Пределы гравитационного и электростатического дальнодействия

[Ефимов И.]

Основными характеристиками гравитационного поля, генерируемого телом массой М является напряженность Е, определяемая по формуле ,
E = GM/R²                           (1)
и гравитационный потенциал φ:
φ = GM/R                             (2)
В нашем случае наиболее подходящим будет следующее определение потенциала: Гравитационный потенциал в данной точке пространства численно равен работе, которую выполняют гравитационные силы при перемещении пробного тела единичной массы по произвольной траектории из данной точки в точку, где потенциал принят равным нулю.
Гравитационный потенциал точки массой М принято определять по формуле (2), но эта формула справедлива для перемещения пробного тела в бесконечность. Поскольку речь не о бесконечности, а о точке, где φ = 0, то до этой точки должно иметь место некое расстояние. В случае, если масса точки m = 1 кг, то примем это расстояние за эталон (константу) и обозначим это символом R_0g. По понятным причинам численное значение этой величины указать невозможно. Это достижимо только в том случае, когда в распоряжении имеются соответствующие астрономические наблюдения. Примерно так, как это обстояло с определением постоянной Хаббла
На основании вышеизложенного более точная формула для определения потенциала Фg тела массой М будет представлена в виде:
 Фg = GM(1 – 1кг∙R/МR_0g)/R              (3)
Формула для определения напряженности гравитационного поля:
    Е_g = GM(1 – 1кг∙R/МR_0g) :R²              (4)                                                 
Из этих формул следует, что при условии 1кг∙R = МR_0g потенциал Ф и напряженность Е_g становятся равны нулю.
Формальное рассмотрение формулы (3) указывает на то, что при значении R больше R_0g потенциал Ф_g принимает отрицательное значение, то есть в действие вступают силы отталкивания. Не исключено, что так оно и есть. Но оставим это суждение на рассмотрение сторонникам гипотезы Расширения Вселенной. Отметим, что в таком случае отпадает потребность в версии о темной матери и темной энергии.

На следующем этапе обратимся к закону всемирного тяготения. Общепринятую формулу F = GM₁M₂/R²   представим в виде:
F_g = Ф₁Ф₂/GR²                                          (5)
где Ф₁ = GM₁(1 – 1кг∙R/М₁R_0g)/R ;  Ф₂ = GM₂(1 – 1кг∙R/М₂R_0g)/R             
Произведя окончательные преобразования, получаем уточненную формулу ЗВТ:
F_g = GM₁M₂∙(1 – 1кг∙R/М₁R_0g)∙(1 – 1кг∙R/М_2R0g)/R²       (6)             
Для того, чтобы упростить написание представленных формул, целесообразно ввести константу, обозначив её символом К_0g и присвоив размерность кг/м:  К_0g   =  1кг : R_0g                                  (7)
В этом случае формула (5) предстанет в упрощенном виде:
F_g = GM₁M₂∙(1 – К_0gR/М₁)∙(1 – К_0gR/М₂)/R²       (8)

Сравнивая Закон Всемирного Тяготения, представленный в виде F=GM₁M₂/R² и закон Кулона, имеющий вид F= kq₁q₂/R², несложно заметить, что запись законов обладает схожестью. Подобным образом выглядят формулы для определения потенциалов и напряженностей как гравитационных, так и электрических

В качестве определения потенциала электрического поля принимаем:
Потенциал электрического поля в данной точке пространства численно равен работе, которую выполняют силы поля при перемещении единичного положительного заряда по произвольной траектории из данной точки в точку, где потенциал принят равным нулю.
Предел дальнодействия электростатических зарядов можно рассмотреть аналогичным образом, введя константы R_0Q и К_0Q = 1Кл : R_0Q, размерность  Кл/м
Данные константы будут на много порядков отличаться от констант R_0g и К_0g
В этом случае формула для расчета напряженности предстаёт в виде:
E_Q = k_Q(1 – К0QR/Q)/R²                                 (9)
Потенциал  ФQ = kQ(1 – К_0QR/Q)/R                  (10)
Если 1Кл∙R = QR_0Q, то потенциал Ф_Q и напряженность Е_Q становятся равны нулю, взаимодействие зарядов не происходит.
Формула, представляющая закон Кулона, примет вид:
F_Q = kq₁q₂∙(1 – К_0Q R/q₁)∙(1 – К_0Q R/q₂)/R²       (11)
   Есть основание высказать предположение, что при значении R больше значения R_0Q характер взаимодействия зарядов меняется. Вместо притяжения начинает действовать отталкивание, вместо отталкивания - притяжение

[Ost]

...
Формальное рассмотрение формулы (3) указывает на то, что при значении R больше R_0g потенциал Ф_g принимает отрицательное значение, то есть в действие вступают силы отталкивания. Не исключено, что так оно и есть.
...
Есть основание высказать предположение, что при значении R больше значения R_0Q характер взаимодействия зарядов меняется. Вместо притяжения начинает действовать отталкивание, вместо отталкивания - притяжение

Направление силы зависит от градиента потенциала, а не от смены знака потенциала по причине выбора нулевой точки.
\((-2)-(-3)=1;~ 3-2=1\). Пересекли ноль оси, разность (из правого на оси вычитаем левое число) потенциалов не изменилась.
Знак производной зависит от возрастания или убывания функции.

