1) Для Кулоновского поля для напряжённости электрического поля в вакууме общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.
СГС: \( Φ_E = 4\pi Q \) СИ: \( Φ_E = \frac{ Q }{ε_0} \)
где
Φ E ≡ ∮S E ⋅ d S — поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность
S .
Q — полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничивает поверхность S .
ε0 — электрическая постоянная.
Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.
Поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда (расположения зарядов) внутри поверхности поэтому в дифференциальной форме теорема Гаусса выражается следующим образом:
СГС: \( div E = \nabla ⋅ E = 4 \pi \rho \) СИ: \( div E = \nabla ⋅ E = \frac{ \rho }{ε_0} \)
Здесь
ρ — объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды — суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а
∇ — оператор набла.
Для точечного заряда соответственно имеем
\( E = \frac{Q}{R^2} \)где E — напряжённость кулоновского поля, Q — электрический заряд внутри поверхности S.
2). Теорема Гаусса для магнитной индукцииПоток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:
ΦB ≡ ∮S B ⋅ d S = 0 ,
или в дифференциальной форме
∇ ⋅ B = 0.
Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов» (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле. Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является (полностью) вихревым.
Если бы магнитные монополи существовали (или если они на самом деле существуют и будут обнаружены), приведенные уравнения имели бы вид (или должны будут принять вид):
ΦB ≡ ∮S B ⋅ d S = Qm ,
∇ ⋅ B = ρm ,
где
Qm , ρm — магнитный заряд (заряд магнитных монополей) и плотность магнитного заряда. Кроме прочего, ничто не запрещает рассмотреть магнитные заряды чисто формально, в духе теоремы Ампера о магнитном листке, когда это удобно для решения какой-то задачи; в этом случае поток, создаваемый формально введенными магнитными зарядами, также удовлетворяет приведенным здесь уравнениям. При этом изменится еще и уравнение Максвелла о законе электромагнитной индукции. (Приведен вид уравнений в полностью рационализированной системе единиц; в зависимости от выбора конкретной системы единиц, в правой части может возникать постоянный множитель, например в обычной гауссовой системе единиц там появится обычный для неё множитель 4 pi )
3). для Ньютоновского поля всемирного тяготения Для напряжённости поля ньютоновской гравитации (ускорения свободного падения) теорема Гаусса практически совпадает с таковой в электростатике, за исключением только констант (впрочем, всё равно зависящих от произвольного выбора системы единиц) и, главное, знака:
\[ Φ_g = \oint\limits_S \vec g \cdot d\vec s = - 4 \pi G M \]
\[ ∇ ⋅ g = − 4 \pi G ρ \]
где g — напряжённость гравитационного поля, M — гравитационный заряд (то есть масса) внутри поверхности S, ρ — плотность массы, G — ньютоновская константа.
Для точечного заряда соответственно имеем
\( g = - G \frac{M}{R^2} \)где g — напряжённость гравитационного поля, M — гравитационный заряд (то есть масса) внутри поверхности S, G — ньютоновская константа.
