Что такое энергия динамической (механической) системы?

[yakiniku]

Что такое энергия динамической (механической) системы?

Удивительно, но ответ на этот вопрос оказывается и не совсем простым, и довольно неожиданный.

Рассматриваются сугубо классическая механика, динамические системы к которым применим принцип наименьшего действия и уравнения Лагранжа.

Сначала рассмотрим консервативные системы, которые созраняют энергию. Что такое их энергия? Ответ вполне однозначен - вот что эта система сохраняет, то и есть энергия - ну с точностью до постоянного слагаемого.

А теперь рассмотрим неконсервативную систему, которая не сохраняет энергию. Что такое у нее энергия? Пример - навязший в зубах гармонический осциллятор, возбуждаемый внешней силой. Вот какая у него энергия - как мы в школе учили (кинетическая энергия плюс энергия сжатой пружины), или по тому Лагранжиану, как в параграфе 22 Ландау-Лифшице? А подумать - ответ снгсшибателен: хочешь такая, хочешь такая, а хочешь - нечто третье, и почти что какое угодно!

После этого будут три моих поста. Один  - про абстрактные консервативные системы. Один - про абстрактные неконсервативные системы. Третий - про гармонический осциллятор-всадник на гармоническом осцилляторе-коне.

Конечный вывод: в консервативной системе для энергии может быть получено выражение. Напротив, в неконсервативной системе может быть получено только соотношение, выражающее скорость роста энергии через частную производную от функции Лагранда по времени. Одновременно преобразование функции Лагранжа и энергии приводит к тождественному преобразованию этого соотношения,  - хотя и полезного, но разрешающего принять за энергию сильно различающиеся выражения.

[yakiniku]

Консервативные системы.

Рассмативается, динамическая система, которая описывается функцией Лагратжа от N обобщенных переменных и обобщенных скоростей (функция не зависит явно от времени)
\[ L(q_i,\dot{q}_i) \]
Для каждой степени свободы имеем уравнение Лагранжа:
\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0. \]
Домножим каждое из этих уравнений на соответствующую обобщенную скорость \(\dot{q}_i\) и возьмем их сумму:
\[ \sum_{j=1}^N{\dot{q}_j\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}}-\sum_{j=1}^N{\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial q_j}}=0. \]
Или, после тождественных преобразований:
\[ \frac{d}{dt}
\left(
\sum_{j=1}^N{\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}}
\right)-
\sum_{j=1}^N{
\left(\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial q_j}+\ddot{q_j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)}[
=0.\qquad(1) \]
поскольку полная производная не зависящей от времени явно функции Лагранжа равна:
\[ \frac{dL(q_i,\dot{q}_i)}{dt}=\sum_{j=1}^N{
\left(\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial q_j}+\ddot{q_j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)} \]
из (1) следует закон сохранения энергии:
\[ \frac{dE}{dt}=0.\qquad(2) \]
с определением энергии согласно:
\[ E=
\left(
\sum_{j=1}^N{\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}}
\right)-L
\qquad(3) \]

Энергия определена с точностью до произвольной постоянной (отметим, что в отличие от функции Гамильтона энергия не выражена через импульсы). Мы заключаем, что консервативными следует считать системы, у которых функция Лагранжа не зависит явно от времени. Такие системы сохраняют энергию, определeнную согласно (3) с точностью до прибавления произвольной постоянной.

Теперь учтем, что функция Лагранжа системы определена с точностью до полной производной по времени от произвольной функции от времени и координат. Ни выражение для принципа наименьшего действия, ни уравнения Лагранжа не изменяются, если к функции Лагранжа добавить:
\[ L\rightarrow L+
\frac{d{\cal L}(q_i,t)}{dt}=L+\frac{\partial {\cal L}}{\partial t}+\sum_{j=1}^N{\dot{q}_i\frac{\partial{\cal L}}{\partial q_i}} \]
В случае консервативных систем целесообразно ограничить произвол с тем, чтобы преобразованная функция опять не зависела от времени явно, для чего функция \({\cal L}\) долна быть функцией только координат. При этом добавленная величина в функцию Лагранжа является линейной однородной функцией скоростей и, как таковая, она не дает вклада в энергию (с учетом выражения для энергии). Мы приходим к следующему выводу, в консервативной системе, несмотря на известный произвол в выборе функции Лагранжа, тем не менее выражение для сохраняющейся энергии определено однозначно (точнее, с точностью до произвольного постоянного слагаемого).

