Автор Тема: Вычислить энергию диска  (Прочитано 1408 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1068
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Вычислить энергию диска
« : 01 Март 2020, 16:37:46 »
Вычислить кинетическую энергию сплошного диска радиуса \(r_0\), вращающегося на тросе
длинной \(L\) с угловой скоростью \(\omega\). Толщина диска \(h\). Масса диска \(m\).
Плоскость диска находится в плоскости вращения (задача связана со спором о вращении луны).

Большой Форум

Вычислить энергию диска
« : 01 Март 2020, 16:37:46 »
Загрузка...

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3634
  • Страна: de
  • Рейтинг: +535/-930
  • Пол: Мужской
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #1 : 01 Март 2020, 22:41:55 »
Вычислить кинетическую энергию сплошного диска радиуса \(r_0\), вращающегося на тросе
длинной \(L\) с угловой скоростью \(\omega\). Толщина диска \(h\). Масса диска \(m\).
Плоскость диска находится в плоскости вращения (задача связана со спором о вращении луны).
\[\displaystyle \frac{m\omega ^2(L+r_0)^2}{2}\]
Если трос привязан к ободу диска.
Диск не вращается вокруг своей оси, как и Луна, поэтому кинетическую энергию вращения не учитываем.
Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1068
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #2 : 01 Март 2020, 23:56:49 »
\[\displaystyle \frac{m\omega ^2(L+r_0)^2}{2}\]
Если трос привязан к ободу диска.
Диск не вращается вокруг своей оси, как и Луна, поэтому кинетическую энергию вращения не учитываем.
Цитировать (выделенное)
... поэтому кинетическую энергию вращения не учитываем.
А если не делать такое предположение и вычислить энергию из более общих соображений, например так:
Кинетическая энергия при вращении тела равна \(\displaystyle E =\frac{J~ \omega^2}{2}\), момент инерции равен \(\displaystyle J= \int \limits_m r_m^2~dm \),
где \( r_m~-\) радиус элемента массы от оси вращения; \( dm~-\) элемент массы диска.

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3634
  • Страна: de
  • Рейтинг: +535/-930
  • Пол: Мужской
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #3 : 02 Март 2020, 13:56:20 »
А если не делать такое предположение и вычислить энергию из более общих соображений, например так:
Кинетическая энергия при вращении тела равна \(\displaystyle E =\frac{J~ \omega^2}{2}\), момент инерции равен \(\displaystyle J= \int \limits_m r_m^2~dm \),
где \( r_m~-\) радиус элемента массы от оси вращения; \( dm~-\) элемент массы диска.
Момент инерции сплошного диска не зависит от толщины и равен:
\[\displaystyle J=\frac{mr^2}{2}\]
В данной задаче (вращение на тросе) угловая скорость вращения диска вокруг собственной оси равна нулю. \(\displaystyle \Omega =0\)
И кинетическая энергия вращения вокруг своей оси равна нулю.

Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1068
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #4 : 02 Март 2020, 14:59:14 »
Момент инерции сплошного диска не зависит от толщины и равен:
\[\displaystyle J=\frac{mr^2}{2}\]
В данной задаче (вращение на тросе) угловая скорость вращения диска вокруг собственной оси равна нулю. \(\displaystyle \Omega =0\)
И кинетическая энергия вращения вокруг своей оси равна нулю.
Суммарный момент инерции будет равен
\(\displaystyle J=m~(L+r_0)^2+\frac{m~r_0^2}{2}\).

Подставляем в формулу кинетической энергии
\(\displaystyle E =\frac{J~ \omega^2}{2} = \frac{\left(m~(L+r_0)^2+\frac{m~r_0^2}{2}\right)~\omega^2}{2}= \frac{m~(L+r_0)^2~ \omega ^2}{2}+\frac{m~ r_0^2~\omega^2}{4}\).


Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3634
  • Страна: de
  • Рейтинг: +535/-930
  • Пол: Мужской
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #5 : 02 Март 2020, 17:49:51 »
Суммарный момент инерции будет равен
\(\displaystyle J=m~(L+r_0)^2+\frac{m~r_0^2}{2}\).

