Автор Тема: Механика центробежного вибратора  (Прочитано 1442 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Дифференциальные уравнения движения вибратора через уравнение Лагранжа.

Вычислим полную кинетическую энергию системы шасси + грузы.

\(\displaystyle L= \frac{ m_{1}~v_{1x}^2}{2}+\frac{ m_{2}~(v_{2x}^2 + v_{2y}^2)}{2}\), где индекс \(1\) относится к шасси, а \(2\) к грузам. Координата \(x~-\) направлена вдоль направления перемещения. Координата \(y~-\) поперёк.

Из кинематике следует  \(\displaystyle v_{2x} = v_{1x} - ω_{z}~R~sin(α)\) и \(\displaystyle v_{2y} = ω_{z}~R~cos(α)\), тогда

\(\displaystyle L = \frac{m_{1}~v_{1x}^2}{2} + \frac{m_{2}~((v_{1x}- ω _{z}~R~sin(α))^2+ (ω _{z}~R~cos(α))^2)}{2} =\)

\(\displaystyle = \frac{m_{1}~v_{1x}^2}{2} + \frac{m_{2}~(v_{1x}^2 + ω _{z}^2~R^2~sin(α)^2 - 2 v_{1x}~ω _{z}~R~sin(α)+ ω _{z}^2~R^2~cos(α)^2)}{2};\)

\(\displaystyle L = \frac{m~v_{1x}^2}{2} + \frac{m_{2}~ (ω _{z}^2~R^2 - 2v_{1x}~ω _{z}~R~sin(α))}{2};\)       \(m=m_1+m_2;\)

Запишем уравнение Лагранжа для координат шасси

\(\displaystyle \frac {d} {dt} \left(\frac{\partial L}{\partial v_{1x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x_{1}} = F_{тр};\)          \(F_{тр}~-\) сила внешнего трения.

Находим производные

\(\displaystyle \frac{\partial L}{\partial v_{1x}} = m~v_{1x} - m_{2}~ω _{z}~R~ sin(α);\)

\(\displaystyle \frac {d} {dt} \left(\frac{\partial L}{\partial v_{1x}} \right) = m~a_{1x} - m_{2}~ \frac{dω _{z}} {dt}~R~sin(α) - m_{2}~ω _{z}^2~R~cos(α);\)

\(\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x_{1}} = 0\), тогда

\(\displaystyle m~a_{1x}- m_{2}~\frac{dω_{z}} {dt}~R~sin(α) - m_{2}~ω _{z}^2~R~cos(α) = F_{тр};\)

\(\displaystyle a_{1x}=\gamma~ \omega_{z}^2~R~cos(α) + γ~\frac{dω_{z}} {dt}~R~sin(α)+\frac{F_{тр}} {m}.\)        \(\displaystyle \gamma=\frac{m_2}{m}.\)
...

« Последнее редактирование: 09 Май 2019, 22:12:40 от Ost »

Большой Форум

Загрузка...

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #1 : 09 Май 2019, 01:06:22 »
Запишем уравнение Лагранжа для угла поворота грузов

\(\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\omega_z}\right) - \frac{\partial L}{\partial\alpha} = M_z;\)

Вычисляем производные

\(\displaystyle \frac{\partial L}{\partial\omega_z} = m_2~\omega_z~R^2 - m_2~v_{1x}~R~sin(\alpha);\)

\(\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\omega_z}\right) = m_2~\frac{d\omega_z}{dt}~R^2 - m_2~a_{1x}~R~sin(\alpha)-m_2~v_{1x}~\omega_z~R~cos(\alpha);\)

\(\displaystyle \frac{\partial L}{\partial\alpha}= - m_2~v_{1x}~\omega_z~R~cos(\alpha);\)

\(\displaystyle m_2~\frac{d\omega_z}{dt}~R^2 - m_2~a_{1x}~R~sin(\alpha) = M_z;\)      \(M_z~-\) момент сил на оси грузов.

\(\displaystyle \frac{d\omega_z}{dt} = a_{1x}~\frac{sin(\alpha)}{R} + \frac{M_z}{I_2}.\)             \(I_2=m_2~R^2.\)

...

« Последнее редактирование: 11 Май 2019, 15:33:32 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #2 : 10 Май 2019, 14:07:53 »
Получили систему диф. ур.

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle a_{1x}=\gamma~ \omega_{z}^2~R~cos(α) + γ~\frac{dω_{z}} {dt}~R~sin(α)+\frac{F_{тр}} {m}\\
\displaystyle \frac{d\omega_z}{dt} = a_{1x}~\frac{sin(\alpha)}{R} + \frac{M_z}{I_2}\\
\end{array} \right.\)


Исследуем эту систему уравнений численным способом для разных случаев движения центробежного вибратора.

...
« Последнее редактирование: 11 Май 2019, 15:30:37 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #3 : 12 Май 2019, 15:30:24 »
Параметры механизма.

\(m=0.8~кг\);

\(m_1=0.54~кг\);

\(m_2=0.26~кг\);

\(\displaystyle \gamma=\frac{m_2}{m}=0.325;\)

\(\displaystyle R=0.06~м.\)

Начальные условия \(\alpha=0;~~t=0.\)
Начальная угловая скорость грузов \(\omega_z=2\pi~с^{-1}\).
 ...
« Последнее редактирование: 14 Май 2019, 18:04:42 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #4 : 15 Май 2019, 22:37:03 »
Колебания вибратора при \(F_{тр}=0\) и \(M_z=0\).



« Последнее редактирование: 19 Май 2019, 15:19:48 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #5 : 15 Май 2019, 22:51:41 »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #6 : 17 Май 2019, 15:10:37 »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #7 : 21 Май 2019, 14:57:05 »
Траектория грузов.

« Последнее редактирование: 21 Май 2019, 15:00:01 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #8 : 23 Май 2019, 14:30:59 »
Колебания вибратора при \(F_{тр}=40~грамм\) и \(M_z=0\).

Отношение диаметра колеса к диаметру оси в этой конструкции равно 20. При массе механизма 0.8 кг и коэффициенте трения единица, предельная сила трения будет равна 40 грамм.


...
« Последнее редактирование: 27 Июнь 2019, 14:29:19 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #9 : 28 Май 2019, 16:08:33 »
Перемещение центра масс


Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #10 : 06 Июнь 2019, 20:05:01 »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #11 : 09 Июнь 2019, 14:46:14 »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #12 : 27 Июнь 2019, 15:47:40 »
Колебания вибратора при \(F_{тр}=40~грамм\) и \(M_z~-\) компенсирующим потери на трение в каждый момент времени.

« Последнее редактирование: 12 Октябрь 2019, 22:34:08 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #13 : 30 Июнь 2019, 18:51:13 »
Траектория грузов.

« Последнее редактирование: 10 Июль 2019, 13:15:38 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 878
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +228/-29
Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #14 : 25 Март 2020, 13:19:32 »

Большой Форум

Re: Механика центробежного вибратора
« Ответ #14 : 25 Март 2020, 13:19:32 »
Loading...