\(\displaystyle \vec E=-\frac{d φ}{dR} \frac{\vec R}{R}=-\frac{d}{dR}\left(-\frac{G~M}{R}\right) \frac{\vec R}{R}=-\frac{G~M~\vec R}{R^3}\). По определению.

Из \((3)\) не следует \((4)\).

[Ost]

Градиент гравитационного поля — это векторное выражение, которое описывает изменение гравитационного поля в пространстве.
Гравитационное поле создаётся массой, и его величина и направление зависят от распределения масс.
Градиент гравитационного поля определяет силу, что действует на единичную массу, в определённой точке пространства.

Если выразить гравитационное поле как гравитационный потенциал U, то градиент гравитационного поля
равен минус градиенту гравитационного потенциала. То есть:

g = -∇U

где g — это вектор напряженности гравитационного поля, а ∇U — градиент гравитационного потенциала.
Значение градиента показывает, как гравитационное поле меняется в зависимости от положения в пространстве,
и как оно стремится воздействовать на объекты, находящиеся в поле.

ChatGPT4

[Ost]

Градиент - это вектор, который указывает направление наибольшего возрастания скалярного поля, а его длина показывает
скорость изменения этого поля в данном направлении. Для скалярного поля φ(х, у, z) градиент обозначается как ∇φ и определяется как вектор:

∇φ = (∂φ/∂х, ∂φ/∂у, ∂φ/∂z).

Здесь ∂φ/∂х, ∂φ/∂у и ∂φ/∂z - это частные производные скалярного поля φ по координатам х, у и z соответственно.

В случае центрального поля мы подразумеваем, что точка наблюдения находится на радиус-векторе, и значение
скалярной функции зависит только от расстояния до начала координат. Это значит, что φ = φ(r),
где r - радиус-вектор, равный √(x² + y² + z²).

Градиент в центральном поле имеет направление радиус-вектора и зависит только от расстояния r:

∇φ = (dφ/dr) * (r̂),

где r̂ - единичный вектор в направлении радиус-вектора r, и dφ/dr - производная функции φ по радиусу.

ChatGPT4

[Ефимов И.]

Ost, Уважаемый!
Открывая темы, я стараюсь делать так, чтобы суть была понятна всем, кому это в принципе может показаться интересным.
Судя по комментариям, тема Вас заинтересовала, но о чём эта тема – не поняли. Поясню более подробно.

Если обратить внимание на традиционные формулы, отображающие ЗВТ и Закон кулона, можно прийти к выводу, что тела или заряженные объекты могут взаимодействовать на любых расстояниях друг от друга, вплоть до бесконечности.
Я же склонен полагать, что даже при самых идеальных условиях, пусть даже где-то в далёком космосе, в межгалактическом пространстве, где нет ни атмосферы, ни каких бы там не было полей – потенциал массивного тела и потенциал электрически заряженного объекта на каком-то удалении R=R₀ станет равным нулю. Если такое происходит, то в традиционные формулы для вычисления потенциала следует ввести дополнительный множитель, который имеет вид: 
(1 – К_0gR/М) – для тела массой М
(1 – К_0Q R/Q)  - для объекта с зарядом Q
В результате получаем:
Фg = GM(1 – К_0gR/М)/R       - для тела массой М         
ФQ = kQ(1 – К_0QR/Q)/R             - для объекта с зарядом Q   
Эти множители присутствуют в формулах для определения напряженностей и сил взаимодействия.     
А вот теперь что из этого следует. Смотрим на формулы.
Fg = GM₁M₂∙(1 – 1кг∙R/М₁R_0g)∙(1 – 1кг∙R/М₂R_0g)/R²       
FQ = kq₁q₂∙(1 – К_0Q R/q₁)∙(1 – К_0Q R/q₂)/R²       
Если хоть один из множителей (в скобках) пронимает нулевое значение, то силовое взаимодействие между телами и объектами не происходит.
Если по формулам, то получается вроде как парадоксальная ситуация:
- если потенциал наименьшего из масс или зарядов равен нулю, то нулю равна и напряженность поля. Взаимодействия не будет, как бы велика ни была напряженность от другого тела или объекта в этой точке
- если один из множителей приобретает отрицательное значение, то, по всей логике, вместо притяжения будет иметь место отталкивание.
Такое может понравиться сторонникам версии об ускоренном расширении Вселенной. Отпадает необходимость отыскивать темную материю и темную энергию.


