Доказательство "сильной теоремы Гольдбаха-Эйлера

[Лошкарёв]

                                                                                                                      

    Несомненно, что всякое чётное число равно сумме двух нечётных чисел. Достаточно выписать таблицу сочетаний чётных чисел, получаемых из пар чисел нечётных, чтобы убедиться в том, что число вариаций всякого чётного числа  x равно  ¼ x.
 Необходимость доказательства утверждения того, что «всякое чётное число равно сумме двух простых чисел» следствие того, что только часть нечётных чисел являются простыми, а пробелы между ними, именуемые «провалы», достоверно рассчитаны быть не могут.
 Однако, известна «функция распределения простых чисел”:
                                                
           π(x)     ~    x/ ln x,                                                                (1)
а «провал» в интервале от 1 до x:

        g(x)       ~    (ln x)^2                                                                (2)

 «тильда» здесь означает, что отношение величин в левой и правой членах обоих выражений имеет пределом 1.
 Итак, чётное число x не будет иметь ни одной вариации в случае:
                                            
             (ln x)^2  =  ¼ x                                                                   (3)
                                                                  
 только при  x< 70   расчётный «провал» более ¼ x.
Так что при всех  x>> 70:
             (ln x)^2 << ¼ x                                                                   (4)
 
означающее, что вариации сумм простых чисел содержат все чётные числа от 4-х до чётного числа, следующего за всяким простым числом. По сути, неравенство (4) и есть доказательство «сильной теоремы Гольдберга – Эйлера».
  В качестве примера приводим таблицу чётных  от 4-х до 20-ти, получаемых вариациями сумм пар простых чисел 1, 3, 5, 7, 11, 17 и 19. Так как целью вычислений есть числа чётные, получаемые из пар чисел простых, то удобно пропущенные нечётные числа 9 и 15 обозначить нулями:
                                1  3  5  7    0  11  13   0   17  19:

                        1          4  6  8        12  14        18  20
                        3              8 10       14  16        20  22
                        5                 12       16  18        22  24
                        7                            18  20        24  26
                        0                              
                       11                                 24        28  30
                       13                                             30  32
                        0
                       17                                                  36      
Из таблицы видно, что числа вариаций чётных чисел из всех нечётных равны ¼ x.  Видно также, что два «провала» (числа 9 и 15) привели к уменьшению числа вариаций  чётных чисел  10, 12, 14, 16, 18 и 20., располагаемых по диагоналям перпендикулярным к диагонали слева вниз направо. В частности, при вычислении чётных чисел по парам всех чисел нечётных, число вариаций 20-ки было бы равно 5-ти, а из  за отсутствия составных нечётных чисел 9 и 15, фактическое их число 3.
 P. S. Мне не удалось поместить здесь более развёрнутое доказательство
          (продолжение экспозиции темы 4 января 2012 г.)
 

[МаленькийГном]

           
 Несомненно, что всякое чётное число равно сумме двух нечётных чисел. Достаточно выписать таблицу сочетаний чётных чисел, получаемых из пар чисел нечётных, чтобы убедиться в том, что число вариаций всякого чётного числа  x равно  ¼ x.

Это утверждение легко доказывается в общем случае. Из таблицы нельзя понять ничего - написать можно только конечную таблицу, а чётных чисел бесконечно много.

Необходимость доказательства утверждения того, что «всякое чётное число равно сумме двух простых чисел» следствие того, что только часть нечётных чисел являются простыми, а пробелы между ними, именуемые «провалы», достоверно рассчитаны быть не могут.

Ну и что?

Однако, известна «функция распределения простых чисел”:
                                                
            π(x)  ~    x/ ln х                                                                 (1)

а «провал» в интервале от 1 до x:

         g(x)  ~       (ln x)^2                                                              (2)

 "тильда" здесь означает, что отношение величин в левой и правой членах обоих уравнений имеет пределом 1.

                                                                      (3)
Откуда Вы взяли формулу (2). Вhttp://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4679/%D0%A0%D0%90%D0%A1%D0%9F%D0%A0%D0%95%D0%94%D0%95%D0%9B%D0%95%D0%9D%D0%98%D0%95 приводится наилучшая известная оценка (полученная в 1983 году). Если p_n - nое простое число и d_n=p_{n+1}-p_n, то последовательность (d_n) растёт гораздо медленне, чем последовательность (p_n^d), где d=7/12+epsilon (для любого epsilon>0).

\\
 Итак, чётное число x не будет иметь ни одной вариации в случае:
                                            
 (ln x)^2  =  ¼ x          
 

                                                                      (3)
Почему? Вариация - чётного числа  -  это разложение четного числа в сумму двух простых?

только при  x< 70   расчётный «провал» более ¼ x.
Так что при всех  x>> 70:
               (ln x)^2 << ¼ x                                                                    (4)
 
означающее, что вариации сумм простых чисел содержат все чётные числа от 4-х до чётного числа, следующего за всяким простым числом. В сути уравнения (4) и есть доказательство «сильной теоремы Гольдберга – Эйлера».

 
(4) не есть уравнение, это неравенство. Не понятен переход от вариации сумм простых чисел (что это такое?) к величине "провалов". Возможно, после того, как Вы сформулируете определения всех терминов, которые Вы применяете, вопросы прояснятся. Но не ранее.

 Нами были вычислены фактические и «теоретические» числа вариаций   чётных чисел от 4-х до 4500, используя формулу:
                                                                
   n(x)  = x / {ln2[(ln x)^2 –(ln 4)(ln x)]}                                      (5)

полученную из (1).

Докажите это утверждение.

 Из неё следует, что  n(x) растёт с ростом  x. Причина роста числа вариаций чётных чисел объясняется ростом числа «провалов» в среднем намного меньших  g(x), вычисляемых по (2). Это видно из фактических величин «провалов» в таблице простых чисел даже при небольшом их числе 1 000 000.
 Формула (5) довольно  хорошо оценивает наименьшие («нижние») числа вариаций даже при очень малых чётных числах. Например, при x = 4000, n(4000) = 116. Фактические значения в окрестности 4000 в среднем около 150-ти. В то же время величины вариаций при  x, кратных 6-ти, в разы большие малых в промежутках между таковыми. Например, при x = 4410,  n(4410) = 504.
  «Локальные максимумы» чисел вариаций чётных чисел строго следуют друг за другом, имитируя упорядоченные колебания. Это, тем более загадочно, что последовательность простых чисел от 1 до 3989-ти не свидетельствует о некой их «периодичности».
 
 P. S. Прошу прощения за пропущенный в начальной редакции символ  ln перед числом 4.

хорошо известно, что всякое чётное число,  начиная с некоторого (по моему начиная с 10 в степени 40 000), допускает разложение в сумму двух простых чисел. Так, что задачу можно решать простым перебором.

