Задача о падении тела

[A_Abramovich]

Задача о падении тела

Дана некоторая высота L = const. Пусть тело массой m падает с высоты L постепенно, со ступеньки на ступеньку. Каждое падение создает некоторый импульс и кинетическую энергию.

Требования по решению задачи:

1. Найти суммарную кинетическую энергию и суммарный импульс, при N  ступенях. То есть сумму импульсов, получаемую как суммирование импульсов при падении на каждую ступень. То же самое для кинетической энергии.

2. Найти суммарный импульс и суммарную кинетическую энергию при стремлении числа ступеней к бесконечности.

3. Представить аналитическое решение, и численные решения при количестве ступеней до 10 штук.

[A_Abramovich]

Должен вам сказать, что решение задачи вовсе не простое. Хотя, с точки зрения физики и математики в ней ничего сложного нет. Это уровень 9-10 класса средней школы. Тогда как физический смысл довольно интересен, и многое говорит о физике вообще.

Если вы будете решать задачу используя выражение A = mgh и поделите h  на ряд отрезков A = mg (h/N +h/N +... +h/N) то вы ничего особенного не увидите. Так как

h= h/N +h/N +... +h/N                                                            (1)

Но, такой подход не является физическим, так как он не реален. На самом деле, если разделить некоторую высоту на 2 отрезка посредине, то импульсы и кинетические энергии которые тело наберет на этих отрезках будут неравными. Так как на верхнем отрезке скорость падения тела меньше, чем на нижнем. Ввиду чего, тело проходит верхний отрезок за большее время, чем нижний. Но, так как импульс образуется как умножение силы на время, то набранные телом при прохождении отрезков импульсы будут неравными. Импульс набранный телом при прохождении верхнего отрезка будет больше, чем при прохождении нижнего.

P1>P2 так как   mgT1 > mgT2 ввиду того что  T1 > T2                         (2)

Тогда как кинетическая энергия выражается через импульс как K=P^2/2m. Ввиду чего, и кинетические энергии будут не равными. Что противоречит тому утверждению физики, что работа поля равна произведению силы на перемещение. То есть приведенная выше формула  (1)  на самом деле неверна.

Тогда как если вы возьмете верную формулу вычисляющую импульс по массе ускорению и времени, и будете считать суммарный импульс при падении со ступеньки на ступеньку при разном количестве ступенек, то вы с удивлением увидите, что величина суммарного импульса возрастает с количеством ступенек. При сохранении неизменной суммарной высоты падения. Соответственно, возрастает и суммарная кинетическая энергия, которую получает тело. То есть эта кинетическая энергия не является постоянной величиной. И возрастает с увеличением числа ступеней.

Если написать аналитическую формулу суммарного импульса и энергии, то вы обнаружите, что суммарный импульс и кинетическая энергия падения при стремлении числа ступеней к бесконечности, так  же становятся бесконечными. То есть, тело, падая с некоторой высоты последовательно по бесконечному количеству степеней приобретает бесконечный импульс и энергию. И это полностью происходит в соответствии с формулами физики. Вы можете сами проверить это и убедиться что это так.

Далее, интересно, какой вывод вы сделаете из этого факта и из этой задачи?

[A_Abramovich]

Для решения задачи воспользуемся формулой, соединяющей ускорение g, время падения T и проходимое телом расстояние H.

\[ H=\frac{gt^{2}}{2} \]

Из этой формулы мы можем получить время падения

\[ t=\sqrt{\frac{2H}{g}} \]

Так же мы можем вычислить время падения с высоты H  поделенной на n ступеней

\[ t_{n}=\sqrt{\frac{2H}{gn}}  \]

Откуда суммированием мы находим общее время падения тела по n  ступеням

\[ T_{n}=t_{n}n=n\sqrt{\frac{2H}{gn}}=\sqrt{\frac{2Hn}{g}}=T_{0}\sqrt{n} \]

где \( T_{0} \) время падения при отсутствии ступеней.
Теперь, зная общее время падения тела по n ступеням и ускорение свободного падения можно найти импульс при падении с одной ступени и кинетическую энергию падения с одной ступени.

\[ P_{n}=mgt_{n}=mg\sqrt{\frac{2H}{gn}}  \]

Поскольку, данные импульсы со направлены, то мы можем их сложить векторным образом и получить общий импульс.
\[ P(n)=P_{n}n=mgt_{n}n=mg\sqrt{\frac{2H}{gn}}n=mg\sqrt{\frac{2Hn}{g}}=mgT_{0} \sqrt{n}=P_{0} \sqrt{n} \]

Итак, мы нашли суммарный импульс, равный сумме импульсов, полученных в ходе падения с отдельных ступеней.

\( P(n)=P_{0} \sqrt{n} \)

Соответствующая данному импульсу кинетическая энергия будет равна
\[ K_{n}=\frac{P_{n}^{2}}{2m}=n\frac{P_{0}^{2}}{2m}=nK_{0} \]

\[ K_{n}=nK_{0} \]

Как видите, суммарный импульс и суммарная энергия будет пропорциональная количеству ступеней. И при их увеличении будет стремиться к бесконечности. Причина этого в том, что при увеличении суммарного количества ступеней суммарное время так же будет стремиться к бесконечности. 

