Да, в этом случае связь между углом и временем выражается через эллиптический интеграл.
Используем закон сохранения энергии
\(\displaystyle \frac{m_{1}~v_{1x}^2}{2}+\frac{m_{2}~v_{2x}^2}{2}+ \frac{m_{2}~v_{2y}^2}{2} = E_{0}\), где \(E_0~-\) суммарная энергия системы.
Подставляем скорости и подробно расписываем решение:
\(\displaystyle \frac{m_{1} \left(\frac{m_{2}}{m}\omega_{z} R~sin(\alpha) \right)^2}{2}+\frac{m_{2} \left(\frac{m_{1}}{m} \omega_{z} R~sin(\alpha) \right)^2}{2}+\frac{m_{2} \left(\omega_{z} R~cos(\alpha) \right)^2}{2}= E_{0}\);
\(\displaystyle m_{1} \left(\frac{m_{2}}{m} \omega_{z} R~sin(\alpha) \right)^2+m_{2} \left(\frac{m_{1}}{m} \omega_{z} R~sin(\alpha) \right)^2+m_{2} \left(\omega_{z} R~ cos(\alpha) \right)^2=2E_{0}\);
\(\displaystyle m_{1} \frac{m_{2}^2}{m^2} \left(\omega_{z} R~sin(\alpha) \right)^2+m_{2} \frac{m_{1}^2}{m^2} \left(\omega_{z} R~sin(\alpha) \right)^2+m_{2} \left(\omega_{z} R~cos(\alpha)\right)^2=2E_{0}\);
\(\displaystyle \left(\omega_{z} R~sin(\alpha) \right)^2 \left( m_{1} \frac{m_{2}^2}{m^2}+m_{2} \frac{m_{1}^2}{m^2} \right)+m_{2} \left(\omega_{z} R~cos(\alpha) \right)^2=2E_{0}\);
\(\displaystyle \frac{m_2~m_1}{m} \left(\omega_{z} R~sin(\alpha) \right)^2+m_{2} \left(\omega_{z} R~cos(\alpha) \right)^2=2E_{0}\);
\(\displaystyle m_2 (\omega_{z} R)^2 \left(\frac{m_1}{m} sin(\alpha)^2+cos(\alpha)^2 \right)=2E_{0}\);
\(\displaystyle m_2 (\omega_{z} R)^2 \left(\frac{m_1}{m} sin(\alpha)^2+1-sin(\alpha)^2 \right)=2E_{0}\);
\(\displaystyle m_2 (\omega_{z} R)^2 \left(1-\frac{m_2}{m} sin(\alpha)^2\right)=2E_{0}=m_2~v_{2y0}^2\);
\(\displaystyle (\omega_{z} R)^2 \left(1-\frac{m_2}{m} sin(\alpha)^2\right)=v_{2y0}^2\);
\(\displaystyle \omega_{z}^2 \left(1-\frac{m_2}{m} sin(\alpha)^2\right)=\frac{v_{2y0}^2}{R^2}=\omega_{z0}^2\), где \(\displaystyle \omega_{z0}~-\) угловая скорость грузов при \(\displaystyle \alpha= 0\), когда корпус покоится, т.е. при максимальной энергии грузов.
\(\displaystyle \omega_z=\frac{\omega_{z0}}{\sqrt{1-\frac{m_2}{m} sin(\alpha)^2 }}=\frac{d \alpha}{dt}\).
Найдем время \(\displaystyle dt=\frac{1}{\omega_{z0}} \sqrt{1- \frac{m_2}{m} sin(\alpha)^2 }~d \alpha\).
Интегрируем это выражение \(\displaystyle t=\frac{1}{\omega_{z0}} \int\limits_{0}^{\alpha} \sqrt{1-\frac{m_2}{m} sin(\alpha)^2 }~d\alpha\).
Если ввести обозначение \(\displaystyle k=\sqrt{\frac{m_2}{m}} \); \(\displaystyle ~~T_0=\frac{2 \pi}{\omega_{z0}}\), тогда \(\displaystyle t=\frac{T_0}{2 \pi} \int\limits_{0}^{\alpha} \sqrt{1- k^2 sin(\alpha)^2 }~d\alpha\).
