Что вы называете нуль-мерным пространством и что - объектами в нём?
"Нулевое пространство. Пусть L — множество, состоящее только из одного элемента. Что представляет собой этот элемент, нам безразлично. Обозначим его буквой θ. Определим в множестве L линейные операции, полагая, что θ в сумме с самим собой дает θ и что при умножении θ на любое действительное число мы получаем также θ. Легко убедиться, что в этом случае требования аксиом I) — 8) соблюдены. Таким образом, данное множество L является действительным линейным пространством, состоящим из единственного, очевидно, нулевого элемента. Ясно, что с тем же успехом множество L можно определить как комплексное пространство.
Замечание. Все другие (действительные или комплексные) линейные пространства обязательно имеют бесконечное количество элементов. Именно, в п. 2 § 3 показано, что если линейное пространство содержит хотя бы один элемент а, отличный от нулевого, то для разных чисел α и β элементы αа и βа также различны.“ (Н.В.Ефимов, Э.Р. Розендорн. Линейная алгебра и многомерная геометрия )."
Поскольку при определении размерностей исходными являются представления о трехмерном пространстве, то реальность последнего заставляет рассматривать аналогичным образом и пространства других размерностей. В этом случае нульмерное пространство в сушествующем определении не реально, поскольку вектор нулевой длины ничему не соответствует, т.е. объект, который имел бы нулевую длину не существует. Это означает, что либо нульмерное пространство не существует и это всего лишь удобная математическая конструкция, либо данное определение нульмерного пространства требует пересмотра. Последнее наиболее вероятно хотя бы потому, что как видно из приведенной цитаты, определение нульмерного пространства не следует из общего определения размерности пространства, а вводится отдельным определением с условием сохранения справедливости восьми аксиом линейного пространства. Попытаемся дать определение нульмерного пространства исходя из общего определения размерности, согласно которому “размерность пространства - это наибольшее число его линейно независимых векторов.” Если для трехмерного пространства – это три линейно-независимых вектора, двумерного – 2, одномерного – 1, то для нульмерного – 0. Следовательно, именно отсутствие линейно-независимых векторов определяет нульмерное пространство, что одновременно означает то, что все вектора в нем линейно-зависимы. При этом из условия реальности объектов нульмерного пространства следует, что вектора (как объекты) в пространстве любой размерности, включая нульмерное пространство, должны иметь ненулевую длину.
Определение
Длина (модуль) вектора пространства любой размерности не равна нулю.
Линейная зависимость вектора нульмерного пространства означает, что для данного вектора a, модуль которого, |a|, не равен нулю, множитель α должен быть отличен от нуля, а произведение вектора на множитель должно быть равно нулю.
αa = 0,
где, α не равно нулю
Это возможно в том случае, если вектор a имея ненулевую длину |a| и ориентирован таким образом, что в любом заданном направлении длина вектора равна нулю. Иначе говоря, вектор расположен одновременно в двух противоположных направлениях, что в сумме дает ноль. Визуально, в трехмерном пространстве ему будет соответствовать не отрезок равный длине вектора, а шар, радиус которого равен длине вектора и направлен от центра или к центру (в двумерном – круг того же радиуса, в одномерном – отрезок равный двойной длине вектора). Алгебраически линейная-зависимость такого вектора a будет выражена через его равенство нулю как суммы двух длин данного вектора (модулей вектора |a|) с противоположными знаками.
αa = α(-|a|+|a|) = 0,
α не равно нулю, а = -|a|+|a| - равно нулю
С учетом этого новые определения нульмерного пространства и линейно-зависимого вектора будут звучать следующим образом.
Определение
Нульмерное пространство является множеством линейно-зависимых векторов.
Определение
Линейно-зависимый вектор это вектор, проекция которого на любое направление равна нулю, т.е. равна сумме двух модулей со знаком плюс и минус.
В таком представлении общепринятое определение вектора как направленного отрезка в полной мере сопоставимо с объектом ненульмерного пространства, например, объектом трехмерного пространства. Такой объект является линейно-независимым вектором.
Определение
Линейно-независимый вектор это вектор, проекция которого на некторое единственное направление равна его модулю со знаком плюс или минус.