[Лошкарёв]

 Рад, что Вы и в этой теме "отдыхаете"!
 2. Вы так цитируете, что нет возможности отвечать "в порядке поступления реплик" и я вынужден "затрудняться" приводить фрагменты, чтобы отвечать...
 Итак:
Цитата: Лошкарёв от 23 Декабря 2011, 23:27:26
   "Несомненно, что всякое чётное число равно сумме двух нечётных чисел. Достаточно выписать таблицу сочетаний чётных чисел, получаемых из пар чисел нечётных, чтобы убедиться в том, что число вариаций всякого чётного числа  x равно  ¼ x"
Это утверждение легко доказывается в общем случае. Из таблицы нельзя понять ничего - написать можно только конечную таблицу, а чётных чисел бесконечно много.
1. Мне не приходила мысль, что его нужно "доказывать"... Оно очевидно и нужно мне для решения задачи. Это моё авторское право. Если это плагиат, то укажите источник. Для чего Вы это пишете?
Число повторений всякого чётного числа из всего ряда нечётных чисел, меньших х, равное 1/4 x, что не "общий случай"?
Вы русским языком плохо владеете, что ли?
2. Насчёт "из таблицы нельзя понять ничего"...
Она приведена в надежде, что читатель учил в школе арифметику и знает, что такое "простое число".
 Чтобы нечто "понять" нужно:
а) уметь
б) хотеть "умение применить"
 Ваша позиция "а я не хочу"... Я не сомневаюсь, "уметь" Вы в пределах школьной математики умеете.  
 Если Вы разделите каждое, вычисляемое суммированием пар нечётных чисел,  чётное число таблицы, то получите числа натурального с "пропусками". Кому придёт нужда приводить большое их число?
 И приведено столько, чтобы читатель видел следствие "пропусков"...
Цитата: Лошкарёв от 23 Декабря 2011, 23:27:26
Необходимость доказательства утверждения того, что «всякое чётное число равно сумме двух простых чисел» следствие того, что только часть нечётных чисел являются простыми, а пробелы между ними, именуемые «провалы», достоверно рассчитаны быть не могут.
Ну и что?
1.  "Необходимость доказательства... достоверно расчитаны быть не могут"
Вы русский язык понимаете?
Цитата: Лошкарёв от 23 Декабря 2011, 23:27:26
Однако, известна «функция распределения простых чисел”:
                                                
            π(x)  ~    x/ ln х                                                                 (1)

а «провал» в интервале от 1 до x:

         g(x)  ~       (ln x)^2                                                              (2)

 "тильда" здесь означает, что отношение величин в левой и правой членах обоих уравнений имеет пределом 1. числах. Например, при x = 4000, n(4000) = 116.
 Продолжение следует
   

[Лошкарёв]

   Продолжение ответа:
1. Читайте Д. Цагир "Простые числа".
 2. Если Вам известна лучшая оценка, нежели g(x) ~ (ln x )^2, то приведите формулу.
Кстати, так как и в этой теме только алгебра в пределах школьной программы, то желательно формулы писать в привычной форме.
Цитата: Лошкарёв от 23 Декабря 2011, 23:27:26
\\
 Итак, чётное число x не будет иметь ни одной вариации в случае:
                                            
 (ln x)^2  =  ¼ x          
 
                                                                      (3)
Почему? Вариация - чётного числа  -  это разложение четного числа в сумму двух простых?
 1. Это Вы, уж слишком... Например, 6 = 1+5 = 2+ 4
В теме идет речь о "вариациях" = числах одного и того же чётного числа из разных нечётных чисел, меньших этого чётного. Так что "провал" длиной  1/4 x
 имеет диагональ длиной 1/4 x.
 Для того, чтобы увидеть это, взгляните на таблицу.
Цитата: Лошкарёв от 23 Декабря 2011, 23:27:26
только при  x< 70   расчётный «провал» более ¼ x.
Так что при всех  x>> 70:
               (ln x)^2 << ¼ x                                                                    (4)
 
означающее, что вариации сумм простых чисел содержат все чётные числа от 4-х до чётного числа, следующего за всяким простым числом. В сути уравнения (4) и есть доказательство «сильной теоремы Гольдберга – Эйлера».
  
(4) не есть уравнение, это неравенство. Не понятен переход от вариации сумм простых чисел (что это такое?) к величине "провалов". Возможно, после того, как Вы сформулируете определения всех терминов, которые Вы применяете, вопросы прояснятся. Но не ранее.
 1. Спасибо!
Допустил глупость по привычке писать об уравнениях...
 2. Я надеялся, что читатель увидит, приведенные в таблице "вариации" = повторения и "провалы" = отсутствия нечётных чисел, не являющихся простыми.
 3. "Писатель" пишет, обыкновенно, для определённого рода "читателя". Я пишу для усвоивших понятия алгебры школьного курса и не против "пояснений".
 
Цитата: Лошкарёв от 23 Декабря 2011, 23:27:26

 Нами были вычислены фактические и «теоретические» числа вариаций   чётных чисел от 4-х до 4500, используя формулу:
                                                                
   n(x)  = x / {ln2[(ln x)^2 –(ln 4)(ln x)]}                                      (5)

полученную из (1).
Докажите это утверждение.
 Вы просите "пояснить" или требуете "доказать"?
Цитата: Лошкарёв от 23 Декабря 2011, 23:27:26

 Из неё следует, что  n(x) растёт с ростом  x. Причина роста числа вариаций чётных чисел объясняется ростом числа «провалов» в среднем намного меньших  g(x), вычисляемых по (2). Это видно из фактических величин «провалов» в таблице простых чисел даже при небольшом их числе 1 000 000.
 Формула (5) довольно  хорошо оценивает наименьшие («нижние») числа вариаций даже при очень малых чётных числах. Например, при x = 4000, n(4000) = 116. Фактические значения в окрестности 4000 в среднем около 150-ти. . Прошу прощения за пропущенный в начальной редакции символ  ln перед числом 4."
Вы пишете: "хорошо известно, что всякое чётное число,  начиная с некоторого (по моему начиная с 10 в степени 40 000), допускает разложение в сумму двух простых чисел. Так, что задачу можно решать простым перебором".
 1. Речь идёт не о том, что Вам "хорошо известно", а о том, что писал Эйлер:"Я знаю, что всякое чётное число равно сумме двух простых чисел, но доказать этого не могу".
Ваши слова о "простом переборе" бесконечного числа простых чисел при получении бесконечного числа чисел чётных, свидетельствуют об упорном нежелании понимать написанное. Было это и в теме о ВТФ, так  в этой.
 Кстати, в той теме Вы мне кое что советовал...
Как говорят гнрманцы "wie du mir, so ich dir"
Так что и я Вам советую думать над Вашими "размышлизмами".
Неровён час; догоните в "алгебраической невменяемости" г-жу "Шведку" из форума ж-ла "Наука и жизнь".
 Пишете толковее.

   

[МаленькийГном]

Вы пишете: "хорошо известно, что всякое чётное число,  начиная с некоторого (по моему начиная с 10 в степени 40 000), допускает разложение в сумму двух простых чисел. Так, что задачу можно решать простым перебором".
 1. Речь идёт не о том, что Вам "хорошо известно", а о том, что писал Эйлер:"Я знаю, что всякое чётное число равно сумме двух простых чисел, но доказать этого не могу".
Ваши слова о "простом переборе" бесконечного числа простых чисел при получении бесконечного числа чисел чётных, свидетельствуют об упорном нежелании понимать написанное. Было это и в теме о ВТФ, так  в этой.
 Кстати, в той теме Вы мне кое что советовал...
Как говорят гнрманцы "wie du mir, so ich dir"
Так что и я Вам советую думать над Вашими "размышлизмами".
Неровён час; догоните в "алгебраической невменяемости" г-жу "Шведку" из форума ж-ла "Наука и жизнь".
Пишете толковее.

Не грубите. Вы обо мне вообще ничего не знаете. Вы сами сказали о своих публикациях. Я их почитал и у меня сложилось мнение об этих публикациях.

