Движение тел в плотных средах

[Иван Горин]

Для начала надо познакомиться с теорией.
https://online.mephi.ru/courses/physics/osnovi_mehaniki/data/lecture/9/p4.html

[Иван Горин]

Теперь ставим задачу.
Подбрасываем или выстреливаем тело в форме шара вверх.
Для того чтобы выбрать теорию движения шара необходимо оценить безразмерное число Рейнольдса.

\(Re=\frac{D\rho v}{\eta }\) (1)

где D диаметр шара (шарика)
v скорость в м/сек
\(\rho \)=1,29 кг/м^3 плотность воздуха
\(\eta \)=1,8 10^-5 кг/(м сек) динамический коэффициент вязкости воздуха

Подставим в (1) коэффициенты
Re=7,2 10⁴ Dv (2)

Стреляем вериткально вверх пулей диаметром в 1 см с начальной скоростью 100 м/сек

Re=7,2 10⁴ *10^-2*100=7,2 10⁴
Преобладает турбулентный поток, то есть сопротивление зависит от квадрата скорости.
И средний безразмерный коэффициент сопротивления можно выбрать равным С=0,5
При подъёме тала скорость уменьшается.
Оценим, при какой скорости появиться ламинарный поток с линейной зависимостью от скорости.

Из ссылки на график в первом посте видно, что для ламинарного потока  Re max=200

Для нашего примера из (2)

Re=7,2 10⁴ Dv (2)

200=7,2 10⁴ 10^-2v
найдем скорость перехода в ламинарный режим.

v=2 см/сек
Такую скорость можно и не учитывать и сразу переходить к дифференцаильным уравнения движения тела с квадратичной зависимостью от скорости.

\(ma=-mg-\frac{CS\rho }{2}v^2\)   (3)


где C=0,5
\(S=\pi D^2/4\)  площадь поперечного сечения шара (шарика)
m масса шарика

Разделим обе части (3) на массу тела

\(a=-g-\frac{CS\rho }{2m}v^2\)  (4)

\(k=\frac{CS\rho }{2m}\)

Тело движется вверх по координате y с ускорением а

Ускорение а есть вторая производная от координаты

\(\ddot{y}=a\)

Скорость v есть первая производная от координаты

\(\dot{y}=v\)

Подставляем все в (4) и получаем дифур. движения

\(\ddot{y}=-g-k\dot{y}^2\)

[Иван Горин]

Решаем наше диф. уравнение
\(\ddot{y}=-g-k\dot{y}^2\)

Это уравнение второго порядка.
Понизим порядок и получим два уравнения первого порядка

\(\displaystyle v=\frac{dy}{dt}\)
\(\displaystyle \frac{dv}{dt}=-g-kv^2\)

Разделим переменные
\(\displaystyle \frac{dv}{g+kv^2}=-dt\)

\(\displaystyle \int \frac{dv}{g+kv^2}=-t+C_1\)

\(\displaystyle \int \frac{dv}{g(1+\frac{k}{g}v^2)}=-t+C_1\)

\(\displaystyle \frac{1}{g}\int \frac{dv}{1+\left ( \sqrt{\frac{k}{g}}\right )^2v^2}=-t+C_1\)

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{kg}}arctg\left (v \sqrt{\frac{k}{g}} \right )=-t+C_1\)

Постоянную интегрирования найдём их начальных условий. При t=0, v=v₀

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{kg}}arctg\left (v_0 \sqrt{\frac{k}{g}} \right )=C_1\)

\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{g}{k}}~ tg\left [ arctg\left ( v_0\sqrt{\frac{k}{g}} \right ) -t\sqrt{kg}\right ]\)

[Иван Горин]

\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{g}{k}}~ tg\left [ arctg\left ( v_0\sqrt{\frac{k}{g}} \right ) -t\sqrt{kg}\right ]\)

Время подъёма

\(\displaystyle t=\frac{arctg\left ( v_0~\sqrt{\frac{k}{g}} \right )}{\sqrt{kg}}\)


