Обсуждение 3aдaчи

[BJIaquMup]

Задача

Дано:

1.  \(x^2 - 2x + 2(F - E - 1)\)

     Где \(F\) - число Фибоначчи ("золотое сечение"), \(E\) - число Эйлера-Маскерони.
     Отсюда, имеем корни: \(x_1 = s\) и \(x_2 = 2 - s\) \((s \approx 0.0416872367..)\)

2.  \(m = (1 + s + x_0)^{\frac{1}{1 - y_0}}\)

     Подробности здесь: http://privaloff/narod.ru

3.  \(f(x) = N^{(x^x)}\)


Вот три условия, при которых мы получаем число \(a = \) 0.026049959... .

Здесь всё просто.

• a). В функции №3 находим координаты максимума \(x_0\) и \(y_0\).
• b). Поставляем эти значения в выражение №2.
• c). Подставляем \(m\) в выражение №3, т.е. \(f(m) = N^{(m^m)}\)
• d). Находим максимум \(f(m)\). Это и есть число \(a\). (Значение \(N\) подбирается по ходу вычисления. В данном случае, максимум наблюдается только при значении \(N \approx\) 0.271644... ).

Доказать, что при условии

\[ x_{n+1}\rightarrow\frac{J}{x_n^{2 - a}(exp(-x_n) + a)} \]

линии итераций, при \(J\) стремящемся к бесконечности, находятся на грани касания в области определения между двух точек пересечения всех итераций (приблизительно, от 0.431 до 6.4058).

p.s.
Исправил ошибку в показателе степени. (Последнее выражение). Там должно быть \(2-a\)

[BJIaquMup]

Для особо въедливых (ежели таковые объявятся) размещу тексты программ на Вольфрамовской Математике.

К условию №1

Код: [Выделить]

Fi = N[GoldenRatio, 50];
Eu = N[EulerGamma, 50];
S2 := N[2*((Fi - 1) - Eu), 50];
Roots[x^2 - 2*x + S2 == 0, x]

К условию №2 и №3

Код: [Выделить]

pa3 = 150; to4 = 30;
s = 0.04168723670021172737215360;
A1 = 0.3;
A7 = 0.4;
(* _______________________ *)
w := N[((1 + x0) + s)^(1/(1 - y0)), to4];
(* _______________________ *)
f := N[t^(x^x), to4];
fw := N[t^(w^w), to4];
b1 = 0.1;
b7 = 0.4;
Do[
    pb = b7 - b1; g = pb/7;
    b2 = b1 + g; b6 = b7 - g;
    t = b1;
    a1 = A1;
    a7 = A7;
    res = FindMaximum[f, {x, a1, a7}];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax1 = fw;
    t = b1 + g;
    a1 = A1;
    a7 = A7;
    res = FindMaximum[f, {x, a1, a7}];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax2 = fw;
    t = b1 + 2*g;
    a1 = A1;
    a7 = A7;
    res = FindMaximum[f, {x, a1, a7}];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax3 = fw;
    t = b7 - 2*g;
    a1 = A1;
    a7 = A7;
    res = FindMaximum[f, {x, a1, a7}];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax5 = fw;
    t = b7 - g;
    a1 = A1;
    a7 = A7;
    res = FindMaximum[f, {x, a1, a7}];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax6 = fw;
    t = b7;
    a1 = A1;
    a7 = A7;
    res = FindMaximum[f, {x, a1, a7}];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax7 = fw;
    If[And[ax1 < ax2, ax2 < ax3], {b1 = b2}];
    If[And[ax7 < ax6, ax6 < ax5], {b7 = b6}],
    {pa3}];
Print["=============== Macca =============="];
Print[ax3];
Print["===================================="];
Print[t];

К условию 4

Код: [Выделить]

a = 0.02604995939220581693194229862873;
B = 2 - a;
x1 = 0.4; x2 = 6.39;
y2 = 10.0; y1 = 0.0;
Volov = Compile[{{mu, _Real}}, ({mu, #} &) /@
Union[Drop[NestList[mu/(#^B*N[Exp[-#] + a]) &, 1., 120], 0]]];
mm = Flatten[Table[Volov[mu], {mu, x1, x2, 1.0*10^(-3)}], 1];
ListPlot[mm, PlotStyle -> AbsolutePointSize[.01], Frame -> True, FrameStyle ->
GrayLevel[0.5], Axes -> False, ImageSize -> {500, 500}, PlotRange -> {y1, y2}]

Разумеется, программы не являются доказательством. Но я и не доказываю ничего. 
Просто, есть такая идея. Требуется её опровергнуть.

