Иранская задача

[Иван Горин]

Эта задача была в Иране на школьной олимпиаде
Решить уравнение

\(\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 9\)

[severe]

Эта задача была в Иране на школьной олимпиаде
Решить уравнение

\(\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 9\)

\( a^8-a^2=9a^4-9a^2 \)
\( a_1=1 \), \( a_2=-1 \)

[Ost]

\( a^8-a^2=9a^4-9a^2 \)
\( a_1=1 \), \( a_2=-1 \)

В этом случае неопределённость \(\frac{0}{0}\).
В пределе даёт \(3\).

[severe]

В этом случае неопределённость \(\frac{0}{0}\).
В пределе даёт \(3\).

Ну, неопределенность. Из этого не следует, что \( a=1 \) не является корнем уравнения \(\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 9\). И почему неопределенность \(\frac{0}{0}\) в пределе даёт 3, а не 9?

[Ost]

Ну, неопределенность. Из этого не следует, что \( a=1 \) не является корнем уравнения \(\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 9\). И почему неопределенность \(\frac{0}{0}\) в пределе даёт 3, а не 9?

Ну, неопределенность. Из этого не следует, что \( a=1 \) не является корнем уравнения ...

Просто подставь 1, получится 9?

И почему неопределенность \(\frac{0}{0}\) в пределе даёт 3, а не 9?

Не знаю. Требует исследования.

[severe]

Просто подставь 1, получится 9?

Получится \( \frac{0}{0}=9 \)

[Ost]

Получится \( \frac{0}{0}=9 \)

\(\displaystyle \frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}=9\).

\(\displaystyle \frac{1^8-1^2}{1^4-1^2}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}\).

Примени правило Лопиталя один раз и получится \(3\).

[severe]

\(\displaystyle \frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}=9\).

\(\displaystyle \frac{1^8-1^2}{1^4-1^2}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}\).

\(\displaystyle 9=\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}=\frac{1^8-1^2}{1^4-1^2}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}\)
\( a=1 \) является корнем уравнения \( a^8-a^2=9a^4-9a^2 \)?

[Ost]

\(\displaystyle 9=\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}=\frac{1^8-1^2}{1^4-1^2}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}\)

Девятка это по условию задачи.
Она не имеет отношения к вычислению неопределённости.
Неопределённость будет при любом числе вместо девятки.
Надо иметь ввиду, что преобразования могут привести к появлению дополнительных корней.
Корень \(1\) для \( a^8-a^2=9a^4-9a^2 \), а не для исходного выражения.

[severe]

Девятка это по условию задачи.
Она не имеет отношения к вычислению неопределённости.
Неопределённость будет при любом числе вместо девятки.
Надо иметь ввиду, что преобразования могут привести к появлению дополнительных корней.
Корень \(1\) для \( a^8-a^2=9a^4-9a^2 \), а не для исходного выражения.

То есть, уравнение \(\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 9\) не имеет корня \( a=1 \), а то же самое уравнение \( a^8-a^2=9a^4-9a^2 \) имеет корень \( a=1 \)?

[Ost]

То есть, уравнение \(\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 9\) не имеет корня \( a=1 \), а то же самое уравнение \( a^8-a^2=9a^4-9a^2 \) имеет корень \( a=1 \)?

Не тоже самое, появляются другие свойства.
\( a^8-a^2=8a^4-8a^2 \)
\( a^8-a^2=7a^4-7a^2 \)
\( a^8-a^2=6a^4-6a^2 \)
У них корень \(1\), но исходное выражение при \(a=1\) не может быть равно одновременно \(\displaystyle \frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 9; 8; 7; 6\).
В этом неопределённость.

[Иван Горин]

В этом случае неопределённость \(\frac{0}{0}\).
В пределе даёт \(3\).

