Основная идея алгебры бесконечно-малых-2. Математический анализ в отличие от алгебры трактуется совсем по-другому - есть интеграл, а есть производная. Это не самый лучший подход к высшей математике. Самый лучший состоит в том, что между элементарной алгеброй и алгеброй бесконечно малых есть полная аналогия, то-есть в алгебре бесконечно малых также есть четыре основных действия. Для начала повторим очевидное и пройденное в начальной школе.
Школьная математика: school2.1). Аддитивный интеграл \[ F = \int_a^b f \mathrm{d}x = lim_{ n \to \infty \\ \Delta x_i \to 0 } \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x_i \]
Школьная математика: school2.2). Аддитивная производная \[ \frac{dF}{dx} = F'(x) = lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} \]
PS. Поскольку тема стала исключительно простой и очевидной приходится ввести 2-3 определения, без которых двигаться вперед в неизвестные для современной математики просторы просто невозможно.
Определение 1. Понятие матричного вектора. Матричным вектором
maV будем называть трехмерную матрицу размера [nxn]xm подобную вектору размерности m , у которого в качестве компонент служат матрицы размером [nxn].
\[ maV (A):= [A1_{n,n}, A2_{n,n}.... Ai_{n,n}....Am_{n,n} ] ; Ai_{n,n} = \begin{pmatrix}
ai_{1,1} & ai_{1,2} & \cdots & ai_{1,n} \\ ai_{2,1} & ai_{2,2} & \cdots & ai_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
ai_{n,1} & ai_{n,2} & \cdots & ai_{n,n} \end{pmatrix} \]
Определение 2. Производная по вектору от матрицы. Далее будем использовать в качестве независимой переменной Х вектор размерности m - \(\vec{X}:= ( x_1,x_2, .... x_m ) \) . В качестве функции будем рассматривать матрицу размерности [nxn]
\[ F_{n,n} = \begin{pmatrix}
F_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & F_{1,n} \\ F_{2,1} & F_{2,2} & \cdots & F_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ F_{n,1} & F_{n,2} & \cdots & F_{n,n} \end{pmatrix} \]
В качестве производной функции-матрицы F по вектору X будем рассматривать матричный вектор, состоящий из матриц производных по координатам вектора Х
\[ \frac{dF}{dx}: = [\frac{ \partial F}{ \partial x_1}, \frac{ \partial F}{ \partial x_2}... \frac{ \partial F}{ \partial x_i}...\frac{ \partial F}{ \partial x_m} ] ; \frac{ \partial F}{ \partial x_i} = \begin{pmatrix}
\frac{ \partial F_{1,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{1,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{1,n}}{ \partial x_i} \\
\frac{ \partial F_{2,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{2,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{2,n}}{ \partial x_i} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{ \partial F_{n,1}}{ \partial x_i} & \frac{ \partial F_{n,2}}{ \partial x_i} & \cdots & \frac{ \partial F_{n,n}}{ \partial x_i} \end{pmatrix} \]
Определение 3. Скалярное произведение матричных векторов. Пусть имеются матричные вектора A размерности [nxn]xm и B размерности [n1xn1]xm, тогда их скалярным произведением <A,B> будем считать матрицу вида \[ <A,B>: = A*B:= \sum_{i=1}^{n} Ai_{n,n} Bi_{n,n} \]
Если n=n1, тогда \( Ai_{n,n} Bi_{n,n}= Ci_{n,n} \) есть обычная матрица [nxn], где \( ci_{j,k} = \sum_{l=1}^{n}ai_{j,l} bi_{l,k} \)
Если n1=1, тогда получаем скалярное произведение матричного вектора A на обычный вектор \(\vec{X}:= ( x_1,x_2, ..... x_m ) \) \[ <A,X>: = A*X:= \sum_{i=1}^{m} Ai_{n,n} xi \]
Пример - скалярное произведение производной от функции F по вектору Х на диффернициал вектора Х. \[< \frac{dF}{dX}, dX >:= \frac {dF}{dX}*dX := \sum_{i=1}^{m}\frac{ \partial F}{ \partial x_i}dx_i \]