[A_Abramovich]

Вот решение задачи, которое предложил Dachnik

Уважаемый Абрамович!
В вашей задачи два варианта.
Первый, это масса без трения о воздух абсолютно упруго ударяется   о ступеньку и поднимается на начальную высоту.
Время падения на следующую ступеньку складывается из времени подъема тела на исходную высоту и времени падения на следующую ступеньку.
Чем больше ступенек по высоте, тем больше времени уйдет на падение по всем ступенькам.
Если высота ступенек стремится к нулю, то время полного падания  стремится к бесконечности.


Так как после каждого удара масса возвращается  на прежнею высоту,
то кинетическая энергия удара переходит обратно в потенциальную
и остается неизменной mgL
При последнем падении с высоты  L  имеем mgL = mV²/2

В физике для энергии нет выражения \(E = \frac {p^2}{2m}\)
Такое налохотронили релятивисты.
В физике есть \(\int_0^v mvdv = mv^2/2\)
Нет увеличения скорости, нет увеличения энергии.
 \(\int_c^c mcdc = mc^2/2 - mc^2/2 = 0\)

Если масса пластично сваливается со ступеньки на ступеньку , то после каждого падения кинетическая энергия переходит в тепло.
При высоте ступеньки h, время падения со ступеньки на ступеньку \(t = \sqrt {2h/g}\)

Время полного падения при \(h = L/N\)
 \( T = N*\sqrt {2h/g} = \sqrt {N^2*2h/g} =\sqrt {N*L*2/g} \)


В тепло перейдет тепло E = Q = N*mgh = mgL

Вывод формулы кинетической энергии через импульс тела:

\( K=\frac{P^{2}}{2m}=\frac{m^{^{2}}v^{2}}{2m}=\frac{mv^{2}}{2} \)

Я думаю следует рассмотреть следующий вариант задачи, который мне больше всего интересен. Шарик падает со ступени на ступень последовательно, при этом его импульс полностью гасится. Но, предположим, что этот импульс передается некоторому другому шарику, тогда как ступени у нас просто мнимые. Итого, в конце падения с последней ступени при передаче импульса шарикам у нас возникает N шариков с соответствующими импульсами. Импульсы со направленные, поэтому мы можем их сложить геометрически и рассматривать общий импульс и связанную с этим импульсом кинетическую энергию. Как вы видите при увеличении числа ступенек суммарный импульс и его кинетическая энергия возрастает. А при стремлении числа ступеней к бесконечности, суммарный импульс и кинетическая энергия стремится к бесконечности. Возникает своеобразный парадокс, связанный с суммой импульсов.

Что вы на это скажете?

[A_Abramovich]

Dachnik, вы правильно определили время полного падения.
Оно стремится к бесконечности.

Время полного падения при \(h = L/N\)

\[ T = N*\sqrt {2h/g} = \sqrt {N^2*2h/g} =\sqrt {N*L*2/g} \]

Но, так как все это время шарик будет падать, то его суммарная  скорость и суммарный импульс будет равен.

\[  P = mgT = mgN*\sqrt {2h/g} \]

При увеличении числа ступеней суммарный импульс возрастает, а при стремлении числа ступеней к бесконечности стремится к бесконечности. Вы сами это отметили, так как время ускорения стремится к бесконечности. Соответственно, кинетическая энергия связанная с этим импульсом так же стремится к бесконечности.

Вас не смущает этот парадокс?

[в.макаров]

Задача о падении тела

Дана некоторая высота L = const. Пусть тело массой m падает с высоты L постепенно, со ступеньки на ступеньку. Каждое падение создает некоторый импульс и кинетическую энергию.

Требования по решению задачи:

1. Найти суммарную кинетическую энергию и суммарный импульс, при N  ступенях. То есть сумму импульсов, получаемую как суммирование импульсов при падении на каждую ступень. То же самое для кинетической энергии.

2. Найти суммарный импульс и суммарную кинетическую энергию при стремлении числа ступеней к бесконечности.

3. Представить аналитическое решение, и численные решения при количестве ступеней до 10 штук.

Полагаю, при таких исходных данных задача не имеет однозначного решения. Без указания потери энергии шарика при ударе об ступеньку эту задачу не решить.

[Dachnik]

Полагаю, при таких исходных данных задача не имеет однозначного решения. Без указания потери энергии шарика при ударе об ступеньку эту задачу не решить.

Вы конечно правы, но формально, такая задачка имеет решение.
Когда шар в вакууме абсолютно  упруго падает на пол и возвращается на прежнюю высоту, то получается вечное движение, но не вечный двигатель.
Шар будет сутками молотить по полу, но системе будет ни тепло ни холодно.

Берем шар падающий с высоты 10 метров, с потерями при ударе  на тепло 10%.
При первом падении потеря 0,1mg*10 = 1 mg
Второе падение будет с высоты 9 метров.
К потерям добавится 0,1mg*9 = 0.9 mg
При третьем 0,8 mg
..........
При десятом  будет падать с высоты 1 метр.
Остается посчитать, через сколько падений шар остановится.
Остановкой будем считать момент, когда шар будет упруго колебаться на плоскости без отрыва от плоскости.
Типа, после падания с высоты 1 метр, следующее падение будет с высоты 90 см и т.д.
Математическое конечное решение  решение должно быть.

[Evalmer]

Должен вам сказать, что решение задачи вовсе не простое.

А нам простота без надобности, поскольку нормальные герои всегда иду в обход.