Подставляем в формулу кинетической энергии
\(\displaystyle E =\frac{J~ \omega^2}{2} = \frac{\left(m~(L+r_0)^2+\frac{m~r_0^2}{2}\right)~\omega^2}{2}= \frac{m~(L+r_0)^2~ \omega ^2}{2}+\frac{m~ r_0^2~\omega^2}{4}\).


Михаил, значит ты считаешь, что если трос прицеплен к ободу диска, то он вращается вокруг своей оси.
Как это возможно физически?
Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1068
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #6 : 03 Март 2020, 13:48:58 »
Михаил, значит ты считаешь, что если трос прицеплен к ободу диска, то он вращается вокруг своей оси.
Как это возможно физически?
Вращаются все точки диска и троса.
Если в любой точке троса или диска нарисовать вектор, в плоскости вращения, то он будет вращаться относительно ИСО.
Любой малый элемент диска и троса совершает поступательное и вращательное движение и эти движения независимы по кинематике.   

Задача на вычисление энергии диска, показывает это достаточно убедительно.
Невозможно противоречить принципам динамики вращательного движения.

Надо обратить внимание на следующие признаки вращения луны:
Например, на луне наблюдатель видит суточное вращение звёзд, т.е наблюдатель вращается относительно собственной оси;
Орбитальная угловая скорость луны только в среднем равна угловой скорости вращения луны, что приводит к либрации по долготе;
Ось вращения луны не перпендикулярна плоскости орбиты, что приводит к либрации по широте.

Оффлайн severe

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3212
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +37/-5
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #7 : 03 Март 2020, 14:27:34 »
Любой малый элемент диска и троса совершает поступательное и вращательное движение и эти движения независимы по кинематике.
А если пользоваться таким определением собственного вращательного движения, согласно которому любой малый элемент вращается вокруг своей оси только, если его точки пересекают линию его орбиты, то диск в рассматриваемой задаче не вращается вокруг своей оси. Это было определение собственного вращения по Тесла.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1068
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #8 : 03 Март 2020, 14:54:38 »
А если пользоваться таким определением собственного вращательного движения, согласно которому любой малый элемент вращается вокруг своей оси только, если его точки пересекают линию его орбиты, то диск в рассматриваемой задаче не вращается вокруг своей оси. Это было определение собственного вращения по Тесла.
Все движения вычисляются относительно ИСО, а не орбиты.
Определение Тесла противоречит динамике вращения твёрдого тела.


Оффлайн severe

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3212
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +37/-5
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #9 : 03 Март 2020, 15:19:28 »
Все движения вычисляются относительно ИСО, а не орбиты.
Определение Тесла противоречит динамике вращения твёрдого тела.
Противоречит ли определение Тесла кинематике вращательного движения?

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1068
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #10 : 03 Март 2020, 15:24:31 »
Противоречит ли определение Тесла кинематике вращательного движения?
В уравнении кинетической энергии есть угловая скорость и она по Тесла равна нулю, соответственно противоречит.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1068
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #11 : 03 Март 2020, 23:28:16 »
Вычисление момента инерции.

Если считать \(R=L+r_0\), то можно записать \(\vec r_m=\vec R+\vec r\).

\(\displaystyle J= \int \limits_m r_m^2~dm = \int \limits_m (\vec R+\vec r)^2~dm = \int \limits_m (R^2+r^2+2 \vec R~\vec r)~dm = R^2 \int \limits_m dm + \int \limits_m r^2~dm+2 \int \limits_m \vec R~\vec r~dm = m~R^2+ \int \limits_m r^2~dm+2R \int \limits_m  r~ cos(\alpha)~dm\).

\(dm=\rho ~r~d \alpha~dr~dh\), где \(\rho~-\) плотность диска; \(\alpha~-\) угол между вектором \(\vec r\) и \(\vec R\).

