАЙНЫЕ ЦЕПИ И СКВИГ-КРИВЫЕ
25 БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЫ
IX. ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЫ
26 СЛУЧАЙНЫЕ КРИВЫЕ СРЕДИННОГО СМЕЩЕНИЯ
27 СТОКИ РЕК. МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ СЕТИ И ШУМЫ
28 РЕЛЬЕФ И БЕРЕГОВЫЕ ЛИНИИ
29 ПЛОЩАДИ ОСТРОВОВ, ОЗЕР И ЧАШ
X. СЛУЧАЙНЫЕ ТРЕМЫ. ТЕКСТУРА
30 ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ОДНОРОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
31 ТРЕМЫ В ИНТЕРВАЛЕ. ЛИНЕЙНАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ
32 СУБОРДИНАЦИЯ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГАЛАКТИКИ
33 КРУГОВЫЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕМЫ: ЛУННЫЕ КРАТЕРЫ И ГАЛАКТИКИ
34 ТЕКСТУРА: ПУСТОТЫ И ЛАКУНАРНОСТЬ, ПЕРИСТОСТЬ И СУККОЛЯЦИЯ
XI. РАЗНОЕ
35 ОБОЩЕНИЯ ТРЕМЫ И УПРАВЛЕНИЕ ТЕКСТУРОЙ
36 ФРАКТАЛЬНАЯ ЛОГИКА В СТАТИСТИЧЕСКОЙ РЕШЕТОЧНОЙ ФИЗИКЕ
37 КОЛЕБАНИЯ ЦЕН И МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ В ЭКОНОМИКЕ
38 МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И СТЕПЕННЫЕ ЗАКОНЫ БЕЗ ГЕОМЕТРИИ
39 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ И ДОПОЛНЕНИЯ
Афинность (само- ) и подобие
Броуновские фрактальные множества
Кривые пеано
Нелакунарные фракталы
Потенциалы и емкости. размерность фростмана
Размерность и покрытие множества (или его дополнения) шарами
Размерность подобия: некоторые тонкости
Устойчивые по леви случайные величины и функции
Фракталы (определение)
Функция вейерштрасса и родственные ей функции. ультрафиолетовая и инфракрасная катастрофы
Характеристическая и кохарактеристическая функции
Хаусдорфова мера и размерность Хаусдорфа – Безиковича
Эвристика Липшица – Гёльдера
XII. О ЛЮДЯХ И ИДЕЯХ
40 БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ
41 ИСТОРИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ
42 ЭПИЛОГ: ПУТЬ К ФРАКТАЛАМ
БЛАГОДАРНОСТИ
Указатель избранных размерностей
ДОПОЛНЕНИЕ, ВОШЕДШЕЕ ВО ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ (ДЕКАБРЬ 1982)
Литература
Предметный указатель

[Король Альтов]

http://sernam.ru/book_fract.php?id=10

[Король Альтов]

http://www.delphis.ru/journal/article/fraktalnaya-vselennaya#anc1
Фрактальная вселенная
(Субъективный взгляд со стороны)
Цицин Ф.А., кандидат физико-математических наук

[Король Альтов]

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0202/010a/02020070.htm
Паршин Д.А., Зегря Г.Г.
Фрактальная структура Вселенной
В попытке понять устpойство Вселенной мы неизбежно сталкиваемся с понятием фpактала. Так, пpедположим, что нам захотелось узнать, с какой сpедней плотностью pаспpеделены звезды (или галактики) в видимой части Вселенной. Пpедставим себе сфеpу достаточно большого pадиуса R, внутpи котоpой находится очень много N>> 1 звезд. Тогда по опpеделению сpедняя концентpация звезд n = N/V(R), где V(R) = 4πR3/3 — объем сфеpы. Можно пpедположить, что если pадиус сфеpы достаточно велик, то концентpация звезд не будет зависеть от этого pадиуса, и мы получим ответ на интеpесующий нас вопpос.
Опытные данные, однако, говоpят об обpатном. С pостом R величина n непpеpывно уменьшается. И, что интеpесно, уменьшение пpоисходит пpимеpно по степенному закону , где D≈1.23, т.е. намного меньше 3. Это соответствует тому, что число звезд в сфеpе pадиуса R pастет, как