Ещё в 1937 году Виноградов Иван Матвеевич доказал, что найдётся натуральное число n_0 такое, что всякое чётное число, большее n_0 можно разложить в сумму двух простых чисел.  Им не было явно найдена оценка числа n_0. Цитирую по википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%EE%E1%EB%E5%EC%E0_%C3%EE%EB%FC%E4%E1%E0%F5%E0

В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в 1989 году Ванг и Чен не опустили нижнюю грань до e^e^11,503 ≈ 3,33339×10^43 000 ≈ 10^43 000,5, что, тем не менее, по-прежнему находится вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел при современном развитии вычислительной техники.

Посоветовать я могу только одно - учитесь, учитесь  и ещё раз учитесь. Я, например, до сих пор этим занимаюсь.

[Лошкарёв]

Не грубите. Вы обо мне вообще ничего не знаете. Вы сами сказали о своих публикациях. Я их почитал и у меня сложилось мнение об этих публикациях.

Ещё в 1937 году Виноградов Иван Матвеевич доказал, что найдётся натуральное число n_0 такое, что всякое чётное число, большее n_0 можно разложить в сумму двух простых чисел.  Им не было явно найдена оценка числа n_0. Цитирую по википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%EE%E1%EB%E5%EC%E0_%C3%EE%EB%FC%E4%E1%E0%F5%E0
Посоветовать я могу только одно - учитесь, учитесь  и ещё раз учитесь. Я, например, до сих пор этим занимаюсь.

1. Я не имею любопытствовать "что то о Вас узнать".
Меня интересует только то, что Вы пишете по теме.
Вот и в теме о ВТФ Вы начали обсуждать с "Анаксагором" вопросы вне темы.
 2. И что Вы прочли в них (сайт то недоступен)  у меня нового по ВТФ?
Или нечто неправильное нашли? "Никому не интересно", пишете. Но Вы то столько времени истратили понапрасну... В дискуссиях обыкновенно приводят "мнения" о сути утверждений, а не "мнения" о чьих то "мнениях".
3. И в этом ответе Вы пишете не о моём доказательстве, а о вещах, моего доказательства, не касающихся... Зачем пишете вещи "посторонние"?
4. Вы мне писали:"Решили поиздеваться над "сильной теоремой..." Намекали о моей "неподготовленности?
И смеете писать о моей "грубости"!
5. Советуйте в пределах поставленной темы.
Вы пишете, что "до сих пор учитесь", советуя мне "учиться, учиться и ещё раз учиться". Я демонстрирую знания конкретные строго по теме. А Вы "учитесь" отвечать репликами, с темой не связанными. "Забалтывание" испытанный приём...
 Судя по Вашим репликам в той и этой темах, сомнительно, чтобы Вы умели "учиться".
6. Ваше непонимание сути ВТФ и неприкрыто "барский тон" о многом говорит...
7. И в этой теме Вы начали с "экивоков", к делу не отнлсящихся.
8. Публикуемое доказательство для всякого чётного числа, как того и требует "сильная теорема..."
9. Намекаете вновь на мою "неподготовленность"?
Как говорят люди русские:"Чья бы корова мычала..."
  Мне не удалось поместить кряду более подробную экспозицию темы. Вышло двумя частями в разных местах.

[Лошкарёв]

                                                                                                                     

Продолжение экспозиции темы:

  Удобно, в приведенного образца таблице, обозначить всякое чётное число единицей, а элементы в строках и столбцах, соответствующих пропущенным составным нечётным числам, обозначить нулями. В таком случае приведенная выше таблица, примет вид:
                                1  3  5  7   0  11  13   0   17  19:

                        1          1  1  1   0   1    1    0    1   1
                        3              1  1   0   1    1    0    1   1
                        5                  1   0   1    1    0    1   1
                        7                       0   1    1    0    1   1
                        0                            0    0    0    0   0
                       11                                 1    0    1   1
                       13                                       0    1   1
                        0                                        0    0   0
                       17                                             0   1
 
 В ней нули элементы пустого множества, а единицы элементы множества всех чётных,  чисел, в частности от 4-х до 20-ти.
Множество простых чисел бесконечно, следовательно бесконечно и число чисел составных, в частности, чётных.
 Рассуждая формально - считая числами только нечётные  простые числа, имеем следствие: всякое чётное число есть сумма двух простых чисел.
 Пока что мы установили, что свойство функции простых чисел таково, что серия нулей в первой строке таблицы намного менее  четверти очередного чётного числа. Осталось убедиться в том, что серия нулей во всякой диагонали одинаковых чётных всегда менее числа его повторений на ней, т. е. в том, что  g(0) < ¼ x,  при всех x.
 Функция простых чисел в исходных строке и столбце одинакова  π(x) ~  1/(ln x). Но каждое чётное число есть сумма пары простых, так что они «зависимы». Несколько упрощая, можно положить, что она равна  1/[(ln 2)(ln x)]. Поэтому, для «единиц» и «нулей» эти функции будут: 1/[(ln 2)(ln ¼ x)]   и   {1- 1/[(ln 2)(ln ¼ x)]}.
 Но на диагоналях равных чётных чисел нулями оказываются и элементы «пересечений» всякой «нулевой» строки или столбца со строками или столбцами  простых чисел. Так что «функция нулей» этих диагоналей будет суммарной:

 π(0,x) = {{1- 1/[(ln 2)(ln ¼ x)]}}^2  +
 {1/[(ln 2)(ln ¼ x)]}{{1- 1/[(ln 2)(ln ¼ x)]}} 

 Так что окончательно:

     π(0,χ)   =  1 -  1/[(ln 2)(ln ¼ x)]                                                (5)

Соответственно «функция числа повторений всякого чётного числа  x:

                   n(x)  =  x/[4ln(2)(ln ¼ x)]                                           (6)

при всяком  х  не равна нулю: всякое чётное число равно сумме двух простых чисел.
  Для сравнения эффективности расчёта числа повторений чётных чисел в сравнении с числами фактическими, приводим небольшую табличку:
                           
                          x:                 500    1002   2000   3000   4000   5000
                        n(x):                37       65     116      163    209     253
                «фактические»:        37       72     109      167    206       -
Начиная с числа 2000, в качестве «фактических» приведены средние из трёх  смежных значений.
  Известно, что «функция простых чисел» неточна при малых простых числах, но в случае до 5000 тысяч она оказалась поразительно точна.
 Ряд  фактических значений повторений чётных чисел (от 4-х до 4500) обнаружил неожиданные, строго периодические колебания  при числах, кратных 6-ти, при том, что сами простые числа  периодичности не обнаруживают

[МаленькийГном]

Продолжение экспозиции темы:

  Удобно, в приведенного образца таблице, обозначить всякое чётное число единицей, а элементы в строках и столбцах, соответствующих пропущенным составным нечётным числам, обозначить нулями. В таком случае приведенная выше таблица, примет вид:
                                1  3  5  7   0  11  13   0   17  19:

                        1          1  1  1   0   1    1    0    1   1
                        3              1  1   0   1    1    0    1   1
                        5                  1   0   1    1    0    1   1
                        7                       0   1    1    0    1   1
                        0                            0    0    0    0   0
                       11                                 1    0    1   1
                       13                                       0    1   1
                        0                                        0    0   0
                       17                                             0   1
 
 В ней нули элементы пустого множества, а единицы элементы множества всех чётных,  чисел, в частности от 4-х до 20-ти.

Пустое множество не содержит ни одного элемента (по определению пустого множества).

Множество простых чисел бесконечно, следовательно бесконечно и число чисел составных, в частности, чётных.

Бесконечость множества чётных чисел не есть следствие множества составных чисел, а вытекает из бесконечости множества натуральных чисел (и в частности - простых чисел).

Рассуждая формально - считая числами только нечётные  простые числа, имеем следствие: всякое чётное число есть сумма двух простых чисел.

