Маленький пример для закрепления материала.
Вектор линейной скорости материальной точки (тела) на круговой траектории:
\(\displaystyle \vec{v}=[\vec{\omega }\times \vec{r}]\,(1)\)
Правила векторного умножения в математике определены. Я их не повторяю.
Теперь решаем обратную задачу.
Заданы вектор скорости \(\displaystyle \vec{v}\) , радиус вектор \(\displaystyle \vec{r}\) по правилам (1) и модуль угловой скорости \(\displaystyle \omega\)
Найти вектор угловой скорости \(\displaystyle \vec{\omega}\).
Зададим для простого примера векторы в координатной форме:
\(\displaystyle \vec{r}=iR\,(2),\,\vec{v}=jV\,(3)\)
Вектор, который необходимо найти \(\displaystyle \vec{\omega }=i\omega_x +j\omega _y+k\omega _z\,(4)\)
Подставим (2-4) в (1)
\(\displaystyle jV=(i\omega_x +j\omega _y+k\omega _z)\times (iR)\)
Из этого векторного уравнения находим проекции вектора угловой скорости на оси координат
\(\displaystyle jV=\omega _xR[i\times i]+\omega _y[j\times i]+\omega _z[k\times i]\)
\(\displaystyle jV=0\omega _xR+\omega _yRk+\omega _zRj\,\,(5)\)
Получаем 3 скалярных уравнения:
1. \(\displaystyle 0\omega _xR=0;\,\,\omega _x=\frac{0}{0}\) неопределенность
2. \(\displaystyle \omega _yR=0;\,\,\omega _y=0\)
3. \(\displaystyle \omega _zR=V;\,\,\omega _z=\frac{V}{R}\)
Модуль вектора угловой скорости:
\(\displaystyle \omega =\sqrt{\omega _x^2+\omega _y^2+\omega _z^2}\)
\(\omega _x=\sqrt{\omega ^2-\frac{V^2}{R^2}}\)
\(\vec{\omega }=i\sqrt{\omega ^2-\frac{V^2}{R^2}}+k\frac{V}{R}\,\,(6)\)
