Кто и зачем придумал комплексные числа ?

[Мастеров АВ]

Кто и зачем придумал комплексные числа ?

Их придумал математик Рафаэль Бомбелли в середине XVI века.

Зачем ?
(ща расскажу ...)

Математики считали, что: не правильно то, что арифметические операции
(извлечение корня из отрицательного числа) дают результат, выходящий
за пределы множества известных чисел и расширили понятие числа
до множества комплексных чисел, где извлечение корня
(из отрицательного числа) давало число, комплексное число.

Но это обоснование математики сочинили много позже.
Сам Бомбелли (видимо) исходил несколько из других соображений.
А именно ...

В ту пору математики ещё не знали производных и интегралов,
а потому все их усилия были сосредоточены
на нахождение корней полиномов.
(это была самая крутая математика тогда)

С квадратными уравнениями разобрались быстро:
\(ax^2+bx+c=0\)

\(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\)

\(x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{(2a)^2}=\frac{b^2}{(2a)^2}-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{(2a)^2}\)

\(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{(2a)^2}\)

\(x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(x_{12}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)


Тут надобности в комплексных числах не требовалась (вроде).
Корни: либо есть, либо нет (если под корнем отрицательное число).
Последнее просто означало, что парабола не пересекает ось икс.

Проблемы возникли с кубическими уравнениями.

[Мастеров АВ]

Решение кубических уравнений
(формула Кардано)

Кардано (графически) исследуя уравнение вида \(x^3=kx+b\)
К такому виду (не сложными преобразованиями)
можно свести любое кубическое уравнение.

получил решение этого уравнения (формулу Кардано)

\(x=\sqrt[3]{\frac{b}{2}+\sqrt\Phi}+\sqrt[3]{\frac{b}{2}-\sqrt\Phi}\)

\(\Phi=\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{k}{3}\right)^3\)

Нуу... Да. Знаем.
Проблема в чём ?

Проблему проиллюстрировал Бомбелли,
и показал: как её решить посредством
комплексных чисел.

Попробуем решить уравнение \(x^3=15x+4\) посредством формулы Кардано
(простая подстановка \(x=4\) убеждает - корень есть !).

Но по формуле Кардано получим:
\(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}\)

Нуу... И чё с этим делать ?

[Мастеров АВ]

Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем:
давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число.
Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим,
что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать,
возводить в степень и т.п.

Не знаю как, но Бомбелли установил, что:
\(\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1}\)

\(\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=2-\sqrt{-1}\)

Это легко проверить, если возвести в куб:
\((2+\sqrt{-1})^3=2+\sqrt{-121}\)

Тогда (по формуле Кардано):
\(x=2+\sqrt{-1}+2-\sqrt{-1}=4\)

А задачка то решается !

[Мастеров АВ]

Так в математике стали появляться комплексные числа.
В то время их называли "мнимые числа".

Эйлер ввёл запись комплексного числа в форме: \(z=x+iy\)
А потом показал, что \(e^{i\phi}=\sin\phi+i\cos\phi\)

Действительно, вспомним разложение в ряд Тейлора
экспоненты, синуса и косинуса:
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)

\(\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+...\)

\(\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+...\)

Простая подстановка \(x=i\phi\) в эти разложения
покажет справедливость равенства экспоненциального представления КЧ
их тригонометрической записи.

Так появилось векторное представление комплексных чисел.

Мы научились их применять сначала в математике,
потом - в радиотехнике (комплексные импедансы
индуктивности и ёмкости припоминаете ?)

Потом комплексные уравнения появились
в квантовой механике (уравнение Шрейденгера).

[Мастеров АВ]

Деление комплексных чисел
(сложение и умножение слишком просто, чтобы на нём останавливаться)

\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+ib}{c+id}=\frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}=\frac{ac+ibc-iad+bd}{c^2-d^2}=\frac{ac+bd}{c^2-d^2}+i\frac{bc-ad}{c^2-d^2}\)

\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1e^{i\phi_1}}{\rho_2e^{i\phi_2}}=\frac{\rho_1}{\rho_2}e^{i(\phi_1-\phi_2)}=\frac{\rho_1}{\rho_2}(\sin(\phi_1-\phi_2)+i\cos(\phi_1-\phi_2))\)
Т.е., при делении комплексных чисел их модули делятся,
а фазы - вычитаются.

Возведение в степень (извлечение корня) комплексных чисел

\(z^\alpha=\left(\rho e^{i\phi}\right)^\alpha=\rho^{\alpha}e^{i\alpha\phi}=\rho^{\alpha}(\sin(\alpha\phi)+i\cos(\alpha\phi))\)

При возведении в степень комплексного числа,
его модуль возводится в степень, а фаза умножается на степень, но ...
Тут есть неоднозначность...