[yakiniku]

Неконсервативные системы

Отличие неконсервативной системы в том, что она описывается функцией Лагратжа, зависящей не только от N обобщенных переменных и обобщенных скоростей но и явно от времени
\[ L(q_i,\dot{q}_i,t) \]

Повторяя предыдущие рассуждения для вывода энергитического соотношения мы видим, что в по-прежнему справедливом соотношении
\[ \frac{d}{dt}
\left(
\sum_{j=1}^N{\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}}
\right)-
\sum_{j=1}^N{
\left(\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial q_j}+\ddot{q_j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)}[
=0.\qquad(1.1) \]
левая часть более не является полной производной по времени, поскольку
полная производная от зависящей от времени явно функции Лагранжа равна:
\[ \frac{dL(q_i,\dot{q}_i,t)}{dt}=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum_{j=1}^N{
\left(\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial q_j}+\ddot{q_j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)} \]
Поэтому (1.1) сводится к следующему неинтегрируемому соотнощению
\[ \frac{dE}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}.\qquad(1.2) \]
с тем же определением энергии, что и ранее
\[ E=
\left(
\sum_{j=1}^N{\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}}
\right)-L
\qquad(1.3) \]

Энергия не сохраняется - но прикол в том, что она и не определена однозначно. Опять учтем, что функция Лагранжа системы определена с точностью до полной производной по времени от произвольной функции от времени и координат. Ни выражение для принципа наименьшего действия, ни уравнения Лагранжа не изменяются, если к функции Лагранжа добавить:
\[ L\rightarrow L+
\frac{d{\cal L}(q_i,t)}{dt}=L+\frac{\partial {\cal L}}{\partial t}+\sum_{j=1}^N{\dot{q}_i\frac{\partial{\cal L}}{\partial q_i}}\qquad(1.4) \]
Сумма здесь является линейной однородной функцией скоростей и, как таковая, она не дает вклада в энергию (с учетом выражения для энергии). А вот второй член дает вклад в энергию! Мы заключаем, что в неконсервативных системах прибавление к функции Лагранжа полной производной от произвольной функции координат и времени сопровождается вычитанием из энергии частной производной по времени от этой произвольной функции:
\[ L\rightarrow L+\frac{d{\cal L}(q_i,t)}{dt},\qquad E\rightarrow E-\frac{\partial {\cal L}}{\partial t} \]
Практически это означает, что в неконсервативной системе энергия определена с точностью до произвольной функции времени и координат. Несмотря на эти изменения, соотношение (1) при такой замене остается справедливым. Но не неизменным - из него вычитается тождество:
\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial {\cal L}(q_i,t)}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{d {\cal L}(q_i,t)}{d t} \]

[yakiniku]

Восстановление стертого врагами поста
Осциллятор с вынуждающей силой – пример неконсервативной системы.

И, апофеоз! Осциллятор с функцией Лагранжа (см. Механика Ландау-Лифшица, параграф 22):
\[ L=\frac{m\dot{x}^2}2−\frac{kx^2}2+xF(t) \]
имеет уравнение движения:
\[ m\ddot{x}+kx−F(t)=0, \]
энергия его есть:
\[ E=\frac{m\dot{x}^2}2+\frac{kx^2}2-xF(t) \]
и закон её эволюции:
\[ \frac{dE}{dt}=−x\frac{dF}{dt} \]
Энергия имеет ясный физический смысл: кинетическая энергия плюс потенциальная, её эволюция связана с явной зависемостью Лагранжиана от времени. Все ОК. Закончили?

Нет! Прибавим к функции Лагранжа полную производную по времени от \({\cal L}=−x\int{F(t)dt}\). Получим другую функцию Лагранжа:
\[ L_0=\frac{m\dot{x}^2}2−\frac{kx^2}2-\dot{x}\int{F(t)dt} \]
то же самое уравнение движения:
\[ m\ddot{x}+kx−F(t)=0, \]
ДРУГАЯ энергия
\[ E_0=\frac{m\dot{x}^2}2+\frac{kx^2}2 \]
и другой закон её эволюции:
\[ \frac{dE_0}{dt}=\dot{x}F(t) \]
При таком выюоре функции Лагранжа возникает "энергия осциллятора, как такового", то есть сумма кинетической энергии точечной массы и потенциальная энергия сжатой пружины. И другой закон ее эволюции: изменение "энергии осциллятора как такового" равно работе вынуждающей силы.

А если постараться, то и потенциальную энергию пружины можно из полной энергии исключить, тем самым отождествить, как это принято в "термехе" полную энергию и кинетическую энергию. Тоже вполне легитимная операция.

