Занимательные задачи

[Antediluvian]

Даны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. К ним проведена общая касательная. Через точку её касания с меньшей окружностью и общую точку двух окружностей проведена секущая. При этом образующиеся хорды (красная и зелёная на рисунке) имеют длины 16 и 9 соответственно. Требуется найти радиусы данных окружностей.

Рисунок:

[Antediluvian]

Даны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. К ним проведена общая касательная. Через точку её касания с меньшей окружностью и общую точку двух окружностей проведена секущая. При этом образующиеся хорды (красная и зелёная на рисунке) имеют длины 16 и 9 соответственно. Требуется найти радиусы данных окружностей.

Решение:



Обращает на себя внимание треугольник АВС, который очень похож на прямоугольный. Но "очень похож" - не доказательство. Придётся доказывать. Проведём ещё одну общую касательную через точку касания окружностей D до её пересечения с первой касательной в некоторой точке Е. AE=DE как отрезки касательных из точки Е к одной окружности. И точно так же СЕ=DЕ. Но тогда треугольник АСD прямоугольный и угол D прямой, т.к. у него медиана DE равна половине основания. Значит, треугольник АВD тоже прямоугольный. Но он вписан в большую окружность, а значит, BD - её диаметр. Диаметр перпендикулярен касательной в точке касания, и теперь мы доказали, что треугольник АВС прямоугольный. О нём мы знаем, что у него высота AD делит гипотенузу на отрезки 9 и 16. Это позволяет нам найти катеты, которые равны среднему геометрическому между гипотенузой и их проекцией на неё. То есть АС²=25*9 и АВ²=25*16. Отсюда АС=15 и АВ=20. Впрочем, по проекциям катетов можно было заметить, что треугольник АВС "египетский. Но АВ - это диаметр большей окружности, значит, её радиус равен 10. Один нашли, теперь надо найти второй.

Соединим центры окружностей О и Р. Линия центров пройдёт через точку D. И ещё проведём линию, параллельную первой касательной, из центра меньшей окружности до диаметра большей окружности, которые пересекутся в некоторой точке Q (см. рисунок). И рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник OPQ. Про его гипотенузу нам известно, что это сумма радиусов двух окружностей, один из которых нам известен и равен 10. Второй пока обозначим r. Итак, OP=10+r. Один из катетов нам уже известен, т.к. равен найденному отрезку АС=QP=15. И второй катет - это разность большего и меньшего радиусов, то есть OQ=10-r. По теореме Пифагора получаем: (10+r)²=15²+(10-r)². Раскрываем скобки: 100+20r+r²=225+100-20r+r² Квадраты и сотни сразу сокращаются и получается 40r=225, откуда r=5,625. Задача решена.

Ответ: 10 и 5,625.

[Antediluvian]

В одном городе ещё до изобретения метода радиоизотопного датирования работала группа экспертов, определяющих подлинность произведений искусства. В группе было 3 эксперта одинаковой квалификации - каждый мог установить подлинность или фальшивость предмета искусства с вероятностью 90% и давал своё заключение по каждому предмету. Окончательное решение принималось большинством голосов. При этом двое экспертов работали на совесть, а один халтурил. Вместо того, чтобы исследовать произведения искусства на подлинность, он просто бросал монетку и давал заключение: орёл - работа подлинная, решка - фальшивая. В конкурирующей организации трудился всего один эксперт, он тоже мог определить подлинность с вероятностью 90% и работал честно - ему прятаться было не за кого. У какой из двух фирм вероятность правильной оценки подлинности больше и на сколько?

[Tea]

В одном городе ещё до изобретения метода радиоизотопного датирования работала группа экспертов, определяющих подлинность произведений искусства. В группе было 3 эксперта одинаковой квалификации - каждый мог установить подлинность или фальшивость предмета искусства с вероятностью 90% и давал своё заключение по каждому предмету. Окончательное решение принималось большинством голосов. При этом двое экспертов работали на совесть, а один халтурил. Вместо того, чтобы исследовать произведения искусства на подлинность, он просто бросал монетку и давал заключение: орёл - работа подлинная, решка - фальшивая. В конкурирующей организации трудился всего один эксперт, он тоже мог определить подлинность с вероятностью 90% и работал честно - ему прятаться было не за кого. У какой из двух фирм вероятность правильной оценки подлинности больше и на сколько?

