Траектория реголита при выбросе из под колёс ровера

[Ost]

Траекторию реголита при движении ровера без влияния атмосферы можно описать векторным уравнением
\(\displaystyle \vec s(t,q,\phi,k,v_0,\beta)=\frac{1}{2}~\vec g_l(\phi)~t^2+\vec v(\beta,q,k,v_0)~t+\vec s_0 (\beta)~-\) вектор перемещения частичек пыли относительно       \((1)\)
ИСО ровера или относительно ИСО на поверхности (соответственно зависит от выбора параметра \(q=0\) или \(q=1\)).
Ось \(x\) направлена по вектору скорости ровера;
\(\beta~-\) угол между поверхностью и касательной к окружности колеса; \(k>1~-\) коэффициент проскальзывания колеса;
\(\vec g_l(\phi)~-\) ускорение падения на Луне через вектор, где \(\phi~-\) угол между горизонталью и поверхностью;
\(\vec v(\beta,q,k,v_0)~-\) вектор начальной скорости реголита; \(v_0~-\) скорость ровера;
\(\vec s_0 (\beta)~-\) координаты точки на окружности колеса в момент отрыва пыли.

Запишем векторные функции в этом уравнении
\(\vec g_l(\phi) = -g_{l0}~(sin(\phi),cos(\phi))\), \(g_{l0}=1.62~м/с^2\). При \(\phi<0\) ровер спускается с горки.   \((2)\)
\(\vec v(\beta,q,k,v_0)=v_0~(q-k~cos(\beta),k~sin(\beta))\).                                                             \((3)\)
\(\vec s_0 (\beta)=d/2~(-sin(\beta),1-cos(\beta))\), где \(d=0.81~м~-\) диаметр колеса.               \((4)\)
При \(t=0\) нижняя точка колеса находится в начале координат.

Уравнение \((1)\) не учитывает поступательное перемещение колеса. Это делается в программе отдельно.
Программное построение кадров анимации написано на PTC Mathcad Prime 7.0.0.0 .
Сборка "gif" файлов производилась на сервисе https://ezgif.com/maker

Реголит.
По гранулометрическому составу относится к пылеватым пескам (основная масса частиц имеет размер 0,03—1 мм).
Цвет тёмно-серый, до чёрного, с включениями крупных частиц, имеющих зеркальный блеск.
Частицы грунта обладают высокой слипаемостью из-за отсутствия окисной плёнки на их поверхности и высокой электризации.
Кроме того, лунная пыль легко поднимается вверх от ударных воздействий и хорошо прилипает к поверхности твёрдых тел, ...

 

[Ost]

Образование столба реголита при параметрах
\(\phi=0\);
\(k=1.17\);
\(v_0=15~км/час\);
\(\beta=35^\circ\).

\(q=1\)

Рис. 1

Пересечение красных линий - точка выброса реголита.
Колесо изображено при \(t=0\).

Относительно ровера \(q=0\)

Рис. 2

[Ost]

Выброс реголита на крыло колеса при движении с горки.

Рассмотрим четыре системы отсчёта.
1. Покоящаяся система отсчёта на поверхности горки при \(q=1\).
2. Система отсчёта связана с ровером на горке при \(q=0\).
3. Система отсчёта движется с ровером и горизонтальна при \(q=0\).
4. Покоящаяся система отсчёта на горизонтальной поверхности при \(q=1\).

Последние два пункта для выполнения требуют преобразования поворотом на угол \(\phi\)
траекторий по пунктам один и два. Закон преобразования в комплексной форме \((s_x+i~s_y)~exp(i~\phi)\).  \((5)\)

Параметры движения
\(\phi=-30^\circ\);
\(k=1\);
\(v_0=5~км/час\);
\(\beta=70^\circ\).

1. \(q=1\)

Рис. 3

2. \(q=0\)

Рис. 4

...

[Ost]

3. \(q=0\). Преобразование \((s_x+i~s_y)~exp(i~\phi)\).

Рис. 5

4. \(q=1\). Преобразование \((s_x+i~s_y)~exp(i~\phi)\).

Рис. 6

[Ost]

Эволюция столба реголита во времени при параметрах
\(\phi=0\);
\(k=1.17\);
\(v_0=15~км/час\);
\(\beta=35^\circ~-\) максимальный угол выброса.
Облако реголита формируется за \(0.2~с\).
Момент выброса и угол случайные числа в выбранном диапазоне.

Фазы движения
1. \(t=0\).    Облако сформировалось. Точки коричневого цвета.
2. \(t=0.5\). Точки красного цвета.
3. \(t=1\).    Точки бирюзового цвета.
4. \(t=2.5\). Звёздочки зелёного цвета.

\(q=1\)

Рис. 7

[Ost]

Анимация при параметрах
\(q=1\);
\(\phi=0\);
\(k=1.17\);
\(v_0=15~км/час\);
\(\beta=35^\circ~-\) максимальный угол выброса.
Облако реголита формируется за \(0.2~с\).
Момент выброса и угол случайные числа в выбранном диапазоне.
В движении участвует \(200\) частиц.
Шаг времени \(0.1~с\).