Живая иллюстрация – какая у осциллятора энергия? Хотите – такая, хотите – другая. Соотношения для эволюции обеих энергий вполне осмысленны, причём и то и другое – справедливо. Никакого предпочтения ни то ни другое выражение для энергии  неконсервативной  системы не имеет. Более того, вся неоднозначность и возникает при попытке интерпретации несомненного и полезного соотношения
\[ \frac{dE}{dt}+\frac{\partial L}{\partial t}=0\qquad(2.1) \]
как скорость изменения по времени не пойми чего в результате действия источника этого не пойми чего. А между прочим записанное именно в таком виде, уравнение (2.1) не менялось бы при преобразовании функции Лагранжа - аналогично уравнениям Лагранжа.

[yakiniku]

Осциллятор-всадник на осцилляторе-коне.

Опять расстмотрим осциллятор и будем называть его осциллятор-всадник. Что такое осциллятор? Это бусинка на горизонтальной оси, соединенная пружинкой с какой-то точкой на этой оси. Ось на чем-то закреплена. При отклонении бусинки от точки закрепления пружинки на оси возникает возвращающая сила.

А на чем закреплена ось осциллятора всадника? Будем считать, что она закреплена на огромной бусинище на осище, которая соединена огромной пружинищей с какой-то точкой на осище. При отклонении бусинища от точки равновесия возникает возвражающая сила со стороны пружинища, и осциллятор, состоящий из-пружиница и бусинища будем называть осциллятор-конь. Частоту собственных колебаний осциллятора-коня будем считать соспадающей с частотой собственных колебаний осциллятора-всадника. Тогда из-за (ускоренного) движения с резонансной частотой осциллятора-коня на находящейся на нем осциллятор-всадник действует инерциальная сила, которая и будет играть роль вынуждающей силы для осциллятора-всадника.

Функция Лагранжа для системы имеет вид:
\[ L=\frac{M\dot{X}^2}2+\frac{m(\dot{x}+\dot{X})^2}2-\frac{KX^2}2-\frac{kx^2}2=\left(\frac{(M+m)\dot{X}^2}2-\frac{KX^2}2\right)+\left(\frac{m\dot{x}^2}2-\frac{kx^2}2\right)+m\dot{x}\dot{X} \]
где заглавные буквы относятся к осциллятору-коню. малые - к осциллятору-всаднику. В преобразованной функции Лагранжа сгруппированы в круглые скобки члены. относящиеся к каждому осциллятору по отдельности. Условие резонанса:
\[ \frac{K}{M+m}=\frac{k}m=\omega^2 \]
В приближении заданного движения осциллятора-коня в виде колебания с резонансной частотой и постоянной амплитудой функция Лагранжа для осциллятора-всадника имет вид:
\[ L_r=\left(\frac{m\dot{x}^2}2-\frac{kx^2}2\right)+m\dot{x}\dot{X} \]
С такой функцией Лагранжа уравнение движения имеет вид:
\[ m(\ddot{x}+\omega^2x)=F(t),\quad F(t)=-m\ddot{X} \]
Энергия для осциллятора-всадника равна:
\[ E_r=\frac{m\dot{x}^2}2+\frac{kx^2}2 \]
уравнение для скорости изменения энергии во времени:
\[ \frac{dE_r}{dt}=\dot{x}F(t)=-m\dot{x}\ddot{X} \]

Аналогично для осциллятора-коня:
функция Лагранжа для него имет вид:
\[ L_h=\left(\frac{(m+M)\dot{X}^2}2-\frac{kX^2}2\right)+m\dot{x}\dot{X} \]
С такой функцией Лагранжа уравнение движения имеет вид:
\[ (m+M)(\ddot{X}+\omega^2X)=f(t),\quad f(t)=-m\ddot{x} \]
Энергия для осциллятора-коня равна:
\[ E_h=\frac{(m+M)\dot{X}^2}2+\frac{KX^2}2 \]
уравнение для скорости изменения энергии во времени:
\[ \frac{dE_h}{dt}=\dot{X}f(t)=-m\dot{X}\ddot{x} \]
Полная энергия сохраняется:
\[ E=E_r+E_h+m\dot{x}\dot{X}=const \]

В ведущем приближении по малому параметру
\[ \varepsilon=\sqrt{\frac{m}{M+m}}\ll1 \]
решение связанных уравнений движения, такое, что энергия осциллятора-всадника в начальный моментвремени равно нулю,
есть:
\[ X(t)=\varepsilon \ell \cos\left(\frac{\varepsilon\omega t}2\right)\cos(\omega t) \]
\[ x(t)=\ell \sin\left(\frac{\varepsilon\omega t}2\right)\sin(\omega t) \]
где \(\ell\) - произвольная постоянная (максимальная амплитуда колебаний всадника). Энергия колебаний медленно перекачивается от одного осциллятора к другому и обрaтно. Процесс сугубо обратимый и консервативный. Сохраняющаяся полная энергия равна:
\[ E=\frac12m\omega^2\ell^2 \]

Каждый раз. когда энергия одного из осцилляторов проходит через ноль, достивгшую локального максимума амплитуду колебаний второго осциллятора можно в течение некоторого времени считать постоянной. При этом колебания первого осциллятора начинают резонансно нарастать под действием вынуждающей силы, с линейным по времени ростом амплитуды и квадратичным (вблизи минимума законо роста энергии). Однако при перекачке к первому осциллятору значительной части энергии, энергия второго осциллятора постепенно падает до нуля. В этот момент изменяется знак сдвига фаз между колебаниями и изменяется направление передачи энергии.