зависимость высоты подъёма от времени

\(\displaystyle h(t)=\sqrt{\frac{g}{k}}\int tgz~dt\)

\(\displaystyle z=arctg\left ( v_0~\sqrt{\frac{k}{g}} \right )-t\sqrt{kg}\)

\(\displaystyle dt=-\frac{dz}{\sqrt{kg}}\)

\(\displaystyle h(t)=-\frac{1}{k}\int tgz~dz=\frac{1}{k}\int\frac{d(cosz)}{cosz}\)

\(\displaystyle h(t)=\frac{ln(cosz)}{k}+C_2\)

Постоянную интегрирования найдём из начальных условий
при t=0, h=h₀

\(\displaystyle C_2=h_0-\frac{ln(cosz)}{k}=h_0-\frac{1}{k}ln\left \{ cos\left [ arcth\left ( v_0\frac{k}{g} \right ) \right ] \right \}\)

\(\displaystyle cos\left [ arcth\left ( v_0\frac{k}{g} \right ) \right ]=\frac{1}{\sqrt{1+v_0^2\frac{k}{g}}}\)

\(\displaystyle h(t)=h_0+Ln\left |cos \left [ arctg\left ( v_0\sqrt{\frac{k}{g}} \right )-t\sqrt{kg} \right ] \right |+\frac{1}{2k}Ln\left ( 1+\frac{k}{g}v_0^2 \right )\)

\(\displaystyle cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB\)

После преобразований получим

\(\displaystyle h(t)=h_0+\frac{1}{k}Ln\left | cos(t\sqrt{kg})+v_0\sqrt{\frac{k}{g}}sin(t\sqrt{kg}) \right |\)

[Иван Горин]

Падение тела по закону квадрата скорости.

\(\displaystyle \ddot{y}=g-k\dot{y}^2\)

\(\displaystyle \dot{v}=g-kv^2\)

\(\displaystyle \frac{dv}{g-kv^2}=dt\)

\(\displaystyle \frac{1}{g}\int \frac{dv}{1-\frac{k}{g}v^2}=\int dt\)

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{kg}}arcth\left (v~ \sqrt{\frac{k}{g}} \right )=t+C_1\)

\(\displaystyle arcth\left (v~ \sqrt{\frac{k}{g}} \right )=(t+C_1)\sqrt{kg}\)

Постоянную интегривования найдём из начальных условий
При t=t₁, v=v₁

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{kg}}arcth\left (v_1~ \sqrt{\frac{k}{g}} \right )=t_1+C_1\)

\(\displaystyle C_1 =\frac{1}{\sqrt{kg}}arcth\left (v_1~ \sqrt{\frac{k}{g}} \right )-t_1\)

\(\displaystyle v~ \sqrt{\frac{k}{g}} =th[(t+C_1)\sqrt{kg}]\)

\(\displaystyle v~ =\sqrt{\frac{g}{k}}~th\left [(t-t_1)\sqrt{kg}+arcth\left ( v_1\sqrt{\frac{k}{g}} \right )\right ]\)

[Иван Горин]

\(\displaystyle v~ =\sqrt{\frac{g}{k}}~th\left [(t-t_1)\sqrt{kg}+arcth\left ( v_1\sqrt{\frac{k}{g}} \right )\right ]\)

Пусть тело падает с начальной скорость v₁=0, t₁=0

\(\displaystyle v~ =\sqrt{\frac{g}{k}}~th\left [(t~\sqrt{kg} \right ]\)  (1)

\(\displaystyle h=-\sqrt{\frac{g}{k}}\int \tanh (\sqrt{kg}t)dt=-\sqrt{\frac{g}{k}}\int \frac{sh(\sqrt{kg}t)dt}{ch(\sqrt{kg}t)}\)

\(\displaystyle h=-\sqrt{\frac{g}{k}}\int \tanh (\sqrt{kg}t)dt=-\sqrt{\frac{g}{kkg}}\int \frac{d[ch(\sqrt{kg}t)]}{ch(\sqrt{kg}t)}\)