На самом деле комплексное число следует записывать так:
\(z=\rho e^{i(\phi+2\pi n)}=\rho(\sin(\phi+2\pi n)+i\cos(\phi+2\pi n))\)

Тогда:
\(z^\alpha=\left(\rho e^{i(\phi+2\pi n)}\right)^\alpha=\rho^{\alpha}e^{i\alpha(\phi+2\pi n)}=\rho^{\alpha}(\sin(\alpha(\phi+2\pi n))+i\cos(\alpha(\phi+2\pi n)))=\\
=\rho^{\alpha}(\sin(\alpha\phi+2\pi\alpha n)+i\cos(\phi\alpha+2\pi\alpha n))\)

Т.е., если \(\alpha\) иррациональное число (т.е - его нельзя представить
в виде дроби целых чисел) то возведение в такую степень даст
бесконечное число комплексных значений, и все они
будут расположены на окружности, радиуса \(\rho^{\alpha}\).

Т.е., по модулю они все будут одинаковы,
а вот фазы их будут разные.

Скажу больше: на окружности радиуса \(\rho^{\alpha}\),
в любой её точке, вы найдёте значение числа \(z^{\alpha}\).

[Мастеров АВ]

Практическое применение комплексных чисел

Исходный отпечаток (моего) пальца


Очистка от мусора


Направление потока папилярных линий


Плотность потока папилярных линий


Этот алгоритм может стать частью реализации зрения роботов и
элементом искусственного интеллекта.

[sergey_B_K]

Проблемы возникли с кубическими уравнениями.

Так... с Квадратным уравнением расправились бодро. Далеко не каждый знает этот вывод, хотя он простой.
Но мнимая единица как раз возникает в решении квадратного уравнения, а не кубического, хотя там мнимая единица возникает тоже и, как и в квадратном уравнении, по тем же причинам. Итак, Ваши объяснения, плз.

[Георгий Шишков]

Уважаемый Мастеров АВ, если возможно, поясните пож., почему кватернионы не являются числами?

[Мастеров АВ]

Уважаемый Мастеров АВ, если возможно, поясните пож., почему кватернионы не являются числами?

Читай тут: Кватернион

Я понимаю: зачем придумали комплексные числа,
и много ими пользовался, а про "Кватерны"
впервые услышал от тебя.

[Георгий Шишков]

Дв, нашел, спасибо. Умножение кватернионов не коммутативно. Т.е. для перфекционистов, они не годятся.

[Георгий Шишков]

Комплексные числа добавили к обычным числам понятие фазы (кручения) и, т.о. приблизили числовое описание природы к реальности.

[Мастеров АВ]

Комплексные числа добавили к обычным числам понятие фазы (кручения) и, т.о. приблизили числовое описание природы к реальности.

Понятие фазы существует и без комплексных чисел.

Ноо... Комплексные числа позволяют
описывать и оперировать понятиями
"амплитуда" и "фаза" как нечто единое.

при перемножении КЧ фазы складываются,
а амплитуды - перемножаются.

При дклкнии КЧ : фазы вычитаются,
а амплитуды - делятся.

В теории переменных электрических цепей
КЧ оценили в полной мере.

Так индуктивность и ёмкость стали импедансами,
и ими стало возможно пользоваться (на ряду с сопротивлением)
в Законе Ома.
\(j\omega L\) - импеданс индуктивности

\(\frac{1}{j\omega C}\) - импеданс ёмкости

\(R\) - импеданс сопротивления

[ER*]

Понятие фазы существует и без комплексных чисел.

Ноо... Комплексные числа позволяют
описывать и оперировать понятиями
"амплитуда" и "фаза" как нечто единое.

Мастеров, всё просто как угол дома. Комплексные числа или даже кватернионы в математике вообще не требуют хоть малейшего обоснования: математика - очень абстрактная наука, и не обязана хоть чему-то соответствовать в реальном плане.

Но, комплексные числа реально работают в физике, например, в законах Кирхгофа. Да, да, ты прав: комплексные числа позволяют описывать и оперировать понятиями "амплитуда" и "фаза" как нечто единое. И это прекрасно.

Банально, но факт: математика - глаза физики. Как только физика перестала быть натурфилософией, и стала дружить с математикой, так она и стала настоящей фундаментальной точной наукой. А натурфилософия - это типа ботаники.

))

[alexand]

Комлексные.числа.вдруг.неожиданно.хорошо.подошли.для.операций.с.векторами.

Скаляры.отображаются.на.прямой.линии,.а.векторы.и.комплексные.числа---на.плоскости.

[Мастеров АВ]

Мастеров, всё просто как угол дома. Комплексные числа или даже кватернионы в математике вообще не требуют хоть малейшего обоснования: математика - очень абстрактная наука, и не обязана хоть чему-то соответствовать в реальном плане.

Ты не написал ни одной формулы тут,
и мне будешь рассказывать о том,
что есть математика.

Ты на хамство нарываешься ?

Иди учи таблицу умножения.

Ты у меня в ИГНОРе.
Чушь твою читать больше не буду.

[Мастеров АВ]

Комлексные.числа.вдруг.неожиданно.хорошо.подошли.для.операций.с.векторами.

Скаляры.отображаются.на.прямой.линии,.а.векторы.и.комплексные.числа---на.плоскости.

Это комплексные числа удобно отображать в виде вектора,
а тригонометрию комплексные числа
никогда не заменят.