[Дробышев]

Практически это означает, что в неконсервативной системе энергия определена с точностью до произвольной функции времени и координат.

На мой взгляд, вопрос о неопределенности энергии в неконсервативных системах следует рассмотреть с точки зрения того, что неконсервативная система может являться частью более общей, консервативной системы. Для простоты предположим, что замкнутая система состоит из двух подсистем, потенциальная энергия взаимодействия которых \(U(q,Q)\) зависит только от координат \(q\) и \(Q\), характеризующих эти подсистемы (нижние индексы, нумерующие координаты, опускаю). Функция Лагранжа замкнутой системы

\(L=L_1(q,\dot q)+L_2(Q,\dot Q)-U(q,Q)\)    (1)

не зависит явно от времени. Тогда уравнения движения первой подсистемы можно получить из функции Лагранжа

\(L_I=L_1(q,\dot q)-U(q,Q)\).    (2)

Формально можно считать, что функции \(Q=Q(t)\) заданы, и, таким образом, функция Лагранжа (2) явно зависит от времени, т.е. подсистема неконсервативна. Добавка к (2) полной производной по времени \(d{\cal L}_1(q,t)/dt\) приводит к уменьшению энергии подсистемы на \(\partial {\cal L}_1/\partial t\). Однако к исходному выражению (1) для консервативной системы можно добавить только полную производную \(d{\cal L}(q)/dt\) от не зависящей явно от времени функции \({\cal L}\). Ее можно записать так

\({\cal L}(q)={\cal L}_1(q,t)+{\cal L}_2(q,t)\),

при этом \(\partial {\cal L}_2/\partial t=-\partial {\cal L}_1/\partial t\). В результате такой добавки полная энергия консервативной системы будет оставаться неизменной, однако энергия второй подсистемы, рассчитываемая из функции Лагранжа

\(L_{II}=L_2(Q,\dot Q)-U(q,Q)\),    (3)

увеличится на \(\partial {\cal L}_1/\partial t\).

Имхо, вопрос о неоднозначности энергии неконсервативных подсистем (возникающий вследствие возможности добавок в функциям Лагранжа полных производных функций от координат и времени) сводится к тому, какую часть полной энергии исходной замкнутой системы отнести к первой подсистеме, а какую - ко второй.

[Король Альтов]

Живая иллюстрация – какая у осциллятора энергия? Хотите – такая, хотите – другая. Соотношения для эволюции обеих энергий вполне осмысленны, причём и то и другое – справедливо. Никакого предпочтения ни то ни другое выражение для энергии  неконсервативной  системы не имеет. Более того, вся неоднозначность и возникает при попытке интерпретации несомненного и полезного соотношения
\[ \frac{dE}{dt}+\frac{\partial L}{\partial t}=0\qquad(2.1) \]
как скорость изменения по времени не пойми чего в результате действия источника этого не пойми чего. А между прочим записанное именно в таком виде, уравнение (2.1) не менялось бы при преобразовании функции Лагранжа - аналогично уравнениям Лагранжа.

Как известно физические системы могут быть описаны всевозможными матемическими формулами и законами. Однако в реальности физическая система не может иметь какую угодно энергию - энергия системы однозначно определяется ее физикой. Следовательно из всех математических описаний системы физично или верно только то, которое соответсвует реальности, а все остальные неверны - очевидно. Ну так вот и приведите конкретные физические примеры двух ваших получившихся разных систем. Если вам это сделать удастся, тогда и станет понятным смысл вашего представления функции Лагранжа. Если вы этого сделать не сможете, тогда ваши рассуждения носят чисто математический абстрактный характер, который оказывается в этом случае нефизичным, а следовательно неверным.

