«Парадокс» близнецов и мировые линии

[VPD]

   «Парадокс» близнецов можно разрешить без применения общей теории относительности.
    Воспользуемся геометрией пространства-времени Минковского. 
   Три мировые линии: близнеца, остающегося на Земле, близнеца, улетевшего в ракете к звезде, находящейся на расстоянии R от Земли и  фотона света, показаны на рис.1 (двумерная модель)
 
Рис.1. Мировые линии.  ОА – линия удаляющегося от Земли близнеца t= x/βC; где, β= v/C, v – скорость ракеты, С – скорость света в вакууме;  АB – линия приближающегося к Земле близнеца; АС – линия одновременности событий перед разворотом ракеты; А₁С₁ – линия одновременности событий при окончании разворота ракеты; АА₁ -линия разворота (Δt₃  ≈0 ); АD – линия одновременности событий в момент равенства скоростей Земли и ракеты во время разворота; мировая линия фотона света t = x/C; Δt₁- время земного близнеца; Δt₂ – время «потраченное» земным близнецом при наблюдении за торможением ракеты.
   Из треугольника ОАR

Δt₁ = Rtgφ ≈ φ=R/βC;

   Из треугольника САD

Δt₂ = Rtg φ₂ ≈  φ₂ ≈ R (1 -β²/2) /βC;

Так, как ось x¹ системы отсчёта улетающего близнеца поворачивается на угол φ₂ ≈ (1 -β²/2) (разложив релятивистский корень в ряд и оставив 2 члена) и, тем самым, поворачивается линия одновременности событий АС, параллельная оси x¹.
  Время летящего близнеца по земным часам  получим удваивая (в силу симметрии мировых линий относительно АD)  и пренебрегая временем разворота ракеты Δt₃

Δt = 2(Δt₁ -  Δt₂)  = 2[R/βC – R (1 -β²/2)] /βC = 2R (1/β - β/2)/С (1).

   Выводы. Парадокса близнецов не существует, а есть кинематический эффект близнецов, заключающийся в уменьшении темпа  времени двигающегося близнеца. Этот эффект можно описать  с помощью геометрии.
   Основное «старение» земного близнеца происходит во время разворота ракеты.
   Время близнеца, проведённое в полёте по земным часам  можно рассчитать по формуле (1).

[Ost]

Собственное время близнеца в ракете равно \(\displaystyle \tau=\int \limits_{0}^{t} \sqrt{1-\frac{V(t)^2}{c^2}}~dt\).

[VPD]

Собственное время близнеца в ракете равно \(\displaystyle \tau=\int \limits_{0}^{t} \sqrt{1-\frac{V(t)^2}{c^2}}~dt\).

   Этот расчёт никак не отменяет   физики явления, что я здесь описал.
   Моя задача - наглядно показать суть эффекта близнецов.

[Ost]

   Этот расчёт никак не отменяет   физики явления, что я здесь описал.
   Моя задача - наглядно показать суть эффекта близнецов.

У Вас получается не правильная формула.

[VPD]

У Вас получается не правильная формула.

   Возможно. Поправить можете?
   Фотон по земным часам затрачивает время на полёт к звезде и обратно.
   "Ваша" формула, к сожалению, как и моя, этого не видят.
   Разве это значит, что они не верные?

[Ost]

   Фотон по земным часам затрачивает время на полёт к звезде и обратно.
   "Ваша" формула, к сожалению, как и моя, этого не видят.
   Разве это значит, что они не верные?

\(\displaystyle \tau=\int \limits_{0}^{t} \sqrt{1-\frac{V(t)^2}{c^2}}~dt\).
Формально собственное время фотона по этой формуле \(\tau=0\). По земным часам \(t=2R/c\).
И что не так?
 

[VPD]

\(\displaystyle \tau=\int \limits_{0}^{t} \sqrt{1-\frac{V(t)^2}{c^2}}~dt\).
Формально собственное время фотона по этой формуле \(\tau=0\). По земным часам \(t=2R/c\).
И что не так?

Откуда появилось R?
 А у меня какая ошибка?

[Ost]

Откуда появилось R?
 А у меня какая ошибка?

Откуда появилось R?

Из вашего чертежа.

А у меня какая ошибка?

У Вас в формуле нет корня, после преобразования к формату формулы собственного времени.

