Олимпиадная задачка для 9 класса.

[Иван Горин]

Имеется 5 ненулевых чисел. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что пять сумм положительны и пять отрицательны. Сколько произведений положительны и сколько — отрицательны?

[Ost]

Имеется 5 ненулевых чисел. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что пять сумм положительны и пять отрицательны. Сколько произведений положительны и сколько — отрицательны?

[Иван Горин]

Есть и более простой способ.Решаем системы неравенств и определяем знаки чисел.
Например, определим знак числа a1.
Сложим неравенства 2 и 3.
2a1+a3+a4>0
2a1>-(a3+a4)
Из (8) a3+a4<0
Значит a1>0
И так далее.

[Dachnik]

Остается показать, что 5 чисел в таких сочетаниях дадут 5 положительных и 5 отрицательных произведений.

[Иван Горин]

Остается показать, что 5 чисел в таких сочетаниях дадут 5 положительных и 5 отрицательных произведений.

Михаил Ост показал, что положительных произведений четыре.
Остаётся и моим способом найти сколько положительных произведений. Начало я показал.

[Dachnik]

Значит решение Оста не удовлетворяет условиям задачи.
Откуда вы взяли эту задачу?
Может в оригинале такого условия нет.

[Иван Горин]

Значит решение Оста не удовлетворяет условиям задачи.
Откуда вы взяли эту задачу?
Может в оригинале такого условия нет.

Ост привёл решение из условий задачи.
Условия приведены в начале темы.
Откуда взялась задача, я тоже указал.

[Alexpo]

Имеется 5 ненулевых чисел. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что пять сумм положительны и пять отрицательны. Сколько произведений положительны и сколько — отрицательны?

Я бы решал проще:
4 числа одного знака образуют 6 сумм одного знака. Значит, чтобы число сумм одного знака было 5, разделение 5 чисел должно быть таким: 3 числа одного знака и 2 другого (3 положительных и 2 отрицательных или наоборот).

В этом случае получим 6 отрицательных произведений и 4 положительных

Всё!

P.S. Можно решить задачу и при наличии 0 (он может быть только 1, иначе не наберем нужное число сумм). Тогда должно быть ещё 2 положительных и 2 отрицательных числа, так что среди произведений будет 4 нуля, 4 отрицательных и 2 положительных.

[Alexpo]

Остается показать, что 5 чисел в таких сочетаниях дадут 5 положительных и 5 отрицательных произведений.

Сразу ясно, что так быть не может.

Доказательство:
При разбиении 5 = a + b число чисел разного знака будет  a*b
Но либо a, либо b будет четным, следовательно  a*b - чётное и 5 равно быть не может.

[Dachnik]

Ост привёл решение из условий задачи.
Условия приведены в начале темы.
Откуда взялась задача, я тоже указал.

У меня опечатка.
Я хотел спросить, как по условию задачки из 5 разных чисел получается пять положительных сумм (не произведений) и пять отрицательных.
Цитирую условие.

Оказалось, что пять сумм положительны и пять отрицательны.

[Alexpo]

Я хотел спросить, как по условию задачки из 5 разных чисел получается пять положительных сумм (не произведений) и пять отрицательных.

Элементарно, берём числа: 1, 3, 4 и -2, -5

[Dachnik]

Элементарно, берём числа: 1, 3, 4 и -2, -5

Отрицательных сумм 5, а положительных сколько.

[Alexpo]

Отрицательных сумм 5, а положительных сколько.

Не смогли сосчитать?!

Ну уж постарайтесь!

[Иван Горин]

У меня опечатка.
Я хотел спросить, как по условию задачки из 5 разных чисел получается пять положительных сумм (не произведений) и пять отрицательных.
Цитирую условие.

Число сочетаний без повторений из 5 по два равно 10. Эти сочетания привёл Ост.

[Alexpo]

А число положительных сумм 5 и отрицательных сумм 5 привел Горин.

Ну, так я и привел соответствующий пример.

[Alexpo]

Михаил Ост показал, что положительных произведений четыре.

Мой способ даёт столько же.

[Иван Горин]

Мой способ даёт столько же.

А на dxdy эту задачу так и не довели до конца. Заглохла и отправлена в карантин.

[Alexpo]

А на dxdy эту задачу так и не довели до конца. Заглохла и отправлена в карантин.

Странно. Она легко решается логически, без сложностей, как у Оста. Поэтому и дана для 9 класса.

[Иван Горин]

Странно. Она легко решается логически, без сложностей, как у Оста. Поэтому и дана для 9 класса.

Эта тема была в подразделе "Помогите решить, разобраться" Готовое решение приводить нельзя. Можно  предложить какой-либо метод или подсказку. Было несколько предложений, в том числе и моё. Но автор задачи не смог приступить к решению, и его тема была отправлена в карантин.

[Dachnik]

Мой способ даёт столько же.

А сколько даст  два положительных и три отрицательных
-1+ 2 -3 -4 + 5