Умел ли ЛЕВ ДАВИДОВИЧ ЛАНДАУ правильно интегрировать? Вот в чём вопрос.

[sinaps]

Правильно Синапс.
А можешь вывести формулу для этого ряда.
\[ \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{8 n^{2} -0,5}=-\frac{\pi }{4}-1 \]
Я знаю ответ, но не знаю вывод.
Помоги пожалуйста.

дядь Вань, обязательно помогу, но только не сегодня. Работой завалили, извините

[Марина Славянка]

дядь Вань, обязательно помогу, но только не сегодня. Работой завалили, извините

хитро отмазался

[Λорενz]

Правильно Синапс.
А можешь вывести формулу для этого ряда.
\[ \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{8 n^{2} -0,5}=-\frac{\pi }{4}-1 \]
Я знаю ответ, но не знаю вывод.
Помоги пожалуйста.

что значит “вывести формулу для этого ряда“?
у Вас же есть уже ответ

[Дробышев]

\[ \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{8 n^{2} -0,5}=-\frac{\pi }{4}-1 \]
Я знаю ответ, но не знаю вывод.
Помоги пожалуйста.

\(\displaystyle\frac{1}{8n^2-1/2}=\frac{2}{16n^2-1}=\frac{2}{(4n-1)(4n+1)}=\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+1}\),

\(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{8n^2-1/2}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+1}\right)
=(-1-1)+(1/3-1/5)+(1/7-1/9)+\ldots=-1-(1-1/3+1/5-1/7+\ldots)\).

Но

\(\displaystyle 1-1/3+1/5-1/7+\ldots\equiv \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{\pi}{4}\),

так как

\(\displaystyle\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\ldots\),

\(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots\),

\(\displaystyle\mathrm{arctg}\,x=\int\frac{dx}{1+x^2}=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+\ldots\)

и при \(x=1\) имеем

\(\displaystyle\frac{\pi}{4}=\mathrm{arctg}\,1=1-1/3+1/5-1/7+\ldots\).

Окончательно,

\(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{8n^2-1/2}=-1-\frac{\pi}{4}\).

[Марина Славянка]

\(\displaystyle\frac{1}{8n^2-1/2}=\frac{2}{16n^2-1}=\frac{2}{(4n-1)(4n+1)}=\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+1}\),

\(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{8n^2-1/2}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+1}\right)
=(-1-1)+(1/3-1/5)+(1/7-1/9)+\ldots=-1-(1-1/3+1/5-1/7+\ldots)\).

Но

\(\displaystyle 1-1/3+1/5-1/7+\ldots\equiv \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{\pi}{4}\),

так как

\(\displaystyle\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\ldots\),

\(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots\),

\(\displaystyle\mathrm{arctg}\,x=\int\frac{dx}{1+x^2}=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+\ldots\)

и при \(x=1\) имеем

\(\displaystyle\frac{\pi}{4}=\mathrm{arctg}\,1=1-1/3+1/5-1/7+\ldots\).

Окончательно,

\(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{8n^2-1/2}=-1-\frac{\pi}{4}\).

Впечатляет... Ставлю ПЛЮС,
 синапсу, конечно, такое не доступно.

[sinaps]

дяде Дробышеву респект и уважуха. Остается только немного дополнить:

приведем общий член к божескому виду:

\[ \sum_{n=0}^\infty\frac{2}{16n^2-1} \]

найдем частичную сумму n членов ряда:

\[ \sum_{n=0}^n\frac{2}{16n^2-1} = \frac{1}{4}\left(\psi^{(0)}\left(\frac{3}{4}+n\right)+\psi^{(0)}\left(\frac{1}{4}\right)-\psi^{(0)}\left(\frac{5}{4}+n\right)-\psi^{(0)}\left(-\frac{1}{4}\right)\right) \]

и, вуаля, находим её предел:


\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4}\left(\psi^{(0)}\left(\frac{3}{4}+n\right)+\psi^{(0)}\left(\frac{1}{4}\right)-\psi^{(0)}\left(\frac{5}{4}+n\right)-\psi^{(0)}\left(-\frac{1}{4}\right)\right) = -1-\frac{\pi}{4} \]

а предел частичной суммы и есть, как известно, сумма ряда.