[yakiniku]

Решил заново сообщение набрать:

На мой взгляд, вопрос о неопределенности энергии в неконсервативных системах следует рассмотреть с точки зрения того, что неконсервативная система может являться частью более общей, консервативной системы. Для простоты предположим, что замкнутая система состоит из двух подсистем, потенциальная энергия взаимодействия которых \(U(q,Q)\) зависит только от координат \(q\) и \(Q\), характеризующих эти подсистемы (нижние индексы, нумерующие координаты, опускаю). Функция Лагранжа замкнутой системы

\(L=L_1(q,\dot q)+L_2(Q,\dot Q)-U(q,Q)\)    (1)

не зависит явно от времени. Тогда уравнения движения первой подсистемы можно получить из функции Лагранжа

\(L_I=L_1(q,\dot q)-U(q,Q)\).    (2)

Формально можно считать, что функции \(Q=Q(t)\) заданы, и, таким образом, функция Лагранжа (2) явно зависит от времени, т.е. подсистема неконсервативна. Добавка к (2) полной производной по времени \(d{\cal L}_1(q,t)/dt\) приводит к уменьшению энергии подсистемы на \(\partial {\cal L}_1/\partial t\). Однако к исходному выражению (1) для консервативной системы можно добавить только полную производную \(d{\cal L}(q)/dt\) от не зависящей явно от времени функции \({\cal L}\). Ее можно записать так

\({\cal L}(q)={\cal L}_1(q,t)+{\cal L}_2(q,t)\),

при этом \(\partial {\cal L}_2/\partial t=-\partial {\cal L}_1/\partial t\). В результате такой добавки полная энергия консервативной системы будет оставаться неизменной, однако энергия второй подсистемы, рассчитываемая из функции Лагранжа

\(L_{II}=L_2(Q,\dot Q)-U(q,Q)\),    (3)

увеличится на \(\partial {\cal L}_1/\partial t\).

Имхо, вопрос о неоднозначности энергии неконсервативных подсистем (возникающий вследствие возможности добавок в функциям Лагранжа полных производных функций от координат и времени) сводится к тому, какую часть полной энергии исходной замкнутой системы отнести к первой подсистеме, а какую - ко второй.

Исходно в моем посте про осциллятор-всадника и осциллятор-коня как раз и были слова насчет того, что "энергия неконсервативной системы может быть установлена практически однозначно, если эта неконсервативная система является частью более общей, консервативной системы". Но потом я в этой мысли усомнился. Кстати - построенный мною пример как раз и является случаем, когда функция Лагранжа для взаимодействия зависит только от обобщенных скоростей. Поэтому рассматривать нужно чуть более общий случай для функции Лагранжа полной системы:
\[ L_q(q_i,\dot{q}_i)+L_Q(Q_j,\dot{Q}_j)+L_{Qq}(q_i,\dot{q}_i,Q_j,\dot{Q}_j) \]
Я согласен с тем, что зависимость функции Лагранжа подсистемы от времени связана с тем, что при описании подсистемы координаты и скорости системы считаются заданными. В результате энергетическое соотношение для подсистемы принимает вид:
\[ \frac{dE_q}{dt}+\frac{dE_{qQ}}{dt}=-
\left(\frac{ \partial L_{qQ}}{\partial t}\right)_q=-\sum_j\left(\ddot{Q}_j\frac{\partial L_{qQ}}{\partial \dot{Q}_j}+\dot{Q}_j\frac{\partial L_{qQ}}{\partial Q_j}\right),\qquad(1) \]
где часть энергии подсистемы, относящаяся к ее взаимодействию с системой, есть
\[ E_{qQ}=\sum_i{\dot{q}_i\frac{\partial L_{qQ}}{\partial \dot{q}_i}-L_{qQ}} \]
С другой стороны энергетическое соотношение для большой части  системы принимает вид:
\[ \frac{dE_Q}{dt}+\frac{dE_{Qq}}{dt}=-\left(\frac {\partial L_{qQ}}{\partial t}\right)_Q=-\sum_i\left(\ddot{q}_i\frac{\partial L_{qQ}}{\partial \dot{q}_i}+\dot{q}_i\frac{\partial L_{qQ}}{\partial q_i}\right),\qquad(2) \]
и, соответственно энергия относящаяся к взаимодействию с подсистемой, есть  
\[ E_{Qq}=\sum_j{\dot{Q}_j\frac{\partial L_{qQ}}{\partial \dot{Q}_i}-L_{qQ}} \]

Правая часть уравнений (1),(2) дает полную производную по времени от функции Лагранжа для взаимодействия: \(dL_{qQ}/dt\). Поэтому закон сохранения энергии имеет вид:
\[ E_q+E_{qQ}+E_Q+E_{Qq}+L_{qQ}=const \]
Видно, что "истинная" энергия взаимодействия,
\[ E_{\rm real\,qQ}=\sum_i{\dot{q}_i\frac{\partial L_{qQ}}{\partial \dot{q}_i}}+\sum_j{\dot{Q}_i\frac{\partial L_{qQ}}{\partial \dot{Q}_j}}-L_{qQ} \]
причудливым образом перераспределяется между  таковыми для подсистемы, \(E_{qQ}\), и для остальной системы, \(E_{Qq}\) причем сумма последних отличается от "истинной" энергии дважды посчитанной функцией Лагранжа для взаимодействия. С другой стороны, и в подсистеме и в остальной части системы действуют источники энергии, сумма которых равна \(-dL_{qQ}/dt\), и суммарное действие которых и компенсирует этот двукратный учет функции Лагранжа в энергиях взаимодествия.  

