А вот для второго появляется нелинейный дифур второй степени, который не хочет упрощаться и не особенно поддается для явного решения. Даже сомнительно, что у вас оно верное.
Диффуры у меня сводятся к линейным неоднородным 1-го порядка.
Использую стандартные обозначения: \(N\) - сила нормальной реакции цилиндра, \(F\) - сила, противоположная направлению скорости ЦМ тела \(v\) (при отсутствии проскальзывания это касательная сила сцепления, при проскальзывании - сила трения скольжения).
Уравнения движения
\(\displaystyle m\frac{dv}{dt}=mg\sin\theta -F, \qquad -\frac{mv^2}{R}=N-mg\cos\theta,\) (1)
где \(R\) - радиус окружности, по которой движется ЦМ. Итак, вначале рассматриваем участок, на котором проскальзывания нет. Для него \(F<\mu N\). Уравнение вращательного движения \(Fr=J d\omega/dt\), но \(v-\omega r=0\) (нет проскальзывания!) и \(J=\alpha mr^2\). Тогда
\(\displaystyle F=\alpha m\frac{dv}{dt}.\) (2)
В результате диффура принимает вид
\(\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{g\sin\theta}{1+\alpha}.\) (3)
Дальше идет замена независимой переменной и функции
\(\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\frac{dv}{d\theta}=\frac{v}{R}\frac{dv}{d\theta}=\frac{1}{R} \frac{d\varepsilon}{d\theta}, \qquad \varepsilon\equiv \frac{v^2}{2}.\) (4)
Величина \(\varepsilon\) очевидно имеет смысл кинетической энергии поступательного движения на единицу массы. Получаем \(d\varepsilon/d\theta=gR\sin\theta /(1+\alpha)\), и так как \(\varepsilon(0)=0\), то
\(\displaystyle v^2=2\varepsilon =\frac{2gR}{1+\alpha}(1-\cos\theta).\) (5)
Из второго из уравнений (1) при учете (5) находим силу нормальной реакции в зависимости от угла
\(\displaystyle N=\frac{mg}{1+\alpha}[(3+\alpha)\cos\theta -2],\)
а из (2) и (3) - силу \(F\)
\(\displaystyle F=\frac{\alpha mg\sin\theta}{1+\alpha}.\)
Проскальзывание начинается при таком угле \(\theta=\theta_1\), при котором \(F=\mu N\):
\(\displaystyle \mu (3+\alpha)\cos\theta_1 =2\mu+\alpha\sin\theta_1.\) (6)
Возводим обе части (6) в квадрат и находим \(\sin\theta_1\), а затем с повторным использованием (6) и \(\cos\theta_1\):
\(\displaystyle \sin\theta_1=\mu\frac{(3+\alpha)\sqrt{d}-2\alpha}{(3+\alpha)^2\mu^2+\alpha^2}, \qquad \cos\theta_1=\frac{\alpha\sqrt{d}+2(3+\alpha)\mu^2}{(3+\alpha)^2\mu^2+\alpha^2},\) (7)
где введено обозначение \(d\equiv (1+\alpha)(5+\alpha)\mu^2+\alpha^2\). Первая часть задачи решена.
