Условная волновая функция подсистемы
В формулировке теории де Бройля — Бома есть только волновая функция всей Вселенной (которая всегда эволюционирует в соответствии с уравнением Шредингера). Вместе с тем следует отметить, что «Вселенная» — это просто система, ограниченная теми же граничными условиями, что используются для решения уравнения Шредингера. Однако, как только теория сформулирована, удобно ввести понятие волновой функции также для подсистем Вселенной. Запишем волновую функцию Вселенной, как \( {\displaystyle \psi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} })} \), где
qI обозначает конфигурацию переменных, связанных с некоторой подсистемой (I) Вселенной и
qI I обозначает остальные переменные конфигурации. Обозначим, соответственно,
QI ( t ) и
Q I I ( t ) фактическую конфигурацию подсистемы (I) и остальной Вселенной. Для простоты мы рассмотрим здесь только случай с бесспиновыми частицами. Условная волновая функция подсистемы (I) определяется по формуле:
\[ {\displaystyle \psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })=\psi (t,q^{\mathrm {I} },Q^{\mathrm {II} }(t)).} \]
Это незамедлительно следует из того факта, что
Q ( t ) = ( Q I ( t ) , Q I I ( t ) ) удовлетворяет управляющему уравнению. Ему также удовлетворяет конфигурация
Q I ( t ), идентичная той, которая представлена в формулировке теории, но с универсальной волновой функцией \( \psi \) замененной на условную волновую функцию
ψ I. Кроме того, тот факт, что
Q(t) является случайной с плотностью вероятности, заданной квадратом модуля
ψ ( t , ⋅ ) предполагает, что условные плотности вероятности
QI ( t ) данной
Q I I ( t ) дается квадратом модуля вектора (нормированной) условной волновой функции
ψ I ( t , ⋅ ) (в терминологии Дюра и соавт. этот факт называется фундаментальной формулой условной вероятности).
В отличие от универсальной волновой функции, условная волновая функция подсистемы не всегда (но часто) эволюционирует в соответствии с уравнением Шредингера. Например, если универсальная волновая функция разлагается в произведение как:
\[ {\displaystyle \psi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} })=\psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })\psi ^{\mathrm {II} }(t,q^{\mathrm {II} })} \]
тогда условная волновая функция подсистемы (I) с точностью до неактуального скалярного множителя равна
ψ I (это то, что стандартная квантовая теория будет рассматривать как волновую функцию подсистемы (I)). Если, кроме того, гамильтониан не содержит взаимодействия между подсистемами (I) и (II), значит
ψI удовлетворяет уравнению Шредингера. В более общем смысле, предположим, что универсальная волновая функция
\psi записана в виде:
\[ {\displaystyle \psi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} })=\psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })\psi ^{\mathrm {II} }(t,q^{\mathrm {II} })+\phi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} }),} \]
где \( \phi \) решает уравнение Шредингера и \( {\displaystyle \phi (t,q^{\mathrm {I} },Q^{\mathrm {II} }(t))=0} \) для всех
t и
qI. Далее, опять же, условная волновая функция подсистемы (I) с точностью до неактуального скалярного множителя равна
ψI и, если гамильтониан не содержит взаимодействия между подсистемами (I) и (II),
ψI, удовлетворяет уравнению Шредингера.
Тот факт, что условная волновая функция подсистемы не всегда эволюционирует в соответствии с уравнением Шредингера связан с тем, что обычное правило редукции в стандартной квантовой теории возникает из Бомовского формализма при рассмотрении условных волновых функций подсистем.