[В.И.Костицын]

Это апофеоз - необходимы успоительные уколы в связи с доказательством
великой теоремы yakiniku
Живая иллюстрация – какая у осциллятора энергия? Хотите – такая, хотите – другая. Соотношения для эволюции обеих энергий вполне осмысленны, причём и то и другое – справедливо. Никакого предпочтения ни то ни другое выражение для энергии  неконсервативной  системы не имеет.

Свершилось! Якинака написал формулы САМ! И теперь дурь его не вырубишь топором. Он совершенно забыл, какую задачу решает и когда можно применять принцип наименьшего действия.

На самом деле механический осциллятор - это вязко-упругая система, состоящая из пружины и демпфера.
Возможны 5 моделей вязко-упругих осцилляторов:

- модель Гука. Есть только пружина. Усилие пропорционально деформации.
- модель Ньютона. Есть только демпфер. Усилие пропорционально первой производной от деформации.
- модель Фойгта. Пружина и демпфер соединены параллельно. Усилие является линейной комбинацией деформации и первой производной деформации.
- модель Максвелла. пружина и демпфер соединены последовательно.  Усилие является линейной комбинацией деформации и первой производной деформации.
- модель Зенера. обобщает приведенные выше модели:

  ((1+a(d/dt))b_(t)=((m+b(d/dt))e_(t)      (1)

b_(t) - усилие.
e_(t) - деформация.
m - коэффициент жесткости.

При a=b=0  (1) дает модель Гука, при a=m=0 получаем модель Ньютона, при а=0 - модель Фойга, при m=0 - модель Максвелла.

Но (1) - это лишь грубое приближение, так как вязко-упругие системы - это нелинейные системы, о чем Петров вот уже год толкует Якинаке, но до Якинаки это так и не доходит. Дальше ландау- лагранжиана он мыслить не способен.
Для нелинейных систем (с дробными производными) справедлив закон:

 b_(t)+a(d^vb_(t)/dt^v)=be_(t)+c(d^v/dt^v)

      0<v<1 - дробная производная.

Вот и все. И никаких всадников на всадницах.

[Старик]

В теме «Ну, кто тут против Ландау?» один из защитников Ландау от критики (aid) с похвалой отозвался о новой теоретической разработке инициатора этой темы yakiniku и указал, для всех желающих с нею ознакомиться и оценить силу логики последователей Ландау, соответствующую ссылку:
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=261760.0
Правда, нам показалось, что подготовленный yakiniku материал более подходит не к научному разделу БФ, а к ветке «Место для смеха на нашу тему».

На этот раз Петров оказался прав.
Цитирую:

Сначала рассмотрим консервативные системы, которые созраняют энергию. Что такое их энергия? Ответ вполне однозначен - вот что эта система сохраняет, то и есть энергия - ну с точностью до постоянного слагаемого.

Например, летит себе свободная материальная частица согласно религии Ньютона по инерции в пустом пространстве.
Направление движения строго сохраняет.

Тут подошёл yakiniku (была в 1960х такая серия анекдотов с ключевой фразой "тут подошёл путешественник") и сказал:
"Ба! Направление движения (вектор) сохраняется? Направляющие косинусы его сохраняются? - Значит они все и есть энергии этой частицы.
Величина скорости частицы сохраняется? - Значит, это тоже энергия частицы. Ещё одна. Итого - четыре энергии в дополнение к опостылевшей эм-вэ-квадрат-пополам!"

Очень неприятно видеть человека, на каждом углу форума истошно кричащего о неграмотности других людей, но тут вдруг проявившего незнакомство с понятиями "..." и "..." [я не намерен учить особо избранных, - пусть остаются "умнее" русских].

[aid]

Свершилось! Якинака написал формулы САМ! И теперь дурь его не вырубишь топором. Он совершенно забыл, какую задачу решает и когда можно применять принцип наименьшего действия.

