Философская аналогия
В философии физики есть такие категории: «явление-сущность-наблюдатель» [3]. В физике наблюдатель познает сущность, исследуя набор явлений. Он воспринимает явления с помощью органов чувств. Информацию о явлениях он получает благодаря «переносчику информации». Таким переносчиком могут служить в физике, например, световые или акустические волны. Эти волны, доставляя информацию к наблюдателю, могут искажать ее содержание из-за условий распространения.
Можно ли в геометрии пространства ввести аналогичные философские категории? Можно, если с определенными ограничениями осторожно использовать аналогию для анализа связей и отношений в геометрии. Здесь философия, оперирующая общими понятиями, подобна в определенном смысле топологии, которая тоже опирается па идеализированные, обобщенные понятия.
Аналогия. Пусть мы имеем два независимых друг от друга трехмерных Евклидовых пространства: EA(x,y.z) и EB(u,v.w). Допустим, что с помощью некоторого оператора преобразования пространства с его координатами, мы можем отобразить трехмерное пространство EB(u,v.w) на внутренность пространства EA(x,y.z). Аналогия показана на рис.1.
Рис. 1. Роль отображаемого объекта (аналог «сущности») играет пространство EB(u,v.w). Роль переносчика информации играет оператор , который отображает пространство ЕВ внутрь пространства ЕА. Роль явления выполняет полученное отображение. Роль «наблюдателя», который регистрирует явление, играет гипотетический наблюдатель в пространстве EA(x,y.z). Для нас важно, чтобы пространство EB(u,v.w) отображалось в EA(x,y.z) как криволинейное пространство
Раскроем оператор :
Пусть u = const; v=const и w = const внутри пространства EВ . В пространстве EВ эти поверхности образуют три семейства ортогональных плоскостей. В пространстве EA мы получаем при отображении семейство «криволинейных» поверхностей, которые в общем случае могут быть не ортогональными.
У нас сейчас нет необходимости накладывать какие-либо специальные требования на оператор . Оператор реализует отображение в одном направлении и требование «взаимной однозначности» преобразования не нужно. Нам важно, чтобы отображение было гладким и дважды дифференцируемым. Обозначим отображение пространства EB внутрь пространства EA как HEBA..
Примечание. В принципе мы могли бы отобразить пространство EB(u,v.w) не на весь объем пространства EA(x,y.z), а на часть пространства. Например, мы могли бы отобразить EB(u,v.w) во внутренность сферы радиуса R , принадлежащей пространству EA(x,y.z).
Итак, мы видим, что внутри Евклидова пространства EA появилось криволинейное отображение пространства EB(u,v.w), т.е. HEBA(x,y.z). Пусть метрический тензор этого криволинейного пространства есть gmn(x,y.z).
Если метрический тензор gik, введенный ранее в параграфе 1, равен метрическому тензору gmn (gik = gmn), тогда мы можем считать оба криволинейных пространства эквивалентными. Они могут отличаться только линейными членами, вторые частные производные которых равны нулю. Эти члены не имеют для нас принципиального характера, поскольку кривизна пространства от них не зависит.
Таким образом, нашу гипотезу о трехмерном Евклидовом пространстве, в которое отобразилось криволинейное пространство, описываемое метрическим тензором gik(x; y; z), можно считать непротиворечивой.