\(\displaystyle h=-\frac{1}{k}\ln [ch(\sqrt{kg}t)]+C_2\)

h(0)=h₀
\(\displaystyle C_2= h_{Pod}\)

\(\displaystyle h=h_{Pod}-\frac{1}{k}\ln [ch(\sqrt{kg}t)]\)

Время падения находится из условия приземления h=0

\(\displaystyle 0=h_{Pod}-\frac{1}{k}\ln [ch(\sqrt{kg}t)]\)

\(\displaystyle kh_{Pod}=\ln [ch(\sqrt{kg}t)]\)

\(\displaystyle e^{kh_{Pod}}=ch(\sqrt{kg}t)\)

\(\displaystyle arch\left ( e ^{kh_{Pod}}\right )=\sqrt{kg}t\)

Откуда находим время падения с верхней точки, то есть с высоты \(h_{Pod}\)

\(\displaystyle t_{Pad}=\frac{arch\left ( e ^{kh_{Pod}}\right )}{\sqrt{kg}}\)


Подставим в (1) и получим скорость приземления в зависимости от высоты падения.

\(\displaystyle v_{Pad}=\sqrt{\frac{g}{k}}\frac{\sqrt{e^{2kh_{max}}-1}}{e^{kh_{max}}}\)

[Иван Горин]

Сила сопротивления среды

https://drive.google.com/file/d/125TkiWhFehRRI4M2-Pmeo7bu-Cvt9_xD/view

стр.182

Ссылку на эту фундаментальную работу предоставил OST- модератор основного раздела БФ.


На этой стр. приведены формулы и зависимости коэффициента сопротивления от скорости для тел в форме шара.
Имеется 5 зон.
Рассмотрим все эти зоны.

В общем виде для всех зон сила сопротивления среды

\(\displaystyle R=CS\rho _a\frac{v^2}{2}\)

С -  безразмерный коэффициент сопротивления

\(\displaystyle S\) - площадь поперечного сечения шара

\(\displaystyle \rho _a\) -  плотность среды кг/м³

v скорость тела в м/сек

Число Рейнольдса

\(\displaystyle Re=\frac{\rho _aDv}{\eta }\)

D диаметр шара в м
\(\displaystyle \eta \)  коэффициент динамической  вязкости среды в кг/(мс)

\(\displaystyle C=\frac{\alpha }{Re^m}\)

\(\displaystyle \alpha \) и m зависят от Re

См. таблицу на стр. 182

[Иван Горин]

Первая зона

\(\large \displaystyle 0< Re\leq 1\)

\(\large \displaystyle C=\frac{24}{Re}\) (1)

Из общей формулы

\(\large \displaystyle Re=\frac{vD}{\nu }\) (2)

найдём скорость

\(\large \displaystyle v=\frac{\nu Re}{D}\) (3)

Поставим (2) в (1)

\(\large \displaystyle C=\frac{24\eta }{\rho _avD}=\frac{24\nu }{vD}\)


Сила сопротивления движению

\(\large \displaystyle R=CS\rho _a\frac{v^2}{2}=\frac{24\eta }{\rho _avD}\frac{\pi D^2}{4}\frac{\rho _av^2}{4}=3\pi \eta Dv\) (4)

Дифференциальное уравнение движения тела в зоне 1.

\(\large \displaystyle \ddot{y}=-g-k_1\dot{y}\)


\(\large \displaystyle k_1=\frac{3\pi \eta D}{m}\)

m масса тела

Максимальная скорость тела в этой зоне из (3)

\(\large \displaystyle v_{1~max}=\frac{\nu}{D}\)

Максимальная сила сопротивления в этой зоне из (4)

\(\large \displaystyle R_{1~max}=3\pi \eta \nu=3\pi \rho _a\nu ^2\)

Максимальнаое ускорение торможения

\(\large \displaystyle a_{1~max}=3\pi \rho _a\nu ^2/m\)

При движении тел в жидкостях необходимо учитывать выталкивающую силу Архимеда.