Там где двое работали честно, там выше оценка  по теории вероятности. 2:1  и 90% правильности из двух берется погрешность оценки., а в группе, где один с 90%  погрешность одного.
Я долго не думала,  могу и ошибаться.Но такова моя версия.Не буду ломать голову. От этого судьба России не решается, так потому и не так уж и важно мое решение))))

[Tea]

Решение:



Обращает на себя внимание треугольник АВС, который очень похож на прямоугольный. Но "очень похож" - не доказательство. Придётся доказывать. Проведём ещё одну общую касательную через точку касания окружностей D до её пересечения с первой касательной в некоторой точке Е. AE=DE как отрезки касательных из точки Е к одной окружности. И точно так же СЕ=DЕ. Но тогда треугольник АСD прямоугольный и угол D прямой, т.к. у него медиана DE равна половине основания. Значит, треугольник АВD тоже прямоугольный. Но он вписан в большую окружность, а значит, BD - её диаметр. Диаметр перпендикулярен касательной в точке касания, и теперь мы доказали, что треугольник АВС прямоугольный. О нём мы знаем, что у него высота AD делит гипотенузу на отрезки 9 и 16. Это позволяет нам найти катеты, которые равны среднему геометрическому между гипотенузой и их проекцией на неё. То есть АС²=25*9 и АВ²=25*16. Отсюда АС=15 и АВ=20. Впрочем, по проекциям катетов можно было заметить, что треугольник АВС "египетский. Но АВ - это диаметр большей окружности, значит, её радиус равен 10. Один нашли, теперь надо найти второй.

Соединим центры окружностей О и Р. Линия центров пройдёт через точку D. И ещё проведём линию, параллельную первой касательной, из центра меньшей окружности до диаметра большей окружности, которые пересекутся в некоторой точке Q (см. рисунок). И рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник OPQ. Про его гипотенузу нам известно, что это сумма радиусов двух окружностей, один из которых нам известен и равен 10. Второй пока обозначим r. Итак, OP=10+r. Один из катетов нам уже известен, т.к. равен найденному отрезку АС=QP=15. И второй катет - это разность большего и меньшего радиусов, то есть OQ=10-r. По теореме Пифагора получаем: (10+r)²=15²+(10-r)². Раскрываем скобки: 100+20r+r²=225+100-20r+r² Квадраты и сотни сразу сокращаются и получается 40r=225, откуда r=5,625. Задача решена.

Ответ: 10 и 5,625.

То, что АВС прямоугольный это и без доказательства. Два шара лежат на поверхности, потому диаметры перпендикулярны поверхности.

[Antediluvian]

То, что АВС прямоугольный это и без доказательства. Два шара лежат на поверхности, потому диаметры перпендикулярны поверхности.

Да два шара-то лежат и диаметры у них перпендикулярны плоской поверхности, но кто сказал, что диаметр большего шара проходит именно через точку В? Это ниоткуда в условии не следует и требует доказательств.

[Antediluvian]

Там где двое работали честно, там выше оценка  по теории вероятности. 2:1  и 90% правильности из двух берется погрешность оценки., а в группе, где один с 90%  погрешность одного.
Я долго не думала,  могу и ошибаться.Но такова моя версия.Не буду ломать голову. От этого судьба России не решается, так потому и не так уж и важно мое решение))))

Неверный ответ. А задача имеет к судьбе России самое непосредственное отношение. Во-первых, решение показывает, справедлива ли поговорка "одна голова хорошо, а две лучше", т.е. что предпочтительнее: коллегиальность или единоличное руководство. Во-вторых, отсюда можно узнать, много ли вредя от одного халявщика в коллективе. Ну и много чего ещё можно выяснить, размышляя над вероятностями. 

