Найти предел:
\(\displaystyle \lim_ {x \to +0}\frac{\sqrt{x}}{\arccos (x^x)} \)
Ответ: 0
Для решения нужно узнать, как ведёт себя при малых x знаменатель
если \(y=\arccos (x^x)\), то
\(\cos(y)=x^x\)
теперь можно разложить это в ряд
\(\cos(y)=1-\frac{y^2}{2}+\frac{y^4}{4!}=1-\frac{y^2}{2}+o(y^2)\)
\(x^x=e^{x\ln(x)}=1+x\ln(x)+o(x)\)
тогда
\(1-\frac{y^2}{2}+o(y^2)=1+x\ln(x)+o(x)\)
\(\frac{y^2}{2}+o(y^2)=- x\ln(x)+o(x)\)
\(y^2=-2x\ln(x)+o(x)+o(y^2)\)
\(y=\sqrt{-2x\ln(x)+o(x)+o(y^2)}=\sqrt{-2x\ln(x)}\sqrt{1+\frac{o(x)}{2xln(x)}+\frac{o(y^2)}{2xln(x)}}=\sqrt{-2x\ln(x)}\sqrt{1+\frac{o(x)}{2xln(x)}+\frac{o(2xln(x))}{2xln(x)}}=\sqrt{-2x\ln(x)}(1+o(1))\)
И тогда
\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\frac{\sqrt{x}}{\arccos (x^x)}=\lim_{x \to +0}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{-2x\ln(x)}(1+o(1))}= \lim_{x \to +0}\frac{1}{\sqrt{2\ln(1/x)}}=0\)
Поэтому эта функция хотя и убывает очень медленно, но всё равно в пределе стремится к 0.