Идея состоит в том, что числа a и s взаимосвязаны. Причём, связь эта должна быть точной. Это связь между полистепенными функциями и логистическими отображениями.
Пока это не доказано, но и не опровергнуто.

[BJIaquMup]

Задача №2

На сей раз речь пойдёт о числе s.

Изменим условие №4. Оно будет выглядеть так:

5.    \(x_{n+1}\rightarrow\frac{J}{x_n^B(exp(-x_n) + s)}\)

Получим следующий график.

Привяжем это условие к точке, совпадающей по оси ординат с самой первой итерацией, там, где все линии итераций пересекаются. Добьёмся того, чтобы при определённом значении B (B = 1.6690476834..) эта точка совпадала по оси абцисс со значением

6.  \(f(x) = (x^x)^N\)

На графике, по оси абцисс, справа в зелёном круге -- минимум данной функции (6). Это значение приблизительно равно 12.4597590404... . Здесь то же самое. Находим минимум \(f(m)\). (Значение N подбирается по ходу вычисления. В данном случае, минимум наблюдается только при значении N=2.3580931451190...).

Требуется доказать, что второе пересечение всех итераций находится в точке \(\frac{1}{e}+s\)

На графике оно показано в синем круге.
Собственно, это и главное. Ибо, если это будет доказано, то это буквально значит, что число s получается не только из условия №1. Оно красной нитью проходит как через полистепенные функции, так и через логистические отображения. То есть, отмахнуться от этого числа, как от надоедливой осенней мухи, будет никак нельзя.

[BJIaquMup]

Код к условию №6

Код: [Выделить]

pa3 = 200;
to4 = 150;
gen = 100; gA = 70; gP = 80;
s = 0.041687236700211727372153602931645047217004862325048865035205532474628040\
504435452447584283882037449435447604167515901594731401107954015239248188501239\
956;
A1 = 0.35000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
000;
A7 = 0.37000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
000;
x := N[((1 + x0) + s)^(1/(1 - y0)), to4];
f := N[(x^x)^t, to4];
b1 = 2.35800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
000;
b7 =\[InvisibleSpace]2.\
358100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000;
Do[
    pb = b7 - b1; g = pb/7;
    b2 = b1 + g; b6 = b7 - g;
    t = b1;
    a1 = A1;
    a2 = A7;
    res = FindMinimum[f, {x, a1,
    a2}, AccuracyGoal -> gA, PrecisionGoal -> gP, WorkingPrecision -> gen];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax1 = f;
    t = b1 + g;
    a1 = A1;
    a2 = A7;
    res = FindMinimum[f, {x, a1, a2}, AccuracyGoal -> gA, PrecisionGoal -> gP,
     WorkingPrecision -> gen];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax2 = f;
    t = b1 + 2*g;
    a1 = A1;
    a2 = A7;
    res = FindMinimum[f, {x, a1,
    a2}, AccuracyGoal -> gA, PrecisionGoal -> gP, WorkingPrecision -> gen];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax3 = f;
    t = b7 - 2*g;
    a1 = A1;
    a2 = A7;
    res = FindMinimum[f, {x, a1, a2}, AccuracyGoal -> gA, PrecisionGoal -> gP,
     WorkingPrecision -> gen];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax5 = f;
    t = b7 - g;
    a1 = A1;
    a2 = A7;
    res = FindMinimum[f, {x, a1,
    a2}, AccuracyGoal -> gA, PrecisionGoal -> gP, WorkingPrecision -> gen];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax6 = f;
    t = b7;
    a1 = A1;
    a2 = A7;
    res = FindMinimum[f, {x, a1, a2}, AccuracyGoal -> gA, PrecisionGoal ->
    gP, WorkingPrecision -> gen];
    x0 = x /. Last[res];
    y0 = First[res];
    ax7 = f;
    If[And[ax1 > ax2, ax2 > ax3], {b1 = b2}];
    If[And[ax7 > ax6, ax6 > ax5], {b7 = b6}],
    {pa3}];
Print["Axion = ", ax3];

Используем полученное значение в следующей программе.
Здесь находим показатель степени B по точке пересечения всех итераций, заданное условием 6.

