2. С первых же страниц курса заметно, что наука-физика предпочитает уступить главенствующую роль математике, к сожалению, не лучшего толка.
На стр.7 читаем:
«Из математических средств используется векторное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, ряды Фурье, иногда преобразования Фурье и Лапласа, уравнения в частных производных, полиномы Лежандра и функции Бесселя».
Автор почему-то умалчивает о том, что основным математическим аппаратом курса является тензорное исчисление, ибо первая же операция дифференцирования преобразует вектор в тензор со всеми вытекающими из этого (в общем-то, неприятными для аналитика!) последствиями. А в трудных случаях автор по необходимости прибегает к использованию (альтернативного тензорному) аппарата алгебры с векторным делением – теории функций комплексного переменного (или теории аналитических функций). К примеру, читаем на с.210: «Мы можем представить интеграл по ω в виде интеграла Коши на комплексной плоскости ω …» и т.д. Почему автор не считает нужным с самого начала обратить на это внимание читателя?
На стр. 14, вводя понятие поля, автор справедливо замечает:
«… Следует рассматривать предельный процесс, т.е. измерять отношение силы, действующей на малый пробный заряд, к величине заряда при всё меньшей и меньшей величине заряда». Иначе говоря, понятие поля можно корректно использовать только тогда, когда помещённые в это поле заряды (как и пробный заряд) настолько малы, что их присутствие для поля неощутимо. Но это предупреждение тут же «забывается», и далее изложение курса идёт сугубо в полевой трактовке, как будто вне её никаких практически важных задач не возникает.
Экспериментально подтверждаемый закон Кулона автору «не очень удобен для расчёта электрического поля» (с.17), и он полагает, что математика (основываясь на теореме Гаусса) может дать более удобную форму расчёта. Вопрос, насколько корректную, перед автором не встаёт. Но мы именно этим вопросом и зададимся.
3. Рассмотрим аналог теоремы Гаусса на плоскости: источник поля находится в центре круга; линейный размер окружности (2πr), по которой распределяется вектор напряжённости поля, возрастает прямо пропорционально радиусу круга, следовательно, напряжённость поля убывает обратно пропорционально радиусу круга. Требуется найти интеграл нормальной составляющей напряжённости поля по окружности.
В силу полной симметрии положительных и отрицательных значений проекций вектора напряжённости поля на оси декартовой системы координат, по мере обхода окружности от нуля до 360º, искомый интеграл должен быть равен нулю. Почему же у Коши, который решал данную задачу именно на плоскости, получилась величина, равная длине окружности, приведённой к единичному радиусу, т.е. 2π? И аналогичный вопрос: почему у Гаусса, решавшего данную задачу в трёхмерном пространстве, получилась величина, равная величине поверхности сферы, приведённой к квадрату единичного радиуса, т.е. 4π?
Дело в том, что Коши решал задачу не на евклидовой плоскости (с действительными осями координат), а на комплексной плоскости, обладающей специфическими свойствами, описываемыми теорией аналитических функций, включающей теорию вычетов.
Но ведь и Гаусс, как выясняется, разрабатывал свою теорему не для евклидова пространства, а для пространства кватернионов, которые он открыл за 30 лет до Гамильтона, назвав их «мутациями», но, к сожалению, работу на эту тему не опубликовал (
http://ru.wikipedia.org/wiki/). К величине 4π приходит также при решении аналогичной задачи и выводе своего уравнения Пуассо́н, прямо указывая, что полученный им «интеграл может быть оценён путём интегрирования по контуру (теории вычетов)» (
http://ru.wikipedia.org/wiki/).