За сим на некоторое время откланиваюсь, ухожу в отпуск. Изредка, может быть, буду заходить. Коралловые рифы ждут меня, тра-ля-ля

[Иван Горин]

\(\displaystyle\frac{1}{8n^2-1/2}=\frac{2}{16n^2-1}=\frac{2}{(4n-1)(4n+1)}=\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+1}\),

\(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{8n^2-1/2}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+1}\right)
=(-1-1)+(1/3-1/5)+(1/7-1/9)+\ldots=-1-(1-1/3+1/5-1/7+\ldots)\).

Но

\(\displaystyle 1-1/3+1/5-1/7+\ldots\equiv \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{\pi}{4}\),

так как

\(\displaystyle\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\ldots\),

\(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots\),

\(\displaystyle\mathrm{arctg}\,x=\int\frac{dx}{1+x^2}=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+\ldots\)

и при \(x=1\) имеем

\(\displaystyle\frac{\pi}{4}=\mathrm{arctg}\,1=1-1/3+1/5-1/7+\ldots\).

Окончательно,

\(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{8n^2-1/2}=-1-\frac{\pi}{4}\).

Дробышев,
хорошо.
Вы мгновенно распознали ряд Короля Альтов, который я немного закамуфлировал.
И путём синтеза получили результат.
Уважаю математиков.
Спасибо.
Но Синапс так, же математик.
Только анализ вывода формулы у него не полный.

[Иван Горин]

дяде Дробышеву респект и уважуха. Остается только немного дополнить:

приведем общий член к божескому виду:

\[ \sum_{n=0}^\infty\frac{2}{16n^2-1} \]

найдем частичную сумму n членов ряда:

\[ \sum_{n=0}^n\frac{2}{16n^2-1} = \frac{1}{4}\left(\psi^{(0)}\left(\frac{3}{4}+n\right)+\psi^{(0)}\left(\frac{1}{4}\right)-\psi^{(0)}\left(\frac{5}{4}+n\right)-\psi^{(0)}\left(-\frac{1}{4}\right)\right) \]

и, вуаля, находим её предел:


\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4}\left(\psi^{(0)}\left(\frac{3}{4}+n\right)+\psi^{(0)}\left(\frac{1}{4}\right)-\psi^{(0)}\left(\frac{5}{4}+n\right)-\psi^{(0)}\left(-\frac{1}{4}\right)\right) = -1-\frac{\pi}{4} \]

а предел частичной суммы и есть, как известно, сумма ряда.

За сим на некоторое время откланиваюсь, ухожу в отпуск. Изредка, может быть, буду заходить. Коралловые рифы ждут меня, тра-ля-ля

Синапс,
спасибо.
Но вывод не полный, и не совсем понятный.
Можно подробнее, когда будет время после отпуска.
Что за функция пси от нуля?

[sinaps]

Что за функция пси от нуля?

это дигамма-функция. Первая производная логарифма гамма-функции.

все, поскакал по магазинам за кроссовками и гавайской рубахой

[Петр Иванович]

\(\displaystyle\frac{1}{8n^2-1/2}=\frac{2}{16n^2-1}=\frac{2}{(4n-1)(4n+1)}=\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+1}\), etc... etc... etc...

Дробышев, ты лучше скажи - ты уяснил наконец основы правильного интегрирования - нормального (с инкрементацией аргумента) и по-еврейски (с декрементацией аргумента)? 

[Король Альтов]

Дробышев, ты лучше скажи - ты уяснил наконец основы правильного интегрирования - нормального (с инкрементацией аргумента) и по-еврейски (с декрементацией аргумента)? 