Код: [Выделить]

s = 0.041687236700211727372153602931645047217004862325048865035205532474628040\
50443545244758428388203744943544760;
B = 1.66904768345037;
c1 = 12.4597590404000804327093386202234422329519618949304670192470858047717929\
53148362253024455561823819;
x1 = 12.4597590404000;
x2 = 12.4597590404001;
Print[c1];
y2 = 1.00000000000001;
y1 = 0.99999999999999;
Volov = Compile[{{mu, _Real}}, ({mu, #} &) /@ \
Union[Drop[NestList[mu/(#^B*N[Exp[-#] + s]) &, 1., 2], 0]]];
mm = Flatten[Table[Volov[mu], {mu, x1, x2, 1.0*10^(-19)}], 1];
ListPlot[mm,
 PlotStyle -> AbsolutePointSize[.01], Frame -> True, FrameStyle -> \
GrayLevel[0.5], Axes -> False, ImageSize -> {500, 500}, PlotRange -> {y1, y2}]

А здесь, подставляем полученное значение показателя степени B и получаем точку пересечения, которую проверяем на предмет совпадения с

\[ \frac{1}{e} + s \]

Код: [Выделить]

s = 0.041687236700211727372153602931645047217004862325048865035205532474628040\
5044354524475842838820374494354476041675159015947314011079540152392481885;
B = 1.66904768345037;
h1 = 0.40956667787165404896767737309310591466281599335681669954304233417208953\
6249335255804731558227957093182074929444359896802978376900744144247874842;
x1 = 0.40956667787165;
x2 = 0.40956667787166;
Print[N[1/E, 150] + s];
y2 = 1.00000000000001;
y1 = 0.99999999999999;
Volov = Compile[{{mu, _Real}}, ({mu, #} &) /@ \
Union[Drop[NestList[mu/(#^B*N[Exp[-#] + s]) &, 1., 2], 0]]];
mm = Flatten[Table[Volov[mu], {mu, x1, x2, 1.0*10^(-18)}], 1];
ListPlot[mm, PlotStyle -> AbsolutePointSize[.01], Frame -> True, FrameStyle \
-> GrayLevel[0.5], Axes -> False, ImageSize -> {500, 500},
 PlotRange -> {y1, y2}]

Проверено пока что до 14 знаков. 

[BJIaquMup]

ВНИМАНИЕ!

Ребята, здесь я в разъяснении допустил грубейшую ошибку. Каюсь и посыпаю голову пеплом. (Дяденька, прости засранца!   ).
Дело заключается в том, что в данной формуле число J на графике является "иксом", т.е. на графике оно откладывается по оси абцисс. А итерации подчинён как раз параметр x_n. То есть, он обновляется каждый раз при очередной итерации.
А по оси ординат выводится как раз тот результат, который соответствует последнему значению x_n+1

Щаз всё объясню.  +@>

Просто, взялся посчитать значительно точнее и выяснилось, что xyu'ню-с сморозил-с, ваше сиятельство-с.

Счас фсё растолкую, кому интересно.  

[BJIaquMup]

Проверил руками до 50 знаков. Всё совпадает.

[BJIaquMup]

Задача №2

Дано:

Выражение 1    \(x_{n+1}\rightarrow\frac{(m^m)^N}{x_n^B(exp(-x_n) + s)}\)


Выражение 2    \(x_{n+1}\rightarrow\frac{\frac{1}{e}+s}{x_n^B(exp(-x_n) + s)}\)

Доказать, что при строго определённых значениях B и s, выражения 1 и 2 равны.

 +@>

p.s.
Это ответ на замечание alexand'ра, что-де, у тебя ( то есть, у меня) задача формулируется слишком длинно и витиевато (многа букафф). 

[BJIaquMup]

Относительно задачи №2.

Вычисления на компьютере с любой степенью точности среди яйцеголовых (математиков), разумеется, не является доказательством. Это так.
Это верно, разумеется. Но, есть такая пипочка, как прОцент уверенности. 
Знаете? когда 50 знаков не дают никакого противоречия в утверждении, то этот прОцент, он ведь сииильно вырастает. И наоборот, убеждённость, что где-то на 1000-м знаке, это равенство вдруг почему-то не будет выполняться, она как-то тает... 

[BJIaquMup]

ВНИМАНИЕ!

Ребята, здесь я в разъяснении допустил грубейшую ошибку. Каюсь и посыпаю голову пеплом. (Дяденька, прости засранца!  ).
Дело заключается в том, что в данной формуле число J на графике является "иксом", т.е. на графике оно откладывается по оси абцисс. А итерации подчинён как раз параметр x_n. То есть, он обновляется каждый раз при очередной итерации.
А по оси ординат выводится как раз тот результат, который соответствует последнему значению x_n+1

Щаз всё объясню.  +@>

Просто, взялся посчитать значительно точнее и выяснилось, что xyu'ню-с сморозил-с, ваше сиятельство-с.

Счас фсё растолкую, кому интересно. 

Никому не интересно. Но тему смотрят. И "Задачу" и почему-то "Обсуждение".
Это лишний раз говорит о том, что дурак не поймёт, умный ничего не скажет.