[VPD]

Из вашего чертежа.

Так у  меня верно и конкретно.

У Вас в формуле нет корня, после преобразования к формату формулы собственного времени.

  Корень в ряд разложен и обрезан.

[gs dissident]

в настоящем парадоксе нет разворота,время  разворота равно 0.
у жулика энштена не равно нулю.
старение происходит как разность туда(старение)-обратно(моложение).

[gs dissident]

\(\displaystyle \tau=\int \limits_{0}^{t} \sqrt{1-\frac{V(t)^2}{c^2}}~dt\).
Формально собственное время фотона по этой формуле \(\tau=0\). По земным часам \(t=2R/c\).
И что не так?

Эн кажись не употреблял интеграл, интеграл употреблял ландава,который ничего не понял.
на участке разворота Э просто перекрутил стрелки

[VPD]

Так у  меня верно и конкретно.  Корень в ряд разложен и обрезан.

   Кроме того, формула, которую привёл уважаемый OST, определяет текущее время полёта, а моя формула  предназначена для расчёта времени уже законченного, состоявшегося полёта на конкретное расстояние R.

[Ost]

   Кроме того, формула, которую привёл уважаемый OST, определяет текущее время полёта, а моя формула  предназначена для расчёта времени уже законченного, состоявшегося полёта на конкретное расстояние R.

С помощью её определяется время законченного полёта.
В этом случае предел интегрирования равен \(t=2R/V\).

[VPD]

С помощью её определяется время законченного полёта.
В этом случае предел интегрирования равен \(t=2R/V\).

   Конечно, эта формула несомненно более общая.
   Но у меня и задача другая ставилась: показать наглядно, что парадокс близнецов - не парадокс. Что бы альтернативщикам возразить было нечего.
   Когда физика "геометризуется", она становится понятнее большему числу людей.

[Ost]

   Конечно, эта формула несомненно более общая.
   Но у меня и задача другая ставилась: показать наглядно, что парадокс близнецов - не парадокс. Что бы альтернативщикам возразить было нечего.
   Когда физика "геометризуется", она становится понятнее большему числу людей.

В СТО замедление времени является кинематическим эффектом только в симметричном случае.
Если два звездолёта вылетели из одной точки с одинаковыми скоростями, то в каждом звездолёте
будут считать, что их время течёт быстрее, но наблюдатель привязанный к системе отсчёта старта звездолётов
это не подтвердит. Эффект просто кинематический для наблюдателей в звездолёте.

Если нет симметрии, например, звездолёт пролетает между двумя станциями с синхронизированными часами,
то будет наблюдаться измеряемое замедление времени на звездолёте (в звездолёте одни часы - нет симметрии).
Запросив время прилёта на другую станцию можно документально подтвердить, что близнец в звездолёте моложе.

В рассматриваемых случаях нет ускорения, связанного с разворотом. Движение только по инерции.
В этом случае строго выполняется формула \(\displaystyle \tau=t~\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\).

[VPD]

...
В рассматриваемых случаях нет ускорения, связанного с разворотом. Движение только по инерции.
В этом случае строго выполняется формула \(\displaystyle \tau=t~\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\).

   Понятно. Формула не для моего примера.
  Тогда зачем вы её привели?

[Ost]

   Понятно. Формула не для моего примера.
  Тогда зачем вы её привели?

Для вашего примера тоже применима, так как неинерциальным эффектом разворота
можно пренебречь. Ускорения при реальном развороте, создают незначительный потенциал,
эквивалентный гравитации.

[VPD]

Для вашего примера тоже применима, так как неинерциальным эффектом разворота
можно пренебречь. Ускорения при реальном развороте, создают незначительный потенциал
эквивалентный гравитации.

  То есть, договариваемся будто бы  симметрия не нарушена...

[Ost]

  То есть, договариваемся будто бы  симметрия не нарушена...

У Вас симметрия нарушена. Звездолёт возвращается на Землю
и сверяет свои часы. Для выполнения условия симметрии он не
должен возвращаться.

[VPD]

У Вас симметрия нарушена. Звездолёт возвращается на Землю
и сверяет свои часы. Для выполнения условия симметрии он не
должен возвращаться.

Я говорил о возможности применения вашей формулы, иначе она не применима.