Верно!
\(Lim_{a\rightarrow 1}=\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}=\frac{0}{0}\)
По правилу Лопиталя берём производную числителя и знаменателя от переменной a.
\(Lim_{a\rightarrow 1}=\frac{8a^7-2a}{4a^3-2a}=\frac{8-2}{4-2}=3\)

\(Lim_{a\rightarrow -1}=\frac{8a^7-2a}{4a^3-2a}=\frac{-8+2}{-4+2}=3\)

[severe]

Верно!
\(Lim_{a\rightarrow 1}=\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}=\frac{0}{0}\)
По правилу Лопиталя берём производную числителя и знаменателя от переменной a.
\(Lim_{a\rightarrow 1}=\frac{8a^7-2a}{4a^3-2a}=\frac{8-2}{4-2}=3\)

\(Lim_{a\rightarrow -1}=\frac{8a^7-2a}{4a^3-2a}=\frac{-8+2}{-4+2}=3\)

То есть, уравнение \( \frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}=3 \) имеет корень \( a=1 \), а уравнение \( \frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}=9 \) не имеет?

но исходное выражение при \(a=1\) не может быть равно одновременно \(\displaystyle \frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 9; 8; 7; 6\).

Но может быть равно только трём? \(\displaystyle \frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 3\) при \(a=1\)

[Иван Горин]

То есть, уравнение \( \frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}=3 \) имеет корень \( a=1 \), а уравнение \( \frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}=9 \) не имеет?Но может быть равно только трём? \(\displaystyle \frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 3\) при \(a=1\)

Да.
Но в задании иранцам дано уравнение с правой честью равной 9, а не три.
Школьники, даже в математических школах ещё не изучали правило Лопиталя.
Север, решай иранскую задачу по теме.

[severe]

Эта задача была в Иране на школьной олимпиаде
Решить уравнение

\(\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 9\)

\(\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 9\)

\(\frac{a^8-a^4+a^4-a^2}{a^4-a^2}= 9\)


\(\frac{a^8-a^4}{a^4-a^2}+1= 9\)

\(\frac{a^8-a^4}{a^4-a^2}= 8\)

\(\frac{a^{4\cdot 2}-a^{2\cdot 2}}{a^4-a^2}= 8\)

\(\frac{(a^{4}-a^{2})(a^{4}+a^{2})}{a^4-a^2}= 8\)

\(a^{4}+a^{2}= 8\)

\(a^{4}+a^{2}- 8=0\)

\( x=a^2 \)

\( x^2+x-8=0 \)

\( x_1=\frac{-1+\sqrt {33}}{2} \)

\( x_2=\frac{-1-\sqrt {33}}{2} \)

\( a_{1,2}=\pm\sqrt {\frac{-1+\sqrt {33}}{2}} \)

Корень квадратный из отрицательного \( x_2 \) не берём, потому что иранские школьники не проходили мнимых чисел.

[Иван Горин]

\(\frac{a^8-a^2}{a^4-a^2}= 9\)

\(\frac{a^8-a^4+a^4-a^2}{a^4-a^2}= 9\)


\(\frac{a^8-a^4}{a^4-a^2}+1= 9\)

\(\frac{a^8-a^4}{a^4-a^2}= 8\)

\(\frac{a^{4\cdot 2}-a^{2\cdot 2}}{a^4-a^2}= 8\)

\(\frac{(a^{4}-a^{2})(a^{4}+a^{2})}{a^4-a^2}= 8\)

\(a^{4}+a^{2}= 8\)

\(a^{4}+a^{2}- 8=0\)

\( x=a^2 \)

\( x^2+x-8=0 \)

\( x_1=\frac{-1+\sqrt {33}}{2} \)

\( x_2=\frac{-1-\sqrt {33}}{2} \)

\( a_{1,2}=\pm\sqrt {\frac{-1+\sqrt {33}}{2}} \)

Корень квадратный из отрицательного \( x_2 \) не берём, потому что иранские школьники не проходили мнимых чисел.

Молодец, Север. Всё верно!