Ost, прошу обратить внимание, что здесь простая арифметика, даже не математика. Я не упоминал ни о градиентах, ни о векторах, ни о производных. В этом плане Ваши комментарии неуместны. С таким же основанием в следующем комментарии можете привести цитаты из учебников, где есть упоминания об уравнениях Максвелла, Лоренца, или про бином Ньютона 

[Ost]

...
Ost, прошу обратить внимание, что здесь простая арифметика, даже не математика. Я не упоминал ни о градиентах, ни о векторах, ни о производных. В этом плане Ваши комментарии неуместны. С таким же основанием в следующем комментарии можете привести цитаты из учебников, где есть упоминания об уравнениях Максвелла, Лоренца, или про бином Ньютона 

Я обращаю ваше внимание на критические ошибки и что надо знать, чтобы их не делать. Когда Вы пишите формулу потенциала -
Фg = GM(1 – К_0gR/М)/R - для тела массой М, Вы тем самым уже определили как будет выглядеть формула напряженности поля.
Напряженность и потенциал связаны функцией градиента. Тут нет свободы выбора. Это однозначно определено в теории скалярного поля.

\(\displaystyle \vec E_g=-\frac{d φ_g}{dR} \frac{\vec R}{R}=-\frac{d}{dR}\left(\frac{G~M(1-K_{0g}~R/M)}{R}\right) \frac{\vec R}{R}=\frac{G~M~\vec R}{R^3}\).

Соответственно сила в вашем случае равна \(\displaystyle \vec F_g=\frac{G~M_1~M_2~\vec R}{R^3}\). (с ошибкой по знаку)

По модулю будет \(\displaystyle F_g=\frac{G~M_1~M_2}{R^2}\).

Ваша формула Fg = GM₁M₂∙(1 – 1кг∙R/М₁R_0g)∙(1 – 1кг∙R/М₂R_0g)/R² теоретически неверная,
так как противоречит уже проверенным на практике принципам вычисления силы через градиент.     

[Ефимов И.]

Ваша формула Fg = GM₁M₂∙(1 – 1кг∙R/М₁R_0g)∙(1 – 1кг∙R/М₂R_0g)/R² теоретически неверная,
так как противоречит уже проверенным на практике принципам вычисления силы через градиент.     

В пределах практической досягаемости значение множителя (1 – К_0gR/М) настолько мало отдичается от единицы, что результат расчета совпадет с тем, что проверено на практике. Это для межгалактических расстояний.
С другой стороны - можете на досуге вычислить через градиент с учетом этого множителя, и расскажите, насколько это отличается от того, что проверено на практике.
После этого можно начинать рассуждать, что теоретически верно, а что нет

[Ost]

В пределах практической досягаемости значение множителя (1 – К_0gR/М) настолько мало отдичается от единицы, что результат расчета совпадет с тем, что проверено на практике. Это для межгалактических расстояний.
С другой стороны - можете на досуге вычислить через градиент с учетом этого множителя, и расскажите, насколько это отличается от того, что проверено на практике.
После этого можно начинать рассуждать, что теоретически верно, а что нет

В пределах практической досягаемости значение множителя (1 – К_0gR/М) настолько мало отличается от единицы, что результат расчета совпадет с тем, что проверено на практике. Это для межгалактических расстояний.

Так это не важно. Потенциал может задаваться от произвольного уровня. Это не ошибка, просто отход от принятых правил.

С другой стороны - можете на досуге вычислить через градиент с учетом этого множителя, и расскажите, насколько это отличается от того, что проверено на практике.

Так уже рассчитал http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=620793.msg10608259#msg10608259
Отличается только знаком.

[Ефимов И.]

Я обращаю ваше внимание на критические ошибки и что надо знать, чтобы их не делать. Когда Вы пишите формулу потенциала -
Фg = GM(1 – К_0gR/М)/R - для тела массой М, Вы тем самым уже определили как будет выглядеть формула напряженности поля.
Напряженность и потенциал связаны функцией градиента. Тут нет свободы выбора. Это однозначно определено в теории скалярного поля.

\(\displaystyle \vec E_g=-\frac{d φ_g}{dR} \frac{\vec R}{R}=-\frac{d}{dR}\left(\frac{G~M(1-K_{0g}~R/M)}{R}\right) \frac{\vec R}{R}=\frac{G~M~\vec R}{R^3}\).