На самом деле механический осциллятор - это вязко-упругая система, состоящая из пружины и демпфера.
Возможны 5 моделей вязко-упругих осцилляторов:

- модель Гука. Есть только пружина. Усилие пропорционально деформации.
- модель Ньютона. Есть только демпфер. Усилие пропорционально первой производной от деформации.
- модель Фойгта. Пружина и демпфер соединены параллельно. Усилие является линейной комбинацией деформации и первой производной деформации.
- модель Максвелла. пружина и демпфер соединены последовательно.  Усилие является линейной комбинацией деформации и первой производной деформации.
- модель Зенера. обобщает приведенные выше модели:

  ((1+a(d/dt))b_(t)=((m+b(d/dt))e_(t)      (1)

b_(t) - усилие.
e_(t) - деформация.
m - коэффициент жесткости.

При a=b=0  (1) дает модель Гука, при a=m=0 получаем модель Ньютона, при а=0 - модель Фойга, при m=0 - модель Максвелла.

Но (1) - это лишь грубое приближение, так как вязко-упругие системы - это нелинейные системы, о чем Петров вот уже год толкует Якинаке, но до Якинаки это так и не доходит. Дальше ландау- лагранжиана он мыслить не способен.
Для нелинейных систем (с дробными производными) справедлив закон:

 b_(t)+a(d^vb_(t)/dt^v)=be_(t)+c(d^v/dt^v)

      0<v<1 - дробная производная.

Вот и все. И никаких всадников на всадницах.

Костицин, Вы вроде, книги пишете, а не научились цитаты оформлять?
Кстати, а ничего, что Петров никогда ни про какие вязко-упругие системы не говорил?

[В.И.Костицын]

Костицин, Вы вроде, книги пишете, а не научились цитаты оформлять?
Кстати, а ничего, что Петров никогда ни про какие вязко-упругие системы не говорил?

Петров говорил о неприменимости принципа наименьшего действия к гармоническому осциллятору. И он прав на все 100. А Якинака чушь порол, защищая Ландау, да еще и посадил "наездника" на "наездницу", показав тем самым полнейшее непонимание физического смысла задачи.

Цитаты в полном смысле этого слова у меня не было. Первоисточник В Васильев и Л Симак "Дробное исчисление и аппроксиматиционные методы в моделировании динамических систем" просто не копируется. А на приоритете в открытии уравнения движения вязко-упругих систем с дробными производными я и не думаю претендовать.

Это только Якинака кричит на весь интернет о своем великом открытии "наездника" на "наезднице" и об открытии десятка видов новой энергии.

Но моя "Теория многомерных пространств" тоже построена на дробных интегралах и производных и на дробных размерностях физических величин. Поэтому я, собственно говоря, и знаю работу Васильева и Симака. Кстати, моя книга вышла в 2007 году, а книга Васильева и Симака в 2008 году.

И вообще, понятию о дробных производных уже 300 лет.

[Король Альтов]

Это не моя дурь, это дурь yakiniku
yakiniku, не справившись по святцам, бухнул своё собственное, новое определение энергии.
Я обратил внимание публики на то, что для свободно летящей частицы его определению удовлетворяют и эти величины.
И я же ещё и виноват оказался?!

Все проблемы yakiniku с осцилятором состоят в том, что он не понимает смысла понятия энергии и функции Лагранжа.
Энергия это положительно определнная функция, а следовательно, если она может быть выражена через функцию Лагранжа, то и последня также должна быть положительно определена. Я сейчас не помню на память, но кажется есть такая теорема, что и энергия и функция Лагранжа это положительно определнные функции выражающиеся следовательно, как квадратически положительно определенные функции координат и импульсов. Это в частности означает, что функция Лагранжа для осцилятора может быть записана в виде L =mV^2/2 + K*X^2/2. Однако добавление в функцию Лагранжа члена -XF(t) неправомерно, поскольку делает функцию Лагранжа неположительно определенной, то-есть является ошибкой. Я десятки раз пытался yakiniku обьяснить эти тривиальные вещи, но до него это так и не дошло. В итоге он построил решение для осцилятора с неоднозначной функцией для энергии, чего быть в принципе не может. Когда я указал ему на очевидную абсурдность его решения, вследствие этого, он понял, что полностью неправ. Вот и весь очевидный и отрицательный итог его попыток доказать неверное решение для осцилятора.

[yakiniku]

Костицын, Старик и Король Альтов - Вы у меня в игноре и принесло вас сюда совершенно напрасно. 