Если "число" до двоеточия это нечётное простое число, то что такое четное число после двоеточия?

Пока что мы установили, что свойство функции простых чисел таково, что серия нулей в первой строке таблицы намного менее  четверти очередного чётного числа. Осталось убедиться в том, что серия нулей во всякой диагонали одинаковых чётных всегда менее числа его повторений на ней, т. е. в том, что  g(0) < ¼ x,  при всех x.

По конечной таблице нельзя установить свойство бесконечного множества. Вы хотите сказать, что количество нечётных чисел, меньших данного четного числа x гораздо меньше x/4? Серия - это не число и сравнивать серии и числа нельзя.

Функция простых чисел в исходных строке и столбце одинакова  π(x) ~  1/(ln x). Но каждое чётное число есть сумма пары простых, так что они «зависимы».

Вы доказываете гипотезу Гольбаха? Если да, то как понять фразу "каждое чётное число есть сумма пары простых"?

Несколько упрощая, можно положить, что она равна  1/[(ln 2)(ln x)].

"Функция простых чисел" - что это такое? С учётом того, что 1/ln(x)<1 для всех x>3, то рассматриваемая Вами функция простых чисел не есть функция распределения простых чисел:
\[ \pi(x)=\sum_{p<x}1 \qquad (1) \]
где суммирования берётся по множеству простых чисел, не превосходящих x. Из этого определения следует, что функция (1) неубывает.

[МаленькийГном]

1. Я не имею любопытствовать "что то о Вас узнать".
Меня интересует только то, что Вы пишете по теме.
Вот и в теме о ВТФ Вы начали обсуждать с "Анаксагором" вопросы вне темы.

Не любопытствуете, а обвиняете (притом бездоказательно) меня в невежестве. А писал я только вопросы, на которые Вы не отвечали.

2. И что Вы прочли в них (сайт то недоступен)  у меня нового по ВТФ?

А у Вас есть что то новое о ВТФ?

Или нечто неправильное нашли? "Никому не интересно", пишете. Но Вы то столько времени истратили понапрасну... В дискуссиях обыкновенно приводят "мнения" о сути утверждений, а не "мнения" о чьих то "мнениях".

Неправильное можно найти в доказательстве. А в Ваших текстах я не видел ни одного доказательства.

Вы сами сказали о своих публикациях в других интернет-ресурсах. Я их нашёл и прочитал.

3. И в этом ответе Вы пишете не о моём доказательстве, а о вещах, моего доказательства, не касающихся... Зачем пишете вещи "посторонние"?
4. Вы мне писали:"Решили поиздеваться над "сильной теоремой..." Намекали о моей "неподготовленности? 
И смеете писать о моей "грубости"!

Я - иронизирую. Учтите, слово поиздеваться я зачеркнул.

5. Советуйте в пределах поставленной темы.
Вы пишете, что "до сих пор учитесь", советуя мне "учиться, учиться и ещё раз учиться". Я демонстрирую знания конкретные строго по теме. А Вы "учитесь" отвечать репликами, с темой не связанными. "Забалтывание" испытанный приём...

А вы отвечайте на вопросы

Судя по Вашим репликам в той и этой темах, сомнительно, чтобы Вы умели "учиться".

Не Вам судить.

6. Ваше непонимание сути ВТФ и неприкрыто "барский тон" о многом говорит...

Я понимаю, что сама по себе ВТФ  - очень частный случай диафантового урвнения и интересная не она сама, а методы, позволившие её доказать. Насчёт "барского тона" - не знаю, я старался писать как можно в более нейтральном стиле.

7. И в этой теме Вы начали с "экивоков", к делу не отнлсящихся.

8. Публикуемое доказательство для всякого чётного числа, как того и требует "сильная теорема..."
9. Намекаете вновь на мою "неподготовленность"?
Как говорят люди русские:"Чья бы корова мычала..."
  Мне не удалось поместить кряду более подробную экспозицию темы. Вышло двумя частями в разных местах.

Воспринимать предложение "учиться, учиться и ещё раз учиться" как намёк на "неподготовленность"? Это уже слишком.

[Лошкарёв]

Пустое множество не содержит ни одного элемента (по определению пустого множества).Бесконечость множества чётных чисел не есть следствие множества составных чисел, а вытекает из бесконечости множества натуральных чисел (и в частности - простых чисел).Если "число" до двоеточия это нечётное простое число, то что такое четное число после двоеточия?По конечной таблице нельзя установить свойство бесконечного множества. Вы хотите сказать, что количество нечётных чисел, меньших данного четного числа x гораздо меньше x/4? Серия - это не число и сравнивать серии и числа нельзя.Вы доказываете гипотезу Гольбаха? Если да, то как понять фразу "каждое чётное число есть сумма пары простых"?"Функция простых чисел" - что это такое? С учётом того, что 1/ln(x)<1 для всех x>3, то рассматриваемая Вами функция простых чисел не есть функция распределения простых чисел:
\[ \pi(x)=\sum_{p<x}1 \qquad (1) \]
где суммирования берётся по множеству простых чисел, не превосходящих x. Из этого определения следует, что функция (1) неубывает.

1. Я обозначил числом "ноль" пропущенные в ряду нечётных чисел составные нечётные числа. конечно неудачно назвав множество нулей пустым.В теме о целых числах эта неточность не важна и я её исправлю.
2. Я ничего "не хочу сказать", а знаю , что в бесконечном ряду нечётных чисел простые числа составляют только часть их.
3. Всякое чётное число есть сумма двух чисел нечётных. Считая числами только простые, имеем всякое чётное число суммой двух простых. Вполне возможно, что "сильная теорема Гольбаха - Эйлера" связана с понятием простых чисел в качестве чисел, обладающих важной особенностью - они несоставные.
4. Эта таблица такая же "конечная" как "конечен" ряд натуральных чисел 1, 2, 3... Только в ней , на местах нечётных составных чисел проставлены нули. Представляя её читателям, я расчитывал, что они знают, что есть ряд натуральных чисел и что в этом ряду вслед за каждым нечётным числом следует чётное.
5. В  исходной таблице выписаны сочетания из  n простых чисел по m = 2. Странно, что Вы в школе её не видели... Ну, хотя бы на диаграммах парных игр, что ли...
6. Никогда не слышали, что число чисел нечётных равно половине членов числа натурального ряда? И не знали, что число повторений каждого чётного числа в таблице сумм пар нечётных чисел равно четверти (при кратном 4) чётного числа, следующего за числом нечётным? Каждого!
Так хотя бы в таблице посчитайте, продлив её, скажем, до 100.
7. Вы уже не первый раз приписываете мне дурацкие мысли... Я пишу числах повторений чётных чисел x в таблице сочетаний по 2, а их 1/4x. Моя таблица с "иксами", включая   x= 20, Вам коротка? Постройте себе до 100!
 8. С  Вами было трудно даже в пределах школьной алгебры, а тут нужно не только прочесть а и понять, хотя бы лекцию Дона Цагира "Простые числа".
 Я пишу "функция простых чисел", в традиции принятой и  Д. Цагиром. Про "функцию распределения простых чисел" я писал?
Не помню такого.
Ещё в древности доказано, что число простых чисел бесконечно. Применяете "функция не убывает", для "учёности", что ли?
Кстати, цитирование,  таким манером лишает меня возможности видеть цитаты, по поводу которых Вы задаёте вопросы. Неудобно до крайности.
9. Не понимаю, чем вызвано Ваше нежелание писать формулы в привычной для школьников и людей со средним образованием?