[Antediluvian]

В одном городе ещё до изобретения метода радиоизотопного датирования работала группа экспертов, определяющих подлинность произведений искусства. В группе было 3 эксперта одинаковой квалификации - каждый мог установить подлинность или фальшивость предмета искусства с вероятностью 90% и давал своё заключение по каждому предмету. Окончательное решение принималось большинством голосов. При этом двое экспертов работали на совесть, а один халтурил. Вместо того, чтобы исследовать произведения искусства на подлинность, он просто бросал монетку и давал заключение: орёл - работа подлинная, решка - фальшивая. В конкурирующей организации трудился всего один эксперт, он тоже мог определить подлинность с вероятностью 90% и работал честно - ему прятаться было не за кого. У какой из двух фирм вероятность правильной оценки подлинности больше и на сколько?

Итак, решение. Как уже стало доброй традицией, я немного схитрил. Вероятность 0,9 для каждого эксперта при решении не нужна вообще, т.к. задача прекрасно решается в общем виде. Поэтому примем вероятность правильного определения подлинности за х и будем иметь в виду, что в данном случае  х=0,9 (что, повторю, совершенно неважно). Ну а вероятность, с которой халявщик "определяет" подлинность, нам известна - она равна 0,5. Теперь надо определить, в какой фирме вероятность правильно определить подлинность выше: в первой или во второй. Со второй фирмой всё понятно: там один эксперт и вероятность правильной экспертизы составляет х=0,9. С первой немного сложнее, потому что экспертов трое и есть несколько вариантов. Рассмотрим варианты, приводящие к правильному решению, и их вероятности.

1. Оба честных эксперта дали правильное заключение (вероятность х*х). В этом случае мнение халявщика значения не имеет, т.к. большинство голосов за правильное решение уже обеспечено. Итого Р₁=х².

2. Один из честных экспертов дал правильное заключение, второй ошибся. В этом случае халтурщик уже играет роль, т.к. правильное окончательное решение будет принято только в том случае, если его орёл или решка совпадёт с правильным решением одного из честных экспертов. Вероятность того, что один честный эксперт оказался прав, а второй ошибся, равна х(1-х). При этом подобных случаев возможны два - первый ответил правильно, второй ошибся или первый ошибся, второй ответил правильно, т.е. х(1-х)+(1-х)х или 2х(1-х). И не забываем халявщика с его половинной вероятностью - теперь он важен. Итого P₂=2x(1-x)*0,5. Сократим 2 и 0,5 и раскроем скобки, получим Р₂=х-х².

Поскольку случай 1 и 2 несовместные (они не могут произойти вместе), то для определения общей вероятности их надо сложить, или Р=Р₁+Р₂=х²+х-х². Квадраты взаимно уничтожаются и остаётся P=х=0,9 - то же, что и во второй фирме.

Задача решена, пара замечаний вслед. Интуитивно понятно, что если бы в первой фирме один эксперт не халтурил, то у них вероятность принятия правильного решения была бы выше, чем у эксперта-одиночки. Вопрос - на сколько выше? И ещё один вопрос: всегда ли принятие решения большинством голосов нескольких экспертов эффективнее (т.е. даёт большую вероятность правильного ответа), чем решение, принимаемое экспертом-одиночкой? Разумеется, при условии, что уровень экспертов одинаковый. 

[Antediluvian]

Даны квадрат и круг. Окружность проходит через одну из вершин квадрата, пересекает две его стороны и касается двух других сторон, как на рисунке. Какая площадь больше, красная или зелёная?

[dhs]

сторона квадрата через радиус посредством треугольников AON и OMC = R(3/2)
зелёное = квадрат - пол круга - треугольник DBC
красное = круг - пол круга - треугольник DBC
отношение зелёного и красного сравниваем с единицей...
лень считать, но по прикидке "на глаз" зелёная часть больше

[Antediluvian]

сторона квадрата через радиус посредством треугольников AON и OMC = R(3/2)
зелёное = квадрат - пол круга - треугольник DBC
красное = круг - пол круга - треугольник DBC
отношение зелёного и красного сравниваем с единицей...
лень считать, но по прикидке "на глаз" зелёная часть больше

Неправильно, причём с самого начала (вычисление стороны квадрата).

