Задача по математике для средней школы

[Иван Горин]

Что больше sin59° или 0,85?
Решить алгебраическим или графическим способом.
Вычислительную технику не применять!

[Иван Горин]

Эту задачу как раз легче решить, представив 59=60-1 и произведя разложение.

РЕШИ. ждём.

[Иван Горин]

Но, опять-таки, графическим способом - это всё равно с помощью калькулятора. 

Нет, калькулятор не нужен.
Для углов 0, 30, 45, 60, 90 градусов даже школьники восьмого класса знают точные значения для всех тригонометрических функций.
sin0°=0
sin30°=1/2
sin45°=√2/2
sin60°=√3/2
sin90°=1
Эти точные значения и надо использовать в графическом способе.
 

[Andrey_R]

В принципе задача простая. Используем, что при малых x sin(x)<x, cos(x)>1-x^2/2
Тогда sin(59^o)=sin(pi/3)cos(pi/180)-cos(pi/3)*sin(pi/180)>sqrt(3)/2*(1-1/2*(pi/180)^2)-1/2*(pi/180)>sqrt(3)/2-1/2*(pi/180)^2-1/2*(pi/180)>sqrt(3)/2-(1/2/50/50)-(1/2/55)>
>sqrt(3)/2-(1/2/50)=1/2*(sqrt(3)-1/50)

Остаётся понять, что больше, 1/2(sqrt(3)-1/50) или 85/100=1/2*(85/50),   т.е. sqrt(3) <> 86/50=43/25
или 3<>(43/25)^2=1849/625
т.к. 1849<3*625=1875, то sqrt(3) > 43/25, и, значит, sin(59^o)>0,85

[Иван Горин]

В принципе задача простая. Используем, что при малых x sin(x)<x, cos(x)>1-x^2/2
Тогда sin(59^o)=sin(pi/3)cos(pi/180)-cos(pi/3)*sin(pi/180)>sqrt(3)/2*(1-1/2*(pi/180)^2)-1/2*(pi/180)>sqrt(3)/2-1/2*(pi/180)^2-1/2*(pi/180)>sqrt(3)/2-(1/2/50/50)-(1/2/55)>
>sqrt(3)/2-(1/2/50)=1/2*(sqrt(3)-1/50)

Остаётся понять, что больше, 1/2(sqrt(3)-1/50) или 85/100=1/2*(85/50),   т.е. sqrt(3) <> 86/50=43/25
или 3<>(43/25)^2=1849/625
т.к. 1849<3*625=1875, то sqrt(3) > 43/25, и, значит, sin(59^o)>0,85

Имеется боле точный способ.
Маленькая подсказка.
Нарисовать на листочке от руки дугу синусоиды приблизительно от 45° до 60.
НАРИСОВАТЬ ОРДИНАТЫ ПО ГОРИЗОНТАЛИ И АБСЦЫССЫ ПО ВЕРТИКАЛИ.
соединить точки синусоиды хордой.
По горизонтали отложить 59°, не в масштабе для наглядности. Можно и по середине между 45 и 60.
Получим два подобных треугольника. Найдем ординату хорды в точке 59° и сравним её с 0,85.
Извлекать корни не надо. Решение сравнения.
Посмотри, что получится.

[Andrey_R]

Имеется боле точный способ.
Маленькая подсказка.
Нарисовать на листочке от руки дугу синусоиды приблизительно от 45° до 60.
НАРИСОВАТЬ ОРДИНАТЫ ПО ГОРИЗОНТАЛИ И АБСЦЫССЫ ПО ВЕРТИКАЛИ.
соединить точки синусоиды хордой.
По горизонтали отложить 59°, не в масштабе для наглядности. Можно и по середине между 45 и 60.
Получим два подобных треугольника. Найдем ординату хорды в точке 59° и сравним её с 0,85.
Извлекать корни не надо. Решение сравнения.
Посмотри, что получится.

Да, в самом деле так намного проще, хотя не очевидно, что точнее.
Т.к. здесь надо сравнивать (\(\sqrt{3}/2\)-0,85)>0,865-0,85=0,015 и  \((\sqrt{3}/2-\sqrt{2}/2)/15\)<(1,8-1,4)/2/15<0,0134,
то нужно с приличной точностью помнить или вычислять значение \(\sqrt{3}\)

[Иван Горин]

Да, в самом деле так намного проще, хотя не очевидно, что точнее.
Т.к. здесь надо сравнивать (\(\sqrt{3}/2\)-0,85)>0,865-0,85=0,015 и  \((\sqrt{3}/2-\sqrt{2}/2)/15\)<(1,8-1,4)/2/15<0,0134,
то нужно с приличной точностью помнить или вычислять значение \(\sqrt{3}\)

ЗНАЧЕНИЕ КОРНЕЙ НЕ НАДО ВЫЧИСЛЯТЬ.
переносить правые или левые части, возводить в квадраты, избавляясь от радикалов и т.д.
Знак неравенства от таких операций не меняется.