[МаленькийГном]

1. Я обозначил числом "ноль" пропущенные в ряду нечётных чисел составные нечётные числа. конечно неудачно назвав множество нулей пустым.В теме о целых числах эта неточность не важна и я её исправлю.

2. Я ничего "не хочу сказать", а знаю , что в бесконечном ряду нечётных чисел простые числа составляют только часть их.
3. Всякое чётное число есть сумма двух чисел нечётных. Считая числами только простые, имеем всякое чётное число суммой двух простых. Вполне возможно, что "сильная теорема Гольбаха - Эйлера" связана с понятием простых чисел в качестве чисел, обладающих важной особенностью - они несоставные.
4. Эта таблица такая же "конечная" как "конечен" ряд натуральных чисел 1, 2, 3... Только в ней , на местах нечётных составных чисел проставлены нули. Представляя её читателям, я расчитывал, что они знают, что есть ряд натуральных чисел и что в этом ряду вслед за каждым нечётным числом следует чётное.

5. В  исходной таблице выписаны сочетания из  n простых чисел по m = 2. Странно, что Вы в школе её не видели... Ну, хотя бы на диаграммах парных игр, что ли...
6. Никогда не слышали, что число чисел нечётных равно половине членов числа натурального ряда? И не знали, что число повторений каждого чётного числа в таблице сумм пар нечётных чисел равно четверти (при кратном 4) чётного числа, следующего за числом нечётным? Каждого!
Так хотя бы в таблице посчитайте, продлив её, скажем, до 100.

Следует продолжать её до бесконечности. Только как это сделать.
Что такое половина бесконечного множества?  Подобные утверждения получается не путём изучения таблицы (даже очень длинной), а доказывается (притом очень просто).

7. Вы уже не первый раз приписываете мне дурацкие мысли... Я пишу числах повторений чётных чисел x в таблице сочетаний по 2, а их 1/4x. Моя таблица с "иксами", включая   x= 20, Вам коротка? Постройте себе до 100!
 8. С  Вами было трудно даже в пределах школьной алгебры, а тут нужно не только прочесть а и понять, хотя бы лекцию Дона Цагира "Простые числа".

Вы имеете в виду статью Д. Цагира "ПЕРВЫЕ 50 МИЛЛИОНОВ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ"? Если нет - дайте ссылку. Но и у него есть неточности, например:

Вам, конечно, известно, что простым числом называется отличное от 1 натуральное число, не делящееся ни на какие иные натуральные числа, кроме 1; во всяком случае, именно такое определение дают специалисты по теории чисел.

Цагир - научно популярная статья. Я рекомендую почитать обзор Манина и Панчишкина http://www.mathnet.ru/links/ddb91a280e19a3cd5c07b250e9aa9d4b/intf147.pdf

Я пишу "функция простых чисел", в традиции принятой и  Д. Цагиром. Про "функцию распределения простых чисел" я писал?
Не помню такого.

Я этого не утверждаю.  У Цагира слов "функция простых чисел" я не нашёл.  Вы  оперируете с некоторой функцией  n(x), определение которой Вы не даёте (Вы вообще не даёте ни одного определения).  Но по косвенным признакам можно предположить, что мы говорим об одной и той же функции. Но тогда асимптотическое равенство n(x)~1/ln(x) (при x стремящемся к плюс бесконечности) заведомо не выполнятся.

Ещё в древности доказано, что число простых чисел бесконечно. Применяете "функция не убывает", для "учёности", что ли?

Я констатировал очевидный факт, что функция n(x) не убывает - Вы с этим утверждением не согласны? Поэтому ваша ирония выглядит неуместной, фраза  "Применяете "функция не убывает"" - как её понимать?

Кстати, цитирование,  таким манером лишает меня возможности видеть цитаты, по поводу которых Вы задаёте вопросы. Неудобно до крайности.
9. Не понимаю, чем вызвано Ваше нежелание писать формулы в привычной для школьников и людей со средним образованием?

Не знаю, я комментирую Ваши утверждения по предложениям. Когда Вы мне отвечаете, все мои комментарии свалены в одну кучу. Возможно это проблемы движка  форума. Ниже редактора сообщения  есть раздел сообщения в этой теме. Смотрите его и увидите всё, что нужно.

[Лошкарёв]

Следует продолжать её до бесконечности. Только как это сделать.
Что такое половина бесконечного множества?  Подобные утверждения получается не путём изучения таблицы (даже очень длинной), а доказывается (притом очень просто).Вы имеете в виду статью Д. Цагира "ПЕРВЫЕ 50 МИЛЛИОНОВ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ"? Если нет - дайте ссылку. Но и у него есть неточности, например:Цагир - научно популярная статья. Я рекомендую почитать обзор Манина и Панчишкина http://www.mathnet.ru/links/ddb91a280e19a3cd5c07b250e9aa9d4b/intf147.pdfЯ этого не утверждаю.  У Цагира слов "функция простых чисел" я не нашёл.  Вы  оперируете с некоторой функцией  n(x), определение которой Вы не даёте (Вы вообще не даёте ни одного определения).  Но по косвенным признакам можно предположить, что мы говорим об одной и той же функции. Но тогда асимптотическое равенство n(x)~1/ln(x) (при x стремящемся к плюс бесконечности) заведомо не выполнятся.Я констатировал очевидный факт, что функция n(x) не убывает - Вы с этим утверждением не согласны? Поэтому ваша ирония выглядит неуместной, фраза  "Применяете "функция не убывает"" - как её понимать?Не знаю, я комментирую Ваши утверждения по предложениям. Когда Вы мне отвечаете, все мои комментарии свалены в одну кучу. Возможно это проблемы движка  форума. Ниже редактора сообщения  есть раздел сообщения в этой теме. Смотрите его и увидите всё, что нужно.

Спасибо за точное следование вопросу темы!
1. Мне и в голову не приходило "продолжать до бесконечности" как числа натурального ряда, так и числа чётные. Это Вы мыслите.
2. Что число повторений каждого чётного числа, получаемое парным суммированием чисел нечётных равно  1/4 x, при всяком чётном числе  x видеть не только из таблицы приведенной, а и показать из формулы числа сочетаний n = [x(x - 1)]/2. А с "пропусками" нечётных составных чисел их меньше. Каждого чётного числа!, следующего за предшествующим ему число нечётным.
 О какой "половине" Вы пишете? Таблица бесконечна всеми чётными числами.
1. Я не лишил единицу статуса простого числа потому, что это "не по мне" и искажало бы суть дела. Вычеркните 1-цу, а с ней и чётное число 4. В остальных диагоналях четных чисел уменьшилост бы на 1, им "не так обидно, как 4-ке".
2. У Д. Цагира в лекции есть многое о "функции простых чисел":π(x) ~ 1/ln x.
число простых чисел в х = 1. Потому, что число простых чисел, меньших х равно:x[1/ln x]. Видите, что нет тут "суммирования", о котором Вы писали. Он приводит сравнительную таблицу фактического и "теоретического" = оценочного числа простых чисел до, кажется,  10^12 и разницы так малы!
3. Всякое уточнение функции π(x)  позволит точнее  оценить число повторений каждого чётного числа. Но в данном случае важно одно:при всех чётных числах на диагонали повторений не могут быть только нули. Равномерное логарифмическое распределение числа повторений чётных чисел, получаемых
парным суммированием чисел простых, исключает эту возможность.
 Продолжу, извините!