[dhs]

Неправильно, причём с самого начала (вычисление стороны квадрата).

так я в уме подсчитал мог и ошибиться...надо AM+MC=R+R/2^1/2
 для меня важен алгоритм решения
 a что ещё не так???
кстати, можно находить<> отношением круга как красного к квадрату как зелёного

[Antediluvian]

так я в уме подсчитал мог и ошибиться...надо AM+MC=R+R/2^1/2
 для меня важен алгоритм решения
 a что ещё не так???
кстати, можно находить<> отношением круга как красного к квадрату как зелёного

Даже рисовать не буду, вон там у тебя треугольник ОМС прямоугольный и равнобедренный. Значит, можно выразить катет (обзовём его х) через гипотенузу, которая равна r. Получаем x=r/√2. Тогда вся сторона квадрата a=r+r/√2. А площадь квадрата, соответственно, S_кв=(r+r/√2)². Квадрат суммы, раскрываем скобки, S_кв=r²+r²√2+r²/2=1,5r²+r²√2=r²(1,5+√2). Ну, тут видно, что √2<1,5, если точнее S_кв~2,91 r². А площадь круга S_кр=пr²~3,14r². Площадь круга больше площади квадрата, а значит, площадь красного больше площади зелёного (красное - это площадь круга минус белое, а зелёное - площадь квадрата минус то же самое белое).

[dhs]

Даже рисовать не буду, вон там у тебя треугольник ОМС прямоугольный и равнобедренный. Значит, можно выразить катет (обзовём его х) через гипотенузу, которая равна r. Получаем x=r/√2. Тогда вся сторона квадрата a=r+r/√2. А площадь квадрата, соответственно, S_кв=(r+r/√2)². Квадрат суммы, раскрываем скобки, S_кв=r²+r²√2+r²/2=1,5r²+r²√2=r²(1,5+√2). Ну, тут видно, что √2<1,5, если точнее S_кв~2,91 r². А площадь круга S_кр=пr²~3,14r². Площадь круга больше площади квадрата, а значит, площадь красного больше площади зелёного (красное - это площадь круга минус белое, а зелёное - площадь квадрата минус то же самое белое).

справился на отлично

[Antediluvian]

В квадрат вписана окружность. Из угла квадрата к середине стороны (т.е. в точку касания с окружностью) проведён отрезок, образующий хорду (на рисунке отмечена красным). Длина этой хорды равна 4. Найти площадь квадрата.

[dhs]

В квадрат вписана окружность. Из угла квадрата к середине стороны (т.е. в точку касания с окружностью) проведён отрезок, образующий хорду (на рисунке отмечена красным). Длина этой хорды равна 4. Найти площадь квадрата.

радиус определиться по Пифагора
r²+(2r)²=4²
И соответственно площадь  квадрата
S=4r²

[Antediluvian]

радиус определиться по Пифагора
r²+(2r)²=4²
И соответственно площадь  квадрата
S=4r²

То есть у тебя 5r²=16, откуда 4r²=4*16/5=12,8? Неправильно, конечно. И вообще непонятно, где ты обнаружил там прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 и радиусами r и 2r. 

[dhs]

То есть у тебя 5r²=16, откуда 4r²=4*16/5=12,8? Неправильно, конечно. И вообще непонятно, где ты обнаружил там прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 и радиусами r и 2r.

т.е, 4 не доходит до угла, останавливаеся на круге... ну тогда естественно неправильно...

[Antediluvian]

т.е, 4 не доходит до угла, останавливаеся на круге... ну тогда естественно неправильно...

4 - это длина хорды, она красным отмечена. Конечно не доходит до угла. Если бы доходила, то нафиг там вообще окружность.

[dhs]

CD=OB=R
AD=2R
BD=DC=2

из треуг BOD находим OD по пифагору по R
из подобия треуг BOD и ACD находим R и соответственно площадь квадрата