Не, ну я конечно очень сильно поторопился с этим "опровержением числа 3". Это правда.
(
https://dxdy.ru/topic128923.html )
Но постирав и просушив кальЦоны... (А с кем не бывает-то? Только с тем, кто нexy9l не делает). Но постирав и просушив кальсоны, выясняются очень небезынтересные вещи.
Берём всё то же выражение.
xn+1 = axn(1 - xn)
Не, тут всё нормально с тройкой.
Но есть очень небезынтересные вещички...
Первая точка бифуркации располагается на числе 3. То есть, a = 3. При любом стартовом числе икс, не равном нулю. Оно даже не упоминается в написании таковой формулы. Ибо, бери ты хоть какое значение от 0 до 1 (лишь бы
x не равнялось ни нулю ни единице) и получишь в результате ровно тот же график с теми же самыми значениями точки бифуркации.
Но всё далеко не так просто.
А если мы возьмём то же самое выражение и слегка его преобразуем? Давайте сделаем так, чтобы значение самого первого "икса", т.е.
x1 было бы любым положительным (не обязательно бы равнялось единице). А вместо единицы в формуле возьмём тот же самый "икс", с добавочкой бесконечно малого положительного числа
o.
xn+1 = axn((xn + o) - xn)
Тогда всё изменяется резко и решительно. Нет, эта великолепная формула Ферхюльста, она покажет ровно ту же картину бесконечного ветвления. Но точки бифуркаций будут совсем другие.
Но главное даже не это. Главное, что здесь выделяются замечательные значения. Например, такое, когда, при определённом стартовом
x1, получается так, что
а = xn+1 = 1.414...\[ a = x_{} = \sqrt{2} \]Boт этот самый случай:
Красной стрелкой показана первая точка бифуркации, где и по абцисс и по ординат одинаково корень из двух.
А стартовое значение "икс" равно
\[ \frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \]p.s.
Всю эту методику можно перенести и на другие функции. В том числе и на полистепенные. Здесь можно получить очень много небезынтересного. Особенно меня радует, что можно выйти на ну очень простые выражения, в которых лицезреем всё ту же картину, найденную Пьером Франсуа Ферхюльстом.