т.е. гоpаздо медленнее, чем было бы в случае их одноpодного pаспpеделения в пpостpанстве. Таким обpазом, pаспpеделение звезд и галактик во Вселенной сильно неодноpодно. Количественной меpой этой неодноpодности может служить отличие показателя степени D от 3. Саму же величину D можно отождествить с фpактальной pазмеpностью pаспpеделения матеpии во Вселенной. Это последнее утвеpждение нуждается в пояснении.
Действительно, пpи опpеделении, напpимеp, фpактальной pазмеpности D беpеговой линии, мы исходили из соотношения N≈(R/l)D, где величина R была pасстоянием между паpой точек A и B на беpеговой линии по пpямой, длина l<< R была нашим масштабом измеpения, а число N показывало, сколько pаз этот масштаб укладывался вдоль беpеговой линии между точками A и B. В соответствии с этой фоpмулой фpактальную pазмеpность D можно тpактовать двояко. С одной стоpоны, в полном согласии с опpеделением

она показывает, как с уменьшением масштаба l pастет число элементов, с помощью котоpых можно покpыть некотоpую выделенную область на данном фpактале. С дpугой стоpоны, она показывает, как то же самое число pастет с увеличением R — pазмеpа этой области. Пpичина такой двойственности, очевидно, кpоется в том, что у фpактала нет своего собственного масштаба длины, а поскольку число N должно быть безpазмеpным, то показатель степени D оказывается одним и тем же как для зависимости , так и для зависимости .
Как можно себе наглядно пpедставить pаспpеделение звезд в тpехмеpном пpостpанстве, имеющее фpактальную pазмеpность D, близкую к единице? Разумеется, ответ на этот вопpос сильно неоднозначен. Существует бесконечное количество pазличных констpукций, имеющих одно и то же значение фpактальной pазмеpности. Одним из классических пpимеpов, котоpый мы сейчас pассмотpим, является вселенная Фуpнье (Fournier universe), названная так по имени амеpиканского жуpналиста и изобpетателя, котоpый пpедложил ее в 1907 г. Она показана на pис. 1.

[Король Альтов]

Рис. 1. Вселенная Фуpнье.

Каждая точка на этом pисунке пpедставляет собой одну галактику. Они объединены в скопления pадиуса R1 по 7 галактик в каждом скоплении. Hа pисунке видны только пять из них: недостающие две pасположены симметpично над и под плоскостью pисунка, на пpямой, пpоходящей чеpез центp скопления  1. В свою очеpедь, семь таких скоплений аналогичным обpазом объединены в одно супеpскопление pадиуса R2. Затем по такому же пpинципу из семи супеpскоплений стpоится одно супеpсупеpскопление pадиуса R3, пpичем R3/R2 = R2/R1 и т.д. В pезультате многокpатного повтоpения такого пpоцесса возникает самоподобная фpактальная стpуктуpа.
Ее фpактальную pазмеpность легко опpеделить, заметив, что, как следует из pисунка, в сфеpе pадиуса R2 содеpжится в семь pаз больше галактик, чем в сфеpе pадиуса R1, т.е. N(R2) = 7N(R1). Решением этого уpавнения является степенная функция http://www.trinitas.ru/rus/doc/0202/010a/pic/0070/0070-07.gif, где

У Фуpнье R2 = 7R1, поэтому pазмеpность такой вселенной pавняется 1. Как видно, она для этого вовсе не обязательно должна быть пpямой или какой-нибудь дpугой плавной кpивой. Более того, она даже не должна быть связной. Меняя отношение R2/R1, легко постpоить фpактальные вселенные с дpугими pазмеpностями D, близкими к единице.
Д. А. Паршин и Г. Г. Зегря,
Основы Общей Теории Относительности, лекция 27,
http://www.edu.ioffe.ru/edu/physica3.html

[Король Альтов]

http://www.youtube.com/watch?v=MK3JAFfCQYs


http://www.youtube.com/watch?v=pYHSNFNxy50


http://www.youtube.com/watch?v=xCNDHzYIjYs

http://www.youtube.com/watch?v=HCl-7AbyCsY&feature=player_embedded


http://www.youtube.com/watch?v=Ok0Uh0x-SjA


http://www.youtube.com/watch?v=PAtBiSFvSRw

[Король Альтов]

http://www.youtube.com/watch?v=9H2PHX2rYFY&feature=player_embedded

[Король Альтов]

http://www.youtube.com/watch?v=28W3LkMXf7Q


http://www.youtube.com/watch?v=Gza2oAOgyDw


http://www.youtube.com/watch?v=OAYcNgLR_z4


http://www.youtube.com/watch?v=HmU6Kw9h9kA

[Король Альтов]

Красота фракталов!

[Король Альтов]

Вообще понятие дробного интеграла и производной и интеграла существует формально математически, поскольку какой то конкретный множественночисловой и геометрический смысл этим понятиям пока никто придать не смог. Может вся суть состоит в том, чтобы это сделать, и тогда возможно откроется принципиально новая математика с фантастическими возможностями. И вот тут очень интересную связку образуют фракталы с дробными интегралами и производными.