Простейшее уравнение четвёртой степени

[Иван Горин]

Найти корни простейшего уравнения четвёртой степени любым подходящим способом
\(x^4-4x^3-36x^2+179x+210=0\)

Участие может принимать и Каравашкин. Он не забанен.

[Е.А.Меркулов]

А чё мелочиться-то?
Давайте задачку на корни в уравнении седьмой степени.
И не простейшего, а всамделишнего!

[Ost]

А чё мелочиться-то?
Давайте задачку на корни в уравнении седьмой степени.
И не простейшего, а всамделишнего!

\(x^7-42x^6+693x^5-5754x^4+25683x^3-60942x^2+70391x-30030=0\).
Ждём вашего решения.

[Andrey_R]

Найти корни простейшего уравнения четвёртой степени любым подходящим способом
\(x^4-4x^3-36x^2+179x+210=0\)

Участие может принимать и Каравашкин. Он не забанен.

Т.к. 210=7#=2*3*5*7 , имеет смысл проверить на корни целые числа от -7 до 7, а если не получится, то и все делители 210. Тут же видим, что корнями являются -1 и -6.
Уравнение можно поделить (в столбик) на x+1 и x+6.
После деления на x+1 остаётся
\(x^3 - 5x^2 - 31x + 210\)
, а после деления на x+6 -
\(x^2 - 11x + 35\)
У этого квадратного уравнения корни
\(11/2 - i\sqrt{19}/2, 11/2 + i\sqrt{19}/2\)
Итого:
{\(-1,  -6,  11/2 - i\sqrt{19}/2,  11/2 + i\sqrt{19}/2\)}

[Andrey_R]

\(x^7-42x^6+693x^5-5754x^4+25683x^3-60942x^2+70391x-30030=0\).
Ждём вашего решения.

Это в принципе решается аналогично.
Т.к. 210=13#=2*3*5*7*11*13 , имеет смысл проверить на корни небольшие делители 30030. Видим, что корнями являются 1 и все простые числа -
2, 3, 5, 7, 11, 13
Всего получилось уже 7 корней, значит, больше не будет, и даже ничего ни на что не надо делить.
Итого:
{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13}

[Ost]

Это в принципе решается аналогично.
Т.к. 210=13#=2*3*5*7*11*13 , имеет смысл проверить на корни небольшие делители 30030. Видим, что корнями являются 1 и все простые числа -
2, 3, 5, 7, 11, 13
Всего получилось уже 7 корней, значит, больше не будет, и даже ничего ни на что не надо делить.
Итого:
{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13}

Дело мастера боится. Вам ++

[Ost]

\(x^9+5x^8+6x^7+30x^6+29x^5+145x^4+24x^3+120x^2+100x+500=0\).

[Е.А.Меркулов]

Ждём вашего решения

Оно нам надо…

[Andrey_R]

\(x^9+5x^8+6x^7+30x^6+29x^5+145x^4+24x^3+120x^2+100x+500=0\).

Это уравнение, конечно, интереснее.
Невооружённым глазом видно, что оно делится на x+5, и сразу видно, что получается:
\(x^8+6x^6+29x^4+24x^2+100=0\)
Это уравнение би-четвертой степени относительно у=x²:
\(y^4+6y^3+29y^2+24y+100=0\)
Сразу видно, что это уравнение положительных корней не имеет, а если присмотреться, то и вообще действительных - левая часть всегда положительная. Остаётся надеяться, что оно раскладывается на два квадратных. И в самом деле:
 \(y^4+6y^3+(4+25)y^2+24y+100=0\)
 \((y^4+4y^2)+(6y^3+24y)+(25y^2+100)=0\)
\((y^2+4)(y^2+6y+25)=0\)
Поэтому  у={-2i, 2i, -3-4i, -3+4i}
Это всё целые Гауссовы числа, из них легко вычисляются корни (y=x²):
x={-1+i, 1-i, 1+i, -1-i, 1-2i, -1+2i, 1+2i, -1-2i}
Вместе с первым корнем x=-5 получим:
x={-5, -1+i, 1-i, 1+i, -1-i, 1-2i, -1+2i, 1+2i, -1-2i}