Найти расстояние перелёта ракеты

[Ost]

На какое расстояние улетит ракета за собственное время, 20 лет разгон и 20 лет торможение,
при ускорении в собственной системе отсчёта \(g=9.80665~м/сек^2\).
Сколько времени пройдёт на земле?
Найти среднюю скорость.

[Ost]

Определяем инвариантное 4-ускорение, которое в собственной системе отсчёта равно \(\displaystyle w_{s}^i=\left(0,\frac{\vec g}{c^2} \right)\) (0).
\(\displaystyle {w_{}}^i= \left(\frac{g}{c^2}~sinh(\psi),\frac{\vec g}{c^2}~cosh(\psi) \right)=\left(\gamma~\frac{v}{c} \frac{g}{c^2},\gamma~\frac{\vec g}{c^2} \right) \)  (1)

Вспоминаем определение 4-ускорения \(\displaystyle {w}^i=\left(\frac{\gamma}{c}~\frac{d \gamma}{dt}, \frac{\gamma}{c^2}~\frac{d}{dt}(\vec v~\gamma)\right)\)  (2). Где \(\displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\).

Сравниваем 3-ускорение в (1) и (2).

Выделяем соотношение \(\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right)=\vec g\)    (3).

Интегрируем по времени покоящейся ИСО

\(\displaystyle \frac{\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\vec g~t\)    (4).

Вычисляем модуль скорости

\(\displaystyle v=\frac{g~t}{\sqrt{1+\frac{g^2~t^2}{c^2}}}\) (5).   

Вычисляем время по часам ракеты

\(\displaystyle t'=\int \limits_{0}^{t} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}~~dt = \int \limits_{0}^{t} \frac{dt}{\sqrt{1+\frac{g^2~t^2}{c^2}}}=\frac{c}{g}~asinh \left(\frac{g~t}{c}\right)\) (6).

\(\displaystyle t=\frac{c}{g}~sinh \left(\frac{g~t'}{c}\right)\) (7).

Интегрируем (5). Вычисляем перемещение относительно ИСО.

\(\displaystyle x=\frac{c^2}{g}\left(\sqrt{1+\frac{g^2~t^2}{c^2}}-1\right)= \frac{c^2}{g}\left(cosh \left(\frac{g~t'}{c}\right)-1 \right)\)  (8).

...

[Ost]

[Иван Горин]

Чему равна скорость ракеты относительно Земли в конце ускорения?

[Ost]

Чему равна скорость ракеты относительно Земли в конце ускорения?

Из (5) или после преобразования

\(\displaystyle v_{max}=tanh \left(\frac{g~t'}{c}\right)= 0.9999999999999999976653364\) .

[Ost]

Время есть мера изменения мощности множества.
То есть речь идет о том как изменится плотность планеты Земля (как множества фотонов), при перемещении ракеты из одной ее окрестности в другую.

Плотность планеты не зависит от перемещения ракеты.

[Иван Горин]

Из (5) или после преобразования

\(\displaystyle v_{max}=tanh \left(\frac{g~t'}{c}\right)= 0.9999999999999999976653364\) .

У меня получилось приблизительно V_max=1 - 2,25*10^-18
Используя формулы Тейлора и пренебрегая порядком малости выше 2.

[severe]

при ускорении в собственной системе отсчёта \(g=9.80665~м/сек^2\).

Ускорение в собственной системе отсчёта - это как? Может ли тело отсчёта ускоряться относительно самого себя? Да или нет?
Да, может, если покой - это равенство нулю только производной первого порядка от его радиус-вектора, а не всех порядков, что было бы логичнее с моей точки зрения, которую я никому не навязываю.
Я лишь ожидаю утверждения от тех, кто со мной не согласен, что тело отсчёта может ускоряться относительно самого себя. Так да или нет?
Если да, то было бы странным, что тело отсчёта не может двигаться относительно самого себя с постоянной скоростью, но может с переменной.
\( v=0 \) и \( dv/dt \neq 0 \) - это покой?

[Гришин Станислав Григорьевич]

В (6) вызывает недоумение результат интегрирования.
Нельзя ли немного поподробнее расписать?

Для более точного расчёта можно использовать асимптотическую функцию
справедливую при больших значениях собственного времени ракеты
\(\displaystyle \frac{c-v}{c} \approx 2~e^{- \frac{2g~t'}{c}}\).

Так при релятивистском сложении скоростей \( \frac{c-v}{c}=1. \)
Точнее не бывает, и не только "при больших значениях собственного времени ракеты".

[Ost]

У меня получилось приблизительно V_max=1 - 2,25*10^-18
Используя формулы Тейлора и пренебрегая порядком малости выше 2.

Для более точного расчёта можно использовать асимптотическую функцию
справедливую при больших значениях собственного времени ракеты
\(\displaystyle \frac{c-v}{c} \approx 2~e^{- \frac{2g~t'}{c}}\).

При \(t' \equiv 20~лет\),  \(\displaystyle \frac{c-v}{c}=2.33466365 \cdot 10^{-18}\).