Принцип наименьшего действия в механике — это фундаментальный принцип, который лежит в основе классической механики и квантовой механики. В классической механике он известен как принцип наименьшего действия или принцип стационарного действия, а его более формальное название — принцип Гамильтона. В самой общей форме он утверждает, что движение физической системы между двумя состояниями происходит по тому пути, для которого соответствующая величина, называемая действием, имеет стационарное (обычно минимальное) значение.
Чтобы количественно применить принцип наименьшего действия, необходимо определить функционал действия \(S\), который выражается через интеграл от лагранжиана \(L\) системы по времени:
\[ S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q}_i, t) dt, \]
где \(q_i\) обозначают обобщённые координаты системы, а \(\dot{q}_i\) — их производные по времени, то есть обобщённые скорости. Временные границы интеграла \( t_1 \) и \( t_2 \) соответствуют начальному и конечному состояниям системы.
Лагранжиан \(L\) обычно определяется как разность между кинетической энергией \(T\) и потенциальной энергией \(V\) системы:
\[ L = T - V. \]
Поиск пути, который минимизирует действие, приводит к получению уравнений движения, которые называются уравнениями Эйлера-Лагранжа:
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0. \]
Эти уравнения являются фундаментальными в классической механике и позволяют найти законы движения для самых разных физических систем.
В квантовой механике принцип наименьшего действия также имеет большое значение и приводит к понятию пути с наименьшим действием в интеграле по траекториям, который был предложен Ричардом Фейнманом. Этот интеграл суммирует вклады от всех возможных траекторий частицы между двумя точками, но наибольший вес даётся тем траекториям, для которых фаза (определяемая действием) варьируется незначительно, то есть пути близки к классическому пути наименьшего действия.
ChatGPT4