В диф. ур. вместо g надо использовать G

\(\large \displaystyle G=g\left ( 1-\frac{\rho _a}{\rho } \right )\)

где \(\large \displaystyle \rho \) средняя плотность тела

[Иван Горин]

Вторая зона
\(\large \displaystyle 1< Re\leq 50\)

\(\large \displaystyle C=\frac{25}{Re^{3/4}}\)

\(\large \displaystyle C=\frac{25}{Re^{3/4}}=\frac{25}{\left ( \frac{vD}{\nu } \right )^{^3/4}}\)


\(\large \displaystyle v=\frac{\nu Re}{D}\)

\(\large \displaystyle v_{2~max}=\frac{50\nu }{D}\)

Сила сопротивления давления среды

\(\large \displaystyle R=CS\rho _a\frac{v^2}{2}=\frac{25\nu ^{3/4}}{(Dv)^{3/4}}\frac{\pi D^2}{4}\rho _a\frac{v^2}{2}\)

\(\large \displaystyle R=\frac{25\pi }{8}\rho _a\nu ^{0,75}(Dv)^{1,25}\)

\(\large \displaystyle \ddot{y}=\mp g-k_2\dot{y}^{1,25}\)

\(\large \displaystyle k_2=\frac{25\pi }{8}\rho _a\nu ^{0,75}D^{1,25}/m\)

Максимальное ускорение торможения

\(\large \displaystyle a_{2~max}=\frac{25\pi }{8}\rho _a\nu ^2~50^{1,25}/m\)

[Иван Горин]

Зона 3

\(\displaystyle 50< Re\leq 1000\)

\(\displaystyle C=\frac{4}{Re^{0,3}}\)

Сила сопротивления

\(\displaystyle R=\frac{CS\rho _av^2}{2}=\frac{\pi \rho _a\nu ^{0,3}v^2D^2}{2v^{0,3}D^{0,3}}\)

\(\displaystyle R=\frac{\pi \rho _a\nu ^{0,3}}{2}D^{1,7}v^{1,7}\)

\(\displaystyle v_{3 max}=\frac{1000\nu }{D}\)

\(\displaystyle k_3=\frac{\pi \rho _a\nu ^{0,3}D^{1,7}}{2m}\)

\(\displaystyle \ddot{y}=-g-k_3\dot{y}^{1,7}\)


Максимальное ускорение торможения

\(\displaystyle a_{3 max}=\frac{\pi \rho _a\nu ^{0,3}(Dv_{3 max})^{1,7}}{2m}\)

\(\displaystyle a_{3 max}=\frac{\pi \rho _a\nu ^{0,3}(1000\nu )^{1,7}}{2m}\)

\(\displaystyle a_{3 max}=\frac{1000^{1,7}\pi \rho _a\nu ^2 }{2m}\)

[Иван Горин]

Зона 4

\(\displaystyle 1000< Re\leq 200000\)

\(\displaystyle C=0,45\)


\(\displaystyle v_{4 max}=\frac{2*10^5\nu }{D}\)

Сила сопротивления давления  среды на тело

\(\displaystyle R=CS\rho _a\frac{v^2}{2}=0,45\frac{\pi D^2}{4}\rho _a\frac{v^2}{2}\)

\(\displaystyle R=\frac{0,45\pi}{8} \rho _aD^2v^2\)   сила сопротивления давления

\(\displaystyle R_{max}=\frac{0,45\pi}{8} \rho _aD^2v_{max}^2\)

\(\displaystyle a_{4 max}=\frac{R_{max}}{m}=\frac{0,45\pi }{8m}\rho _a(2*10^5\nu )^2\)

\(\displaystyle k_4=\frac{R}{mv^2}=\frac{0,45\pi}{8m} \rho _aD^2\)

[Иван Горин]

Есть дальнейшие зоны. Они сложные.
Разберёмся с ними позже.

