Что такое число и что такое значение (величина)?

[Мастеров АВ]

Что такое число и что такое значение (величина)?

Числа бывают разные: Натуральные (целые, больше нуля \(1,2,3...\))
Целые (это тоже, что и натуральные, но с нулём и отрицательные)
Рациональные числа (которые можно представить в виде дроби целых чисел)
Иррациональные числа (\(\pi=3,141592...\) - нельзя записать в виде отношения целых чисел)
Действительные числа (совокупность всех выше перечисленных чисел)
Комплексные числа (об этом потом)

Натуральные, Целые и Рациональные числа, это
конкретные значения, в принятой нами записи, а вот
Иррациональные числа (в записи с десятичной запятой)
обозначают диапазон значений.

Поясню
Когда мы говорим "корень из трех" (\(\sqrt{3}\)) мы имеем в виду
конкретное значение, но записать его
(в виде цифровой последовательности)
возможности не имеем. Мы говорим, что
"корень из трех, это около \(1.73...\)".
(указываем диапазон значений)

Так с любым Иррациональным числом.
Т.е., \(\pi\) - конкретное значение, но
его запись в виде последовательности цифр -
\(\pi=3,141592...\) - диапазон значений.

Комплексные числа
Их придумали математики, чтобы арифметические операции
были определены на всём множестве чисел.

Поясню
Из любого числа можно извлечь корень квадратный,
если это число не отрицательное.

Математики посчитали неправильным, несправедливым, то
что нельзя с отрицательными числами проделывать
какие-то математические операции, и придумали
Комплексные числа

Они сказали, что станут обозначать буквой \(i=\sqrt{-1}\)
А это значит, что \(i^2=-1\) - полная (какая-то) хрень...

Дальше - больше....
Математики определили произведение  Комплексных чисел:
\((a+ib)(c+id)=ac+ i(bc+ac)+ i^2bd=ac-bd+ i(bc+ac)\)
Т.е., произведение комплексных чисел есть комплексное число.
(для математики и математиков это ох... как круто)

Позже (для удобства) придумали
комплексно сопряжённое число.
Т.е., если есть комплексное число \(z=a+ib\)
то его КСЧ \(z^*=a-ib\)

Ну и нахрена ?
Да ну я ж сказал - для удобства.
Делдо в том, что если умножить КЧ на его сопряжённое:
\(zz^*=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2\) - да это ж... это ж - теорема Пифагора !

Это значит, что КЧ можно изображать на плоскости !

Обратите внимание: \(r^2=zz^*=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2\)

А на картинке есть ещё и угол \(\varphi\),
а значит - можно записать КЧ в полярных координатах:
\(z=x+iy=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi}\) - об этом я ещё расскажу (может быть) позже.

А как поделить одно комплексное число на другое
\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{x+iy}{p+iq}=\frac{(x+iy)(p-iq)}{(p+iq)(p-iq)}=\frac{xp+yq-i(xq-yp)}{p^2+q^2}=\frac{xp+yq}{p^2+q^2}-i\frac{xq-yp}{p^2+q^2}\)

А как возвести в степень или извлечь корень ?
Проще всего воспользоваться вот этим выражением:
\(z=x+iy=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi}\)

тогда:
\(z^n=(x+iy)^n=re^{in\varphi}=r^n(\cos{n\varphi}+i\sin{n\varphi})\)
и пока \(n\) целое - всё просто и понятно, а вот если нужно извлечь корень...

\(z^{1/n}=(x+iy)^{1/n}=re^{i(\varphi+2\pi)/n}=r^{1/n}(\cos{((\varphi+2\pi)/n)}+i\sin{((\varphi+2\pi)/n)}=\\
=r^{1/n}\left[\cos{\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n}\right)}\right]\)
результат этой операции оказывается неоднозначным.

ПРИМЕР:
\(\begin{equation*}
\sqrt{3+i4} =
 \begin{cases}
   2+i\\
   -2-i
 \end{cases}
\end{equation*}\)

Проверим: \((2+i)^2=3+i4\)
и \((-2-i)^2=3+i4\)

А если извлекать корень (к примеру) пятой степени,
то и вариантов на выходе будет пять.
Графически это будет выглядеть так:


Если вас заинтересовали комплексные числа: читайте википедию

[Мастеров АВ]

Обсудим выражение
\(z=x+iy=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi}\)

Это три разные формы записи комплексного числа,
но и (в то же время) нечто большее.

Ща покажу
Вспомним разложение экспоненты в ряд Тейлора:
\(e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\)

Заменим: \(x=i\varphi\)
\(e^{i\varphi}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{i^n\varphi^n}{n!}\)

Разобьём сумму на две суммы - чётные и не чётные \(n\).

\(e^{i\varphi}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{i^n\varphi^n}{n!}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\varphi^{2k}}{(2k)!!}+i\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\varphi^{2k+1}}{(2k+1)!!}\)

Ах... Ахренеть!
Смотрите, что мы получили:
\(e^{i\varphi}=1-\frac{\varphi^2}{2!}+\frac{\varphi^4}{4!}-...i\left(\varphi-\frac{\varphi^3}{3!}+\frac{\varphi^5}{5!}-...\right)\)

Так это ж... Это ж синус и косинус !
\(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi=\)

Ахренеть !!!

[Мастеров АВ]

Я не стал дописывать в название темы: Что такое цифра ?

С одной стороны (ежику понятно): цифры, это такие буквы,
которые обозначают: 1 - один, 2 - два ... 9 - девять.
А есть ещё 0 - ноль.

Но это в десятичном счёте.
А ведь есть много других счётов.
В двоичном только две цифры: 0 и 1.
В восьмеричном нет 8 и 9.
А вот в 16-ричном кроме 0,1,3...9
есть ещё A,B,C,D,E,F.

Есть 36-ричный счёт, в котором 36 цифр: 0,1,3...9A,B,C,D,E,F,G,H...Z
(JavaScript его понимает)
\(\pi=3,1415926535897932384626433832795\) - десятичный
\(\pi=11,0010010000111111011010101000100010000101101000110000100011010\) двоичный
\(\pi=3,22077325042055060432\) восьмеричный
\(\pi=3,0487ED5110B4611A\) 16-тиричный

Если бы у нас на руках было по одному пальцу меньше,
мы бы пользовались 8-ричным счётом, и о существовании
(дурацкого) десятичного счёта просто не знали бы.

А если бы на руках было по одному пальцу больше -
пользовались бы 12-ричным счётом, кторый
много удобнее дестичного, поскольку 12
делится на 2, 3, 4 и 6.

А 10 делится только на 2 и на 5.
(именно по этой причине на циферблате у нас 12 часов и 60 минут)
60 делится ещё на 5, 10, 15, 20, 30.