Коэффициент расширения можно вычислить из уравнения \(\displaystyle S(T)-S(T_v)-R~ln\left(\frac{T}{T_v}\right)=-R~ln(k)\).
\((1)\)Это следует из закона изменения энтропии в процессе с идеальным газом
\(\displaystyle \Delta S=\int \limits_{T_{v}}^{T} \frac{c_v(T)}{T}~dT+R~ln \left(k \right)\). В адиабатном процессе \(\Delta S=0\).
\(\displaystyle A_{\nu}(T)=H(T)-RT-H(T_v)+RT_v~-\) работа газа на один моль.
\((2)\)Работа совершается за счёт внутренней энергии и
\((2)\) соответствует интегралу
\(\displaystyle \int \limits_{T_v}^{T} c_v(T)~dT\).
\(\displaystyle \nu(k)=\frac{p_{max}~V_{max}}{k~RT_v}~-\) количество молей газа.
\((3)\)Работа газа в количестве \(\nu(k)\)
\(\displaystyle A(k)=A_{\nu}(T)~\nu(k)\).
\((4)\)Для вычисления максимальной работы дифференцируем
\((4)\) по \(k\) и приравниваем к нулю.
\(\displaystyle C_v(T) \frac{dT}{dk} \nu (k)-A_{\nu}(T)~\frac{p_{max}~V_{max}}{k^2~RT_v}=0\).
Производную \(\displaystyle \frac{dT}{dk}\) находим из
\((1)\) дифференцированием \(\displaystyle \frac{C_v(T)}{T} \frac{dT}{dk}=-\frac{R}{k}\).
\(\displaystyle \frac{dT}{dk}=-\frac{R}{k}\frac{T}{C_v(T)}\).
\(\displaystyle -C_v(T)~\frac{R}{k}\frac{T}{C_v(T)} \frac{p_{max}~V_{max}}{k~RT_v} -A_{\nu}(T)~\frac{p_{max}~V_{max}}{k^2~RT_v}=0\).
\(\displaystyle \left(RT+A_{\nu}(T)\right)\frac{p_{max}~V_{max}}{k^2~RT_v}=0\); \(\displaystyle RT+A_{\nu}(T)=0\).
Подставляем
\((2)\) \(\displaystyle H(T_k)-H(T_v)+RT_v=0\).
\((5)\) Получили удобное выражение через стандартную функцию энтальпии.
Изменение энтальпии в этом процессе равно \(\displaystyle \Delta H = -RT_v\).
\((6)\)Приблизительно через среднюю изобарную теплоёмкость будет \(\displaystyle C_p~(T_k-T_v) = -RT_v\).
\(\displaystyle C_p~T_k = C_v~T_v\);
\(\displaystyle T_k = \frac{T_v}{\gamma_{ср}}\), где
\(\gamma_{ср}~-\) примерно средняя адиабата в диапазоне температур \(T_k,~T_v\).
Коэффициент расширения \(\displaystyle k=exp\left(-\frac{S(T_k)-S(T_v)}{R}+ln \left(\frac{T_k}{T_v}\right)\right)\).
\((7)\)Информацию о термодинамических функциях смотрите по ссылке
https://www.nist.gov/srd\(\displaystyle \Delta H(Q,T)=H(Q,T)-H°_{298.15}=Q_0\left(\frac{T}{1000}\right)+\frac{1}{2} Q_1\left(\frac{T}{1000}\right)^2+\frac{1}{3}Q_2\left(\frac{T}{1000}\right)^3+\frac{1}{4}Q_3\left(\frac{T}{1000}\right)^4-Q_4\left(\frac{T}{1000}\right)^{-1}+Q_5-Q_7\) \(кДж/моль\),
где \(Q=(A,~...~,H)~-\) вектор данных.
Например для азота
https://webbook.nist.gov/cgi/cbook.cgi?ID=C7727379&Units=SI&Mask=1#Thermo-GasАзот.
Temperature (K) 100. - 500. 500. - 2000. 2000. - 6000.
A 28.98641 19.50583 35.51872
B 1.853978 19.88705 1.128728
C -9.647459 -8.598535 -0.196103
D 16.63537 1.369784 0.014662
E 0.000117 0.527601 -4.553760
F -8.671914 -4.935202 -18.97091
G 226.4168 212.3900 224.9810
H 0.0 0.0 0.0
Cp° = A + B*t + C*t2 + D*t3 + E/t2
H° − H°298.15= A*t + B*t2/2 + C*t3/3 + D*t4/4 − E/t + F − H
S° = A*ln(t) + B*t + C*t2/2 + D*t3/3 − E/(2*t2) + G
Cp = heat capacity (J/mol*K)
H° = standard enthalpy (kJ/mol)
S° = standard entropy (J/mol*K)
t = temperature (K) / 1000.
...