[Лошкарёв]

Следует продолжать её до бесконечности. Только как это сделать.
Что такое половина бесконечного множества?  Подобные утверждения получается не путём изучения таблицы (даже очень длинной), а доказывается (притом очень просто).Вы имеете в виду статью Д. Цагира "ПЕРВЫЕ 50 МИЛЛИОНОВ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ"? Если нет - дайте ссылку. Но и у него есть неточности, например:Цагир - научно популярная статья. Я рекомендую почитать обзор Манина и Панчишкина http://www.mathnet.ru/links/ddb91a280e19a3cd5c07b250e9aa9d4b/intf147.pdfЯ этого не утверждаю.  У Цагира слов "функция простых чисел" я не нашёл.  Вы  оперируете с некоторой функцией  n(x), определение которой Вы не даёте (Вы вообще не даёте ни одного определения).  Но по косвенным признакам можно предположить, что мы говорим об одной и той же функции. Но тогда асимптотическое равенство n(x)~1/ln(x) (при x стремящемся к плюс бесконечности) заведомо не выполнятся.Я констатировал очевидный факт, что функция n(x) не убывает - Вы с этим утверждением не согласны? Поэтому ваша ирония выглядит неуместной, фраза  "Применяете "функция не убывает"" - как её понимать?Не знаю, я комментирую Ваши утверждения по предложениям. Когда Вы мне отвечаете, все мои комментарии свалены в одну кучу. Возможно это проблемы движка  форума. Ниже редактора сообщения  есть раздел сообщения в этой теме. Смотрите его и увидите всё, что нужно.

А я  в этой "куче" Вас винил!
Почему то не печатаются вставки "синего тона" и отвечать, не видя причины реплик оппонента, приходится бог знает как!
 Продолжаю прерванное.
4. Лекция Дона Цагира обстоятельная, рецензированная и со ссылками (30-ть, что ли). Для того, о чём пишу я в ней достаточно проверенных сведений по теме. Функция обозначена малой греческой "пи", но мой комп на (E...) -эллинский?, так нет л в виде опрокинутого "г"пишет:π.
 "Ирония" была от того, что эта самая "функция простых чисел":π(x) = 1/ln x монотонно убывающая. Я понял, что Вы пишете о функции числа простых чисел до х. То есть  о  n(p) = x/ln x. Вы, таки, ошибались. С кем не бывает!
5. Что нет определения... Я сослался на Д. Цагира, приводя формулу.
 Кстати, я и так "не уместился" в дозволенные размеры экспозиции темы.
 6. Спасибо за совет! Я, ведь, ранее  видел это "ниже редактора" и ...
 В таком "формате" я рад сотрудничать. Вы, таки, несколько иной "математик" от встречавшихся мне ранее.
Мне приходится "поторапливаться" ибо завтрашнего дня может и не наступить. Дело житейское.
  P. S. Я помню некоторые события года 1939, больше года 1940-го, и превосходно годы 1942 - 1945, когда был в ведении властей германских в рейхе.

[МаленькийГном]

А я  в этой "куче" Вас винил!
Почему то не печатаются вставки "синего тона" и отвечать, не видя причины реплик оппонента, приходится бог знает как!
 Продолжаю прерванное.
4. Лекция Дона Цагира обстоятельная, рецензированная и со ссылками (30-ть, что ли). Для того, о чём пишу я в ней достаточно проверенных сведений по теме.

Хороший обзор, временами излишне эмоциональный. Советую почитать обзор Рибенбойма http://www.mathnet.ru/links/98e9f5aabb329493024d8fc61268151d/rm2619.pdf

Функция обозначена малой греческой "пи", но мой комп на (E...) -эллинский?, так нет л в виде опрокинутого "г"пишет:π.
 "Ирония" была от того, что эта самая "функция простых чисел":π(x) = 1/ln x монотонно убывающая. Я понял, что Вы пишете о функции числа простых чисел до х. То есть  о  n(p) = x/ln x. Вы, таки, ошибались. С кем не бывает!

Я понял где у Цагира возникает функция 1/ln(x). Гаусс нашел хорошее приближение функции n(x) в терминах интегрального логарифма:
\[
\pi(x) \sim Li(x)=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\ln(x)}, x\to +\infty
 \]
Поэтому фунцию 1/ln(x) можно назвать асимптотической плотностью распределения простых чисел.
Точное равенство n(p) = x/ln x не выполняется. Верно только асимптотическое равенство n(p) ~ x/ln(x) при x стремящемся к плюс бесконечности.

5. Что нет определения... Я сослался на Д. Цагира, приводя формулу.
 Кстати, я и так "не уместился" в дозволенные размеры экспозиции темы.
 6. Спасибо за совет! Я, ведь, ранее  видел это "ниже редактора" и ...
 В таком "формате" я рад сотрудничать. Вы, таки, несколько иной "математик" от встречавшихся мне ранее.
Мне приходится "поторапливаться" ибо завтрашнего дня может и не наступить. Дело житейское.
  P. S. Я помню некоторые события года 1939, больше года 1940-го, и превосходно годы 1942 - 1945, когда был в ведении властей германских в рейхе.

Здоровья!!!

[Лошкарёв]

Хороший обзор, временами излишне эмоциональный. Советую почитать обзор Рибенбойма http://www.mathnet.ru/links/98e9f5aabb329493024d8fc61268151d/rm2619.pdfЯ понял где у Цагира возникает функция 1/ln(x). Гаусс нашел хорошее приближение функции n(x) в терминах интегрального логарифма:
\[
\pi(x) \sim Li(x)=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\ln(x)}, x\to +\infty
 \]
Поэтому фунцию 1/ln(x) можно назвать асимптотической плотностью распределения простых чисел.
Точное равенство n(p) = x/ln x не выполняется. Верно только асимптотическое равенство n(p) ~ x/ln(x) при x стремящемся к плюс бесконечности.Здоровья!!!

Спасибо!
 Вы заметили, что она тщательно рецензирована Рибенбоймом, отметившим неточность?
В поставленной проблеме, как раз и важно асимптотическое приближение. Для чисел "малых" есть доказательства Вами упоминаемые.
 1.Простые числа явление довольно загадочное, и происхождение асимптотической равномерно-логарифмической плотности вероятности их загадочно, для меня по крайней мере. Натуральный логарифм часто связан с описанием биологических "изменений", а тут "странные товарищи" в ряду половины членов натурального ряда. Кстати, полусуммы парных сочетаний простых чисел образуют множество чисел натурального ряда, и "порождают" его с "гарантией"... Как будто и не было "пропусков" - составных нечётных чисел. В самом деле они обладают "первичностью" = первородством?
 О "пустом множестве", являющемся подмножеством всякого множества "по определению" (?)... Коли есть множество, значит есть его элементы. Если нуль число, то? Если нуль "не число", то?
В конце, концов; что есть элемент "пустого множества"?
2. И уж совсем загадочно явление периодических "всплесков" числа повторений чётных чисел при числах, кратных 6.
 Посмотреть бы на эти числа, хотя бы до 1000 000! Сочетаний много..., а "изловчиться" не вижу пути.

[МаленькийГном]

Спасибо!
 Вы заметили, что она тщательно рецензирована Рибенбоймом, отметившим неточность?
В поставленной проблеме, как раз и важно асимптотическое приближение. Для чисел "малых" есть доказательства Вами упоминаемые.

Наоборот, я писал возможности разложения в сумму двух простых чисел всех достаточно больших чётных чисел.

1.Простые числа явление довольно загадочное, и происхождение асимптотической равномерно-логарифмической плотности вероятности их загадочно, для меня по крайней мере. Натуральный логарифм часто связан с описанием биологических "изменений", а тут "странные товарищи" в ряду половины членов натурального ряда. Кстати, полусуммы парных сочетаний простых чисел образуют множество чисел натурального ряда, и "порождают" его с "гарантией"... Как будто и не было "пропусков" - составных нечётных чисел. В самом деле они обладают "первичностью" = первородством?