[aid]

Все проблемы yakiniku с осцилятором состоят в том, что он не понимает смысла понятия энергии и функции Лагранжа.
Энергия это положительно определнная функция, а следовательно, если она может быть выражена через функцию Лагранжа, то и последня также должна быть положительно определена. Я сейчас не помню на память, но кажется есть такая теорема, что и энергия и функция Лагранжа это положительно определнные функции выражающиеся следовательно, как квадратически положительно определенные функции координат и импульсов. Это в частности означает, что функция Лагранжа для осцилятора может быть записана в виде L =mV^2/2 + K*X^2/2. Однако добавление в функцию Лагранжа члена -XF(t) неправомерно, поскольку делает функцию Лагранжа неположительно определенной, то-есть является ошибкой. Я десятки раз пытался yakiniku обьяснить эти тривиальные вещи, но до него это так и не дошло. В итоге он построил решение для осцилятора с неоднозначной функцией для энергии, чего быть в принципе не может. Когда я указал ему на очевидную абсурдность его решения, вследствие этого, он понял, что полностью неправ. Вот и весь очевидный и отрицательный итог его попыток доказать неверное решение для осцилятора.

Король Альтов, Вы ошиблись уже в самом начале, заявив, что энергия это положительно определенная функция.

[aid]

Не буду вам мешать изучать отрицательную энергию осцилятора - и еще желаю вам лечиться, лечиться и еще раз лечиться от безграмотности. Я догадывался, что вы не такой, но не до такой же степени - мне казалось, что вы нормальный.

Что-то как-то тухло пахнет пост $
Вы передернули - Вы писали про энергию вообще, а не энергию осциллятора
Далее, если даже вести речь про энергию именно осциллятора, то функция Лагранжа осциллятора не является положительной величиной.
Как видите, выкручиваться Вам бесполезно. У Вас что не предложение, то ошибка

[Dachnik]

Не буду вам мешать изучать отрицательную энергию осцилятора - и еще желаю вам лечиться, лечиться и еще раз лечиться от безграмотности. Я догадывался, что вы не такой, но не до такой же степени - мне казалось, что вы нормальный.

Да Аид вечно что то ляпает с умным видом, но умным его считает только Марина.
А попроси его привести пример отрицательной энергии, хоть какую нибудь формулку типа M*g*H, где что то в ней отрицательное,
или V^2 даст минус, да пускай хоть извертится во вращательно-поступательной изворотливости.
Ну что Аид.
Повесели публику.

[yakiniku]

Да Аид вечно что то ляпает с умным видом, но умным его считает только Марина.
А попроси его привести пример отрицательной энергии, хоть какую нибудь формулку типа M*g*H, где что то в ней отрицательное,
или V^2 даст минус, да пускай хоть извертится во вращательно-поступательной изворотливости.
Ну что Аид.
Повесели публику.

В хадаче Кеплера например - суммы потенциальной и кинетической энергии, отрицательна для любой замкнутой орбиты.
То есть Земля вращается вокруг Солнца - энергия ее отрицательна.

[aid]

Да Аид вечно что то ляпает с умным видом, но умным его считает только Марина.
А попроси его привести пример отрицательной энергии, хоть какую нибудь формулку типа M*g*H, где что то в ней отрицательное,
или V^2 даст минус, да пускай хоть извертится во вращательно-поступательной изворотливости.
Ну что Аид.
Повесели публику.

Якинику уже ответил. Я могу только примеров подкинуть - электрон в водородоподобном атоме
Е_n=-k²mZ²e⁴/2h²n².
Тело в яме. Е=mgH+mV²/2, H=-10 м...

Дачник, я же Вам диагноз поставил - механику Вы когда-то немного знали, но уже то, что знали, забыли.

[В.И.Костицын]

В хадаче Кеплера например - суммы потенциальной и кинетической энергии, отрицательна для любой замкнутой орбиты.
То есть Земля вращается вокруг Солнца - энергия ее отрицательна.

Вы. уважаемый, понятия не имеете об отрицательных величинах.

Вот у электрона заряд действительно отрицательный по отношению к позитрону. Потому что заряд электрона перешел через ноль числовой оси. И называется это "С"-симметрией. И наблюдается в природе.

Переход от левого вращения к правому тоже происходит с переходом через ноль числовой оси. И называется это "Р"- симметрией. И наблюдается в природе как положительный и отрицательный спин.
А вот отрицательное время и отрицательная энергия в природе пока не обнаружены. Даже в задаче Кеплера.
 Не переходит в этой задаче энергия через ноль числовой оси. Переходит она через условный ноль, выбранный нами. Ведь не будете же Вы утверждать, что получили отрицательную температуру в холодильнике, потому что термометр показал -18⁰С.

А отрицательное время и энергию допускает "Т"- симметрия. И появилась отрицательная энергия лишь в уравнении Дирака. Но экспериментально ее существование пока не доказано и обратимость процессов во времени не обнаружена. Но если СРТ симметрия существует, то существуют и миры с отрицательной энергией и с текущим в противоположном направлении временем.

Ваша ссылка на законы Кеплера - глупость. Нет в Солнечной системе отрицательной энергии.