Соответственно сила в вашем случае равна \(\displaystyle \vec F_g=\frac{G~M_1~M_2~\vec R}{R^3}\). (с ошибкой по знаку)

По модулю будет \(\displaystyle F_g=\frac{G~M_1~M_2}{R^2}\).

Ваша формула Fg = GM₁M₂∙(1 – 1кг∙R/М₁R_0g)∙(1 – 1кг∙R/М₂R_0g)/R² теоретически неверная,
так как противоречит уже проверенным на практике принципам вычисления силы через градиент.     

Последний раз имел дело с производными в конце 70-х, когда готовился к экзамену по математике в институте.
Тогда не только дифференциалы с интегралами брал, но и в процессе подготовки самостоятельно без шпаргалок решил два простеньких диференциальных уравнения.
Ни разу в жизни это не пригодилось
Сейчас всё забыто, учебников под рукой нет, самостоятельно не могу проверить правильность этого решения:
\(\displaystyle \vec E_g=-\frac{d φ_g}{dR} \frac{\vec R}{R}=-\frac{d}{dR}\left(\frac{G~M(1-K_{0g}~R/M)}{R}\right) \frac{\vec R}{R}=\frac{G~M~\vec R}{R^3}\).
Вот мучают смутные подозрения.
В множителе (1 – К_0gR/М) имеет место переменная R. Куда этот множитель пропал в результате дифференцирования?

[Ost]

Последний раз имел дело с производными в конце 70-х, когда готовился к экзамену по математике в институте.
Тогда не только дифференциалы с интегралами брал, но и в процессе подготовки самостоятельно без шпаргалок решил два простеньких дифференциальных уравнения.
Ни разу в жизни это не пригодилось
Сейчас всё забыто, учебников под рукой нет, самостоятельно не могу проверить правильность этого решения:
\(\displaystyle \vec E_g=-\frac{d φ_g}{dR} \frac{\vec R}{R}=-\frac{d}{dR}\left(\frac{G~M(1-K_{0g}~R/M)}{R}\right) \frac{\vec R}{R}=\frac{G~M~\vec R}{R^3}\).
Вот мучают смутные подозрения.
В множителе (1 – К_0gR/М) имеет место переменная R. Куда этот множитель пропал в результате дифференцирования?

Вы замаскировали под множитель константу.
Производная от константы равна нулю.

\(\displaystyle \frac{G~M(1-K_{0g}~R/M)}{R}=\frac{G~M}{R}-G~K_{0g}\).

[Ефимов И.]

Вы замаскировали под множитель константу.
Производная от константы равна нулю.

\(\displaystyle \frac{G~M(1-K_{0g}~R/M)}{R}=\frac{G~M}{R}-G~K_{0g}\).

Если рассуждать логически, то можно прийти к мнению, что если потенциал от какого-либо тела или заряда на достаточном удалении принимает нулевое значение, то и напряженность равна нулю.
Ost показал, что это не так.
Пробуем по-другому. Исходим из того, что напряженность, генерируемая телом или зарядом, не распространяется до бесконечности, а на каком-то удалении R0g приобретает нулевое значение. Следовательно, величину напряженности Еg на расстоянии R следует рассчитывать с учетом множителей (1 – К_0g R : М) для массивных тел и (1 – К_0e R : Q) для зарядов

. Общепринятую формулу F = GM₁M₂ : R²   представим в другом виде, приняв:
M₁  =   E_g1 R² : G                    M₂ =   E_g2 R² : G                   
E_g1  =  GM₁ (1 – К_0g R : М₁): R²
E_g2 = GM₂ (1 – К_0g R : М₂): R²

Проведя преобразования, получаем уточненную формулу ЗВТ:
F_g = GM₁M₂ х (1 – К_0g R : М₁) (1 – К_0g R : М₂) : R²     
Действуя аналогичным образом, получаем уточненную формулу ЗК
 F_е = Gq₁q₂ х (1 – К_0e R :q₁) (1 – К_0e R :q₂) : R²     

В общем, вернулись туда, на чём и остановились, но возможен и другой вариант

Имело место предложение ввести константу, обозначив её символом К_0g и присвоив размерность кг/м: К_0g = 1кг : R_0g, но это применительно к потенциалу Ф.   
Для варианта с напряженностью этот коэффициент может принять вид  К_0g = 1кг : R_0g² и размерность кг/м²
Аналогично для электростатики: К_0е = 1Кл : R_0е²
         В этом случае:
         Уточненная формула ЗВТ:
F_g = GM₁M₂ х (1 – К_0g R² : М₁) (1 – К_0g R² : М₂) : R²     
          Уточненная формула ЗК
 F_е = Gq₁q₂ х (1 – К_0e R² :q₁) (1 – К_0e R² :q₂) : R²