[Иван Горин]

Зона 6
Re>10⁶

\(\displaystyle v_{6 min}=\frac{10^6\nu }{D}\)

\(\displaystyle k_6=\frac{R}{mv^2}=\frac{0,15\pi}{8m} \rho _aD^2\)

[Иван Горин]

Анализ зон, которые пролетает пуля весом 6 грамм и диаметром 1 см

[Zhelj]

Есть дальнейшие зоны. Он сложные.
Разберём их позже.

А что ты собрался разбирать? Зоны, которые пролетает пуля весом 6 грамм и диаметром 1 см?
А мяч весом 250 грамм и диаметром 25 см, где?
А физика у тебя в каком загоне или вольере? Может с физики начнёшь, а не с цифири?
Для начала движущей силе (Fдв) -физический смысл её вами упорно не называется, противодействуют силы тяжести (Fт) и сопротивления воздуха (Fсв).
Fдв - Fт - Fсв = 0.
Fдв = - m*a,  Fт = m*g,  Fсв = C S p v²/2

[Иван Горин]

А мяч весом 250 грамм и диаметром 25 см, где?

Такая же таблица для мячика в основном разделе в моей теме.

[Иван Горин]

А физика у тебя в каком загоне или вольере? Может с физики начнёшь, а не с цифири?

ФИЗИКА И ДАЖЕ МАТЕМАТИКА В ПОСТАХ ВЫШЕ. Зона 1 до зоны 6, за исключением зоны 5.
Для пятой зоны - зоны кризиса у меня нет формул.
Ост в своей теме привел много работ в последнем посте. Есть в них анализ пятой зоны, но только рассуждения. Формул нет.
Может ты, Желя, что-нибудь найдешь про пятую зону.

[Zhelj]

ФИЗИКА И ДАЖЕ МАТЕМАТИКА В ПОСТАХ ВЫШЕ. Зона 1 до зоны 6, за исключением зоны 5.
Для пятой зоны - зоны кризиса у меня нет формул.
Ост в своей теме привел много работ в последнем посте. Есть в них анализ пятой зоны, но только рассуждения. Формул нет.
Может ты, Желя, что-нибудь найдешь про пятую зону.

К сожалению не могу помочь. Эта методика расчёта уже четвёртая для мяча, движущегося по вертикали. Эти методики разные и я, не имея опыта работ с ними, путаюсь и не могу найти некоторые решения. Для себя я нашёл метод таблиц, но он далёк от совершенства.
Однако видно, что в момент броска зависимость сопротивления квадратична от скорости, а замедление мяча больше ускорения свободного падения. При подъёме мяча ускорение уменьшается и в максимальной точке подъёма, когда скорость мяча становится = 0,  замедление становится = g. Скорость меняет знак и ускорение становится положительным. Уравнение сил меняется и ускорение продолжает уменьшаться по амплитуде. В определённый момент ускорение становится = 0, а скорость постоянной. Даже при броске ребёнка лёгкий мяч успевает достигнуть предельной скорости.
Ничего описанного в диф. уравнениях не видно. Разбиение движения на зоны должно вроде позволить это увидеть,  но пока тоже то ли не догоняю, то ли физика прёт туфту. Налицо гольная математика, физики не видно. Даже 2зН и тот умудрились перекосячить.

[Иван Горин]

Выстрел из пермской царь пушки 1869 года



Зона 6 учитывает зоны от 1 до 5

[Иван Горин]

Падение железного шарика диаметром 4 см. в глицерине.

Находим предельную (установившиюся) скорость движения. При a=0.

Школьная задача. Не нужны никакие диф. ур.
Только второй закон Ньютона a =G-k₁v с учётом выталкивающей силы Архимеда.



Эта  задача, которая подтверждает правильность выводов моих уравнений, приведена в учебнике физики Яворского для школьников 9 и 10 классов средней школы.