Не люблю играть словами. Предпочитаю более простой стиль математических стилей: определение, пример, лемма, ещё одна лемма, и так далее, включая теоремы и примеры.

О "пустом множестве", являющемся подмножеством всякого множества "по определению" (?)... Коли есть множество, значит есть его элементы. Если нуль число, то? Если нуль "не число", то?
В конце, концов; что есть элемент "пустого множества"?

Пустые множества (на мой взгляд) были введены с одной целью - упростить формулировки. В конце концов математика - это язык описания реального мира. Единственное ограничение, которое следует наложить на этот язык - его непротиворечивость. Поэтому всякое множество полностью описывается своими элементами и, в частности, их отсутствием (для пустого множества).

2. И уж совсем загадочно явление периодических "всплесков" числа повторений чётных чисел при числах, кратных 6.
 Посмотреть бы на эти числа, хотя бы до 1000 000! Сочетаний много..., а "изловчиться" не вижу пути.

Не совсем понятно, что Вы имеете в виду, говоря о числе повторений чётных чисел при числах, кратных 6.

[Лошкарёв]

Наоборот, я писал возможности разложения в сумму двух простых чисел всех достаточно больших чётных чисел.Не люблю играть словами. Предпочитаю более простой стиль математических стилей: определение, пример, лемма, ещё одна лемма, и так далее, включая теоремы и примеры.Пустые множества (на мой взгляд) были введены с одной целью - упростить формулировки. В конце концов математика - это язык описания реального мира. Единственное ограничение, которое следует наложить на этот язык - его непротиворечивость. Поэтому всякое множество полностью описывается своими элементами и, в частности, их отсутствием (для пустого множества).Не совсем понятно, что Вы имеете в виду, говоря о числе повторений чётных чисел при числах, кратных 6.

1. В русском языке выражение "игра слов" связано с возможностью пртиворечивого толкования сказанного. Не вижу "игры слов" в письме Эйлера:"я знаю, что каждое чётное число равно суммедвух простых чисел, но не знаю, как это доказать".
Слова "достаточно больших" не имеют отношения к конкретному утверждению Эйлера.
 2. "Пустое множество, по определению, есть подмножество всякого множества".
Я "непротиворечивость" вне понятий языка не мыслю Существительное "множество" имеет корень много... Все множества имеют и корень "много" и то, чего много - элементы множества. Прилагательное "пустое" положительно свя зано с существительным "множество". Что то тут незаметно "непротиворечивости", если положить в нём отсутствие элементов множества.
 3. "Описание (противоречивого = движущегося) реального мира" принципиально "непротиворечивым" набором понятий противоречит здравому смыслу. Мертвенность такой "науки" предолевается изменением сути старых понятий... Например, признание "нуль число" или расширение понятия "число".
 В уравнении  z = x + y + s + r +... целое чсло  z есть числовая функция числовых аргументов x, y, s, r... В таком случае целое число в целой степени есть одородный многочлен, вид которого определяется многочленом степени 1 и степенью.
 Так что точно судить, что есть целое число в целой степени, не определяя конкретно, что возводится в целую степень, пустое дело. Так что "простой стиль" штука опасная.
4. Вы заметили, что Д. Цагир не употребляет в лекции слово "вероятность"?
Простые числа не являются "случайными величинами", они достоверны. Вы, в прошлом ответе употребили понятие "плотность вероятности", не подходящее частоте достоверных чисел в ряду чисел нечётных.
 Так что эта "игра слов" была неудачна.

[МаленькийГном]

Когда я говорил об игре слов, я имел в виду не утверждение Эйлера, а Ваши слова:

1.Простые числа явление довольно загадочное, и происхождение асимптотической равномерно-логарифмической плотности вероятности их загадочно, для меня по крайней мере. Натуральный логарифм часто связан с описанием биологических "изменений", а тут "странные товарищи" в ряду половины членов натурального ряда. Кстати, полусуммы парных сочетаний простых чисел образуют множество чисел натурального ряда, и "порождают" его с "гарантией"... Как будто и не было "пропусков" - составных нечётных чисел. В самом деле они обладают "первичностью" = первородством?

В этом смысле простые числа не уникальны. Можно ставить вопрос о представлении чисел в виде суммы квадратов (кубов и т.д.). Сейчас под руками нет ссылки. Вечером посмотрю. Почему Эйлером был поставлен вопрос представления чисел в виде суммы элементов некоторой фиксированной последовательности натуральных чисел - интересный вопрос истории математики. В любом случае история математической терминологии и математических знаков - интересный вопрос. Важно одно - содержание математического понятия даётся его определением и контекстом, в котором используется это определение. В разных контекстах один и тот же термин может иметь разный смыл.

О "пустом множестве", являющемся подмножеством всякого множества "по определению" (?)... Коли есть множество, значит есть его элементы. Если нуль число, то? Если нуль "не число", то?
В конце, концов; что есть элемент "пустого множества"?
2. И уж совсем загадочно явление периодических "всплесков" числа повторений чётных чисел при числах, кратных 6.
 Посмотреть бы на эти числа, хотя бы до 1000 000! Сочетаний много..., а "изловчиться" не вижу пути.

Игра слов - это когда словам приписываюся не свойственный им смысл. Совершенно непонятно, как интерпретировать последний абзац

1. В русском языке выражение "игра слов" связано с возможностью противоречивого толкования сказанного. Не вижу "игры слов" в письме Эйлера:"я знаю, что каждое чётное число равно сумме двух простых чисел, но не знаю, как это доказать".
 2. "Пустое множество, по определению, есть подмножество всякого множества".
Я "непротиворечивость" вне понятий языка не мыслю Существительное "множество" имеет корень много... Все множества имеют и корень "много" и то, чего много - элементы множества. Прилагательное "пустое" положительно связано с существительным "множество". Что то тут незаметно "непротиворечивости", если положить в нём отсутствие элементов множества.

Множество - это любо совокупность однородных элементов (как в "наивной" теории множеств Кантора), либо объект, определяемый системой аксиом. Словоа "наивная теория множеств" означает не аксиоматическая и ничего более.

Так что точно судить, что есть целое число в целой степени, не определяя конкретно, что возводится в целую степень, пустое дело. Так что "простой стиль" штука опасная.

Не понял. "Простой стиль" - к чему это относится?

4. Вы заметили, что Д. Цагир не употребляет в лекции слово "вероятность"?
Простые числа не являются "случайными величинами", они достоверны. Вы, в прошлом ответе употребили понятие "плотность вероятности", не подходящее частоте достоверных чисел в ряду чисел нечётных.
 Так что эта "игра слов" была неудачна.

А Вы употребили (см. п. 1 Вашего сообщения). Разумеется, что каждое числа ( в том числе и простое число) не может быть случайным. Поэтому говорят о случайной последовательности чисел.

Я писал

Гаусс нашел хорошее приближение функции n(x) в терминах интегрального логарифма:
\[
\pi(x) \sim Li(x)=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\ln(x)}, x\to +\infty
 \]
Поэтому фунцию 1/ln(x) можно назвать асимптотической плотностью распределения простых чисел.

