Если вдруг нет под рукой справочника (или гаджета) с формулой Кардано...
Смотрим коэффициент при \(x\) - он равен \(p=-54\) и используем замену \(x=y-p/(3y)=y+18/y\) (метод Виета):
\((y+18/y)^3 -54(y+18/y) +108=0, \qquad y^3+3\cdot 18y+3\cdot 18^2/y +18^3/y^3 -54y -54\cdot 18/y +108=0,\)
\(y^3+18^3/y^3 +108=0, \qquad y^6 +108 y^3 +18^3 =0, \qquad D=54^2-18^3=18^2(9-18)=-54^2, \qquad y^3=-54\pm 54i.\)
Неважно, какой знак брать - берем плюс: \( y^3=-54+54i =54\sqrt{2} e^{i 3\pi/4}= 54\sqrt{2} e^{i 3\pi/4 +2\pi i}
=54\sqrt{2} e^{i 3\pi/4 +4\pi i}.\) Тогда
\(y_1 =3\sqrt{2} e^{i \pi/4}, \qquad y_2=3\sqrt{2} e^{i \pi/4 + i 2\pi/3}, \qquad y_3=3\sqrt{2} e^{i \pi/4 + i 4\pi/3}, \qquad 18/(3\sqrt{2}) =3\sqrt{2},\)
\(x_1=y_1+18/y_1 =3\sqrt{2}( e^{i \pi/4}+ e^{-i \pi/4}) =6\sqrt{2}\cos(\pi/4)=6, \)
\(x_2=y_2+18/y_2 =3\sqrt{2}( e^{i \pi/4 + i 2\pi/3}+ e^{-i \pi/4 - i 2\pi/3}) =6\sqrt{2}\cos(\pi/4 + 2\pi/3)= 6\sqrt{2} (\cos(\pi/4)\cos(2\pi/3) - \sin(\pi/4)\sin(2\pi/3))=\)
\( \qquad \qquad = 6 (\cos(2\pi/3) - \sin(2\pi/3)) = -3(\sqrt{3}+1), \)
\(x_3=y_3+18/y_3 =3\sqrt{2}( e^{i \pi/4 + i 4\pi/3}+ e^{-i \pi/4 - i 4\pi/3}) =6\sqrt{2}\cos(\pi/4 + 4\pi/3)= 6\sqrt{2} (\cos(\pi/4)\cos(4\pi/3) - \sin(\pi/4)\sin(4\pi/3)) =\)
\( \qquad \qquad = 6 (\cos(4\pi/3) - \sin(4\pi/3)) = 3(\sqrt{3}-1). \)
Итак \(x_1=6,\) \(x_2= -3(\sqrt{3}+1),\) \(x_3=3(\sqrt{3}-1).\) Вот и всё.