Петруха! Ты заквасил хорошую тему, но на фоне sinaps, Дробышевa и меня его величества Короля Альтов ты в математике - студент!
Пойми студент - сейчас надо относиться к людям мягше, а на проблемы смотреть ширше - см. "Операция Ы и другие приключения Шурика", то-есть мои приключения. +@> +@>

[Король Альтов]

это дигамма-функция. Первая производная логарифма гамма-функции.

все, поскакал по магазинам за кроссовками и гавайской рубахой

Малыш! Счастливого тебе отдыха, но только с малышками не перебарщивай.

[Петр Иванович]

Петруха! Ты заквасил хорошую тему, но на фоне sinaps, Дробышевa и меня его величества Короля Альтов ты в математике - студент!
Пойми студент - сейчас надо относиться к людям мягше, а на проблемы смотреть ширше - см. "Операция Ы и другие приключения Шурика", то-есть мои приключения. +@> +@>

Назаров, ты как был остолопом, так и остался.
И с этим ничего не поделать.

[Иван Горин]

Посчитать сумму ряда
\[ \sum^\infty_{n=0} {\frac{(-1)^n}{2n+1}} \]

Ещё один метод вывода суммы таких рядов.
Применяем почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда:
\[ f(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+... \]
Дифференцируем
\[ f'(x)=1-x^2+x^4-x^6+...=\frac{1}{1+x^2} \]
Находим сумму функционального ряда путём интегрирования
\[ S(x)=\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctg (x) \]
И сумма исходного числового ряда при x=1
\[ S(1)=arctg (1)=\frac{\pi }{4} \]

[Иван Горин]

Уважаемый Дробышев. Я вас знаю как специалиста по многим разделам математики и физики.

Помогите пожалуйста ещё вывести формулу для функционального ряда:
\[ f(x)=x+\frac{x^5}{5}+\frac{x^9}{9}+ ... \]

[Марина Славянка]

а что это за "Вредитель" тут появился? Какой-то зловещий ник, а потом как раз после его появления  БФ проблемы...Не трудно и заметить.

[Дробышев]

Помогите пожалуйста ещё вывести формулу для функционального ряда:
\[ f(x)=x+\frac{x^5}{5}+\frac{x^9}{9}+ ... \]

Пожалуйста,

\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\ldots, \qquad \frac{1}{1-x^4}\equiv \frac{1}{4}\frac{1}{1+x}+\frac{1}{4}\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}=1+x^4+x^8+\ldots\,.\)

Интегрируем и получаем

\(\displaystyle x+\frac{x^5}{5}+\frac{x^9}{9}+\ldots =\frac{1}{4}\ln(1+x)-\frac{1}{4}\ln(1-x)+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\,x.\)

[Иван Горин]

Пожалуйста,

\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\ldots, \qquad \frac{1}{1-x^4}\equiv \frac{1}{4}\frac{1}{1+x}+\frac{1}{4}\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}=1+x^4+x^8+\ldots\,.\)

Интегрируем и получаем

\(\displaystyle x+\frac{x^5}{5}+\frac{x^9}{9}+\ldots =\frac{1}{4}\ln(1+x)-\frac{1}{4}\ln(1-x)+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\,x.\)

Спасибо Дробышев. Я рад, что вы опять на форуме.
У вас гораздо проще.
Пока я ждал ответ от вас из-за проблем с БФ, я также нашел решение, и также не методом синтеза и разложений в ряд Тейлора.
А из геометрической прогрессии, как и у вас.
\[ f(x)=x+\frac{x^5}{5}+\frac{x^9}{9}+... \]
\[ f'(x)=1+x^4+x^8+...=\frac{1}{1-x^4} \]
\[ x^4=z \]
\[ \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+z^4+... \]
\[ s(x)=\int \frac{dx}{1-x^4}=\frac{1}{2}\left ( \arctan x+\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right ) \]