Т.е. функция 1/ln(x) ведёт себя как плотность распределения для интегрального логарифма. Продолжение следует

[Лошкарёв]

Когда я говорил об игре слов, я имел в виду не утверждение Эйлера, а Ваши слова:В этом смысле простые числа не уникальны. Можно ставить вопрос о представлении чисел в виде суммы квадратов (кубов и т.д.). Сейчас под руками нет ссылки. Вечером посмотрю. Почему Эйлером был поставлен вопрос представления чисел в виде суммы элементов некоторой фиксированной последовательности натуральных чисел - интересный вопрос истории математики. В любом случае история математической терминологии и математических знаков - интересный вопрос. Важно одно - содержание математического понятия даётся его определением и контекстом, в котором используется это определение. В разных контекстах один и тот же термин может иметь разный смыл.Игра слов - это когда словам приписываюся не свойственный им смысл. Совершенно непонятно, как интерпретировать последний абзацМножество - это любо совокупность однородных элементов (как в "наивной" теории множеств Кантора), либо объект, определяемый системой аксиом. Словоа "наивная теория множеств" означает не аксиоматическая и ничего более.Не понял. "Простой стиль" - к чему это относится?А Вы употребили (см. п. 1 Вашего сообщения). Разумеется, что каждое числа ( в том числе и простое число) не может быть случайным. Поэтому говорят о случайной последовательности чисел.

Я писал Т.е. функция 1/ln(x) ведёт себя как плотность распределения для интегрального логарифма. Продолжение следует

1. Вы пишете:
 "Когда я говорил об игре слов, я имел в виду не утверждение Эйлера, а Ваши слова:В этом смысле простые числа не уникальны. Можно ставить вопрос о представлении чисел в виде суммы квадратов (кубов и т.д.). Сейчас под руками нет ссылки. Вечером посмотрю. Почему Эйлером был поставлен вопрос представления чисел в виде суммы элементов некоторой фиксированной последовательности натуральных чисел - интересный вопрос истории математики. В любом случае история математической терминологии и математических знаков - интересный вопрос. Важно одно - содержание математического понятия даётся его определением и контекстом, в котором используется это определение. В разных контекстах один и тот же термин может иметь разный смыл.Игра слов - это когда словам приписываюся не свойственный им смысл. Совершенно непонятно, как интерпретировать последний абзацМножество - это любо совокупность однородных элементов (как в "наивной" теории множеств Кантора), либо объект, определяемый системой аксиом. Словоа "наивная теория множеств" означает не аксиоматическая и ничего более.Не понял. "Простой стиль" - к чему это относится?А Вы употребили (см. п. 1 Вашего сообщения). Разумеется, что каждое числа ( в том числе и простое число) не может быть случайным. Поэтому говорят о случайной последовательности чисел.
 Я писал Т.е. функция 1/ln(x) ведёт себя как плотность распределения для интегрального логарифма".
 А я, читая все эти рассуждения, к моим словам отношения не имеющих, или о "наивной теории множеств", в толк не возьму - к чему это? А вопрос был конкретен:"Пустое множество, по определению, подмножество всякого множества". Оно там "сирота", элементов не имеющее?
Вы писали "плотность случайных величин" и я написал, что простые числа величины не случайные.
 2. При доказательстве ВТФ я представил целое число многочленом целых чисел степени 1 с произвольным числом слагаемых. Эйлер об этом не писал.
 3. Простое число имеет свойство "единичности". Всякое число функция "единиц". Я уже замечал ранее, что "сильная теорема..." заведомо верна, если строго следовать логике понятия "единица" в понятии о числах.
 4. Я вижу ряд нечётных чисел. В этом ряде с неизвестной последовательностью предстают нечётные числа, отличающиеся тем, что не являются числами составными. Есть апроксимирующие функции для оценки числа этих "особенных" чисел. Функция 1/ln(x), описывающая плотность "потока" простых чисел в потоке чисел нечётных. Я не вижу, как сам поток порождает эту функцию. Кажется такое явление именуется "феномен"?
 5. В моём восприятии сам поток простых чисел явление не случайное. Каждое последующее простое число событие достоверное. Кажущаяся "случайность" следствие "случайного" применения к описанию его конкретной апроксимирующей функции. Противоречие "объекта" и "модели" его описания.
 6. Суть моего "размышлизма" в том, какое отношение именно интегральный логарифм имеет к потоку простых чисел?
 7. А из него вытекает соображение, что пока не основательны попытки доказать "сильную теорему..." не применяя известные знания об апроксимирующих функциях потока простых чисел.

[МаленькийГном]

А я, читая все эти рассуждения, к моим словам отношения не имеющих, или о "наивной теории множеств", в толк не возьму - к чему это? А вопрос был конкретен:"Пустое множество, по определению, подмножество всякого множества". Оно там "сирота", элементов не имеющее?

Пустое множество определяется отсутствием элементов, принадлежащих этому множеству. Этот объект определяется и в "наивной теории множеств" и в аксиоматической. И рассуждения у меня были не очень сложные:

Множество - это любо совокупность однородных элементов (как в "наивной" теории множеств Кантора), либо объект, определяемый системой аксиом. Словоа "наивная теория множеств" означает не аксиоматическая и ничего более.

Вы писали "плотность случайных величин" и я написал, что простые числа величины не случайные.

Каждое простое число полностью детерминирована, но последовательность простых чисел ведёт себя как случайная последовательность чисел (точнее псевдослучайных).

2. При доказательстве ВТФ я представил целое число многочленом целых чисел степени 1 с произвольным числом слагаемых. Эйлер об этом не писал.

Не многочленом, а суммой. И доказательства ВТФ у Вас нет.

3. Простое число имеет свойство "единичности". Всякое число функция "единиц". Я уже замечал ранее, что "сильная теорема..." заведомо верна, если строго следовать логике понятия "единица" в понятии о числах.

Свойство "единичности" - что это такое, сформулируйте опреледеление

4. Я вижу ряд нечётных чисел. В этом ряде с неизвестной последовательностью предстают нечётные числа, отличающиеся тем, что не являются числами составными. Есть апроксимирующие функции для оценки числа этих "особенных" чисел. Функция 1/ln(x), описывающая плотность "потока" простых чисел в потоке чисел нечётных. Я не вижу, как сам поток порождает эту функцию. Кажется такое явление именуется "феномен"?

это называется незнанием

5. В моём восприятии сам поток простых чисел явление не случайное. Каждое последующее простое число событие достоверное. Кажущаяся "случайность" следствие "случайного" применения к описанию его конкретной апроксимирующей функции. Противоречие "объекта" и "модели" его описания.

Последовательнсть простых чисел ведёт себя как последовательность псевдослучайных чисел.

6. Суть моего "размышлизма" в том, какое отношение именно интегральный логарифм имеет к потоку простых чисел?
7. А из него вытекает соображение, что пока не основательны попытки доказать "сильную теорему..." не применяя известные знания об аппроксимирующих функциях потока простых чисел.

Прочитал и у меня появился только один вопрос - когда Вы начнёте точно формулировать определения объектов, с которыми манипулируете. 

Когда будите цитировать меня, делайте так:
 

Когда я говорил об игре слов, я имел в виду не утверждение Эйлера, а Ваши слова:

1.Простые числа явление довольно загадочное, и происхождение асимптотической равномерно-логарифмической плотности вероятности их загадочно, для меня по крайней мере. Натуральный логарифм часто связан с описанием биологических "изменений", а тут "странные товарищи" в ряду половины членов натурального ряда. Кстати, полусуммы парных сочетаний простых чисел образуют множество чисел натурального ряда, и "порождают" его с "гарантией"... Как будто и не было "пропусков" - составных нечётных чисел. В самом деле они обладают "первичностью" = первородством?

В этом смысле простые числа не уникальны. .....

Работы немного нудная. Но тогда понятно что к чему