[Ost]

Точки окружности колеса относительно поверхности движутся по закону циклоиды.



Векторное уравнение циклоиды \(\vec r = (v_0~t-r_0~sin(\omega~t),~ r_0-r_0~cos(\omega~t))\)  \((6)\).

Вычислим скорость точки на окружности, дифференцируем \((6)\)
\(\displaystyle \frac{d \vec r}{dt} = (v_0-r_0~\omega~cos(\omega~t),~ r_0~\omega~sin(\omega~t))=(v_0-v_0~cos(\omega~t),~ v_0~sin(\omega~t))=v_0~(1-cos(\omega~t),~ sin(\omega~t))\)  \((7)\).
Соответствует уравнению \((3)\).

Вычислим ускорение на окружности колеса, дифференцируем \((7)\)
\(\displaystyle \frac{d^2 \vec r}{dt^2} =v_0~\omega~(sin(\omega~t),~ cos(\omega~t))=\omega^2~r_0~(sin(\omega~t),~ cos(\omega~t))\).    \((8)\)

В неинерциальной системе колеса центробежное ускорение равно \(\vec a_{cb}=-\omega^2~r_0~(sin(\omega~t),~ cos(\omega~t))\).
Постоянный модуль силы на килограмм равен \(\omega^2~r_0\).
Это сила в сумме с гравитационной отрывает частицы реголита от колеса.

При скорости \(v_0=15~км/час\) величина центробежного ускорения значительна \(42.87~м/с^2\).
Реголит прижимается к внутренней поверхности протектора и скатывается с него под действием лунной гравитации.

[Ost]

Движение частиц реголита без атмосферы.


Параметры анимации.
Скорость ровера \(v_0=15~км/час\).
Период следования выбросов \(0.6~с\).
Количество частиц в выбросе \(551\).
Шаг времени \(0.1~с\).

1. Коричневый выброс.
Максимальный угол выброса реголита \(35^\circ\).
Коэффициент проскальзывания колеса \(1.17\).
Время образования облака реголита \(0.4~с\).

2. Сиреневый.
Максимальный угол выброса \(40^\circ\).
Коэффициент проскальзывания \(1.1\).
Время образования \(0.3~с\).

3. Зелёный.
Максимальный угол выброса реголита \(45^\circ\).
Коэффициент проскальзывания \(1.3\).
Время образования \(0.2~с\).

[Ost]

Движение частиц в атмосфере.


Диаметр частиц от \(0.1~мм\) до \(1~мм\) в случайном распределении.
Плотность частиц \(2600~кг/м^3~-\) кварц.
Анимация моделирует поведение частиц в атмосфере Земли при замедлении частоты кадров в \(\displaystyle k=\sqrt{\frac{g_z}{g_l}}=2.4604\) раза, т.е. до приведения к лунной гравитации.
Цвет частиц зависит от диаметра, \(1~мм~-\) красное смещение; \(0.1~мм~-\) синее смещение.
Промежуточные диаметры отображаются линейной смесью синего и красного с добавкой зелёного.
Координатная сетка \(1~м\).

Параметры анимации.
Скорость ровера \(v_0=15~км/час\).
Период следования выбросов \(0.6~с\).
Количество частиц в выбросе \(550\).
Шаг времени \(0.1~с\).

1. Максимальный угол выброса \(35^\circ\).
Коэффициент проскальзывания колеса \(1.17\).
Время образования облака \(0.4~с\).

2. Максимальный угол выброса \(40^\circ\).
Коэффициент проскальзывания \(1.1\).
Время образования \(0.3~с\).

3. Максимальный угол выброса \(45^\circ\).
Коэффициент проскальзывания \(1.3\).
Время образования \(0.2~с\).

Теоретические подробности в теме http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619203.msg10377198#msg10377198

[Ost]

Подобие при перемещении частиц без наличия атмосферы в поле гравитации.
При сохранении масштаба перемещений.

\(ds=ds_1=ds_2=g_1~dt_1~dt_1=g_2~dt_2~dt_2\).

\(g_1~dt_1~dt_1=g_2~dt_2~dt_2\).

\(\displaystyle \frac{g_1}{g_2}=\frac{dt_2~dt_2}{dt_1~dt_1}\).

\(\displaystyle \sqrt{\frac{g_1}{g_2}}=\frac{dt_2}{dt_1}=\frac{1/dt_1}{1/dt_2}=\frac{ds/dt_1}{ds/dt_2}=\frac{v_1}{v_2}\).

При сохранении масштаба перемещения, масштаб скорости, времени и ускорения связаны формулой
\(\displaystyle \sqrt{\frac{g_1}{g_2}}=\frac{t_2}{t_1}=\frac{v_1}{v_2}\).

[Ost]

Без атмосферы.

Изменена начальная фаза воспроизведения.
Выброс реголита за время образования покадровый.
Кинематика выбросов определяется теорией http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619131.msg10365756#msg10365756