Интеграл из кинофильма "Расписание на послезавтра" для любых пределов

[Иван Горин]

Вывести точную формулу для определённого интеграла
\(\displaystyle I=\int\limits_{a}^{b}\ln (1+x)\frac{dx}{1+x^2}\)

\(a, b \in \mathbb{R}\)

[Иван Горин]

\(\displaystyle I=\int\limits_{a}^{b}\ln (1+x)\frac{dx}{1+x^2}\)
\(a, b \in \mathbb{R}\)

Приведём данный интеграл к интегралу по окружности.
Делаем замену переменной таким образом, чтобы новая переменная имела пределы от 0 до \(2\pi\)
\(\displaystyle x=\tan(k_1\varphi +k_2)\)
\(\displaystyle \arctan x=k_1\varphi +k_2\)
\(\varphi_1=0\), \(x_1=a\)
\(\varphi_2=2\pi\), \(x_2=b\)
Найдём коэффициенты \(k_1\) и \(k_2\)
\(\displaystyle k_1=\frac{\arctan b-\arctan a}{2\pi }\)
\(\displaystyle k_2=\arctan a\)
\(\displaystyle dx=\frac{k_1d\varphi }{\ cos^2(k_1\varphi +k_2)}\)
Для простоты написания формул обозначим
\(\alpha=k_1\varphi +k_2\)
После подстановки новой переменной получаем интеграл
\(\displaystyle I=k_1\int\limits_0^{2\pi}\frac{\ln(1+\tan\alpha )d\varphi}{(1+\tan^2\alpha)\cos^2\alpha} = k_1\int\limits_0^{2\pi}\frac{\ln(1+\tan\alpha )d\varphi}{(1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha})\cos^2\alpha}= k_1\int\limits_0^{2\pi}\frac{\ln(1+\tan\alpha )d\varphi}{(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=k_1\int\limits_0^{2\pi}\ln(1+\tan\alpha )d\varphi\)
...

[Иван Горин]

\(\displaystyle I=k_1\int\limits_0^{2\pi}\ln(1+\tan\alpha )d\varphi\)
\(\alpha=k_1\varphi +k_2\)

Далее применяем теорию функций комплексного переменного
Заменим переменную \(\varphi\) на комплексную
\(z=e^{i\varphi}\)
\(dz=ie^{i\varphi}d\varphi=izd\varphi\)
\(\displaystyle d\varphi =\frac{dz}{iz}\)
\(\displaystyle \tan \alpha =\frac{e^{2\alpha i}-1}{(e^{2\alpha i}+1)i}=\frac{e^{2(k_1\varphi +k_2) i}-1}{(e^{2(k_1\varphi +k_2) i}+1)i}=\frac{z^{2k_1}e^{2k_2 i}-1}{(z^{2k_1}e^{2k_2 i}+1)i}\)
\(\displaystyle \tan \alpha =\frac{1-z^{2k_1}e^{2k_2 i}}{1+z^{2k_1}e^{2k_2 i}}i\)

Комплексный интеграл по замкнутому контуру окружности единичного радиуса:
\(\displaystyle I_c=2\pi i\oint\limits_{\left | z \right |=1}f(z)dz\)  Наш исходный интеграл \(I\) является частью этого комплексного интеграла

\(\displaystyle f(z)=k_1\frac{\ln(1+\tan\alpha (z))}{iz}\)
...

[Иван Горин]

\(\displaystyle I_c=2\pi i\oint\limits_{\left | z \right |=1}f(z)dz\)
\(\displaystyle f(z)=k_1\frac{\ln(1+\tan\alpha (z))}{iz}\)

\(\displaystyle I_c=2\pi k_1 \oint\limits_{\left | z \right |=1}\frac{\ln(1+\tan\alpha (z))}{z}dz\)
 Интеграл по контуру находим с помощью вычетов.
Новая подынтегральная функция \(f(z)\) имеет один простой полюс в точке \(z=0\)
\(\displaystyle f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}\)
\(\displaystyle p(z)=\ln(1+\tan\alpha (z))\)
\(\displaystyle q(z)=z\)
\(\displaystyle Res f(0)=\frac{p(0)}{q'(0)}=\ln(1+\tan\alpha (0))\)
\(\tan\alpha (0))=i\)
\(\displaystyle I_c=2\pi k_1 Res(0)=2\pi k_1 \ln(1+i)=2k_1 \pi(\ln2/2+i\pi/4)\)
\(\displaystyle I=Re(I_c)=\pi k_1\ln2=\pi \frac{\arctan b-\arctan a}{2}\ln2\)
При \(a=0,\,b=1\)
\(\displaystyle I=\frac{\pi}{8}\ln2\)