Вычисляем интегралы

\(\displaystyle \int \limits_m  r~ cos(\alpha)~dm =\rho \int \limits_V  r^2~ cos(\alpha)~d \alpha~dr~dh = \rho \int \limits_{0}^h  dh \int \limits_{0}^{r_0} r^2~ dr \int \limits_{0}^{2 \pi} cos(\alpha)~d \alpha =sin(\alpha)~  \Bigg| _{0}^{2 \pi}~ \rho \int \limits_{0}^h  dh \int \limits_{0}^{r_0} r^2~ dr =0\)

\(\displaystyle  \int \limits_m r^2~dm =  \rho \int \limits_V r^3~d \alpha~dr~dh = \rho \int \limits_{0}^{2 \pi} d \alpha \int \limits_{0}^{h} dh \int \limits_{0}^{r_0} r^3~dr =\rho~2 \pi~h~\frac{1}{4} r^4 \Bigg| _{0}^{r_0}=\frac{1}{2}m~r_0^2\).

\(\displaystyle J=m~R^2+\frac{m~r_0^2}{2}\).
« Последнее редактирование: 05 Март 2020, 17:28:29 от Ost »

Оффлайн severe

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3212
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +37/-5
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #12 : 04 Март 2020, 19:32:46 »
Все движения вычисляются относительно ИСО
То, что ИСО бывают декартовыми общеизвестно. А бывают ли полярные (цилиндрические) ИСО? Вроде как в Вашей задаче диск вращается вокруг собственной оси в декартовой, но не вращается вокруг собственной оси в цилиндрической системе координат.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1068
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #13 : 04 Март 2020, 23:22:08 »
То, что ИСО бывают декартовыми общеизвестно. А бывают ли полярные (цилиндрические) ИСО? Вроде как в Вашей задаче диск вращается вокруг собственной оси в декартовой, но не вращается вокруг собственной оси в цилиндрической системе координат.
СО может быть любой системы: цилиндрическая, декартова и др.
Это вопрос математического и физического удобства. Выбирайте любую.
Диск вращается в ИСО. Если мы ось системы координат проведём через трос, то
получится неИСО и диск в ней не будет вращаться.

Оффлайн severe

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3212
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +37/-5
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #14 : 04 Март 2020, 23:40:49 »
СО может быть любой системы: цилиндрическая, декартова и др.
Это вопрос математического и физического удобства. Выбирайте любую.
Диск вращается в ИСО. Если мы ось системы координат проведём через трос, то
получится неИСО и диск в ней не будет вращаться.
Т.е, по-Вашему, ИСО не может быть цилиндрической? Ведь цилиндрическая СО имеет вращающуюся ось координат, называемую полярной.
Контраргумент, не всё ли равно в каких координатах, мы будем задавать положение точек в инерциальном относительном пространстве, декартовых или цилиндрических?
« Последнее редактирование: 04 Март 2020, 23:46:53 от severe »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1068
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #15 : 04 Март 2020, 23:46:00 »
Т.е, по-Вашему, ИСО не может быть цилиндрической? Ведь цилиндрическая СО имеет вращающуюся ось, называемую полярной.

Цитировать (выделенное)
Т.е, по-Вашему, ИСО не может быть цилиндрической?

Может быть любой.

Цитировать (выделенное)
Ведь цилиндрическая СО имеет вращающуюся ось, называемую полярной.

Может и не вращаться, зависит от выбора между ИСО и неИСО.

Оффлайн severe

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3212
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +37/-5
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #16 : 04 Март 2020, 23:50:23 »
Может и не вращаться, зависит от выбора между ИСО и неИСО.
Если в цилиндрической ИСО мы рассматриваем движение точки (по окружности), то полярная ось координат не может не вращаться.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1068
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #17 : 04 Март 2020, 23:54:44 »
Если в цилиндрической ИСО мы рассматриваем движение точки (по окружности), то полярная ось координат не может не вращаться.
Она к вращению не имеет отношения. Просто ось z. Она не знает, что там вращается.
Это не вектор угловой скорости.
« Последнее редактирование: 04 Март 2020, 23:56:42 от Ost »

Оффлайн severe

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3212
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +37/-5
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #18 : 05 Март 2020, 00:03:44 »
Она к вращению не имеет отношения. Просто ось z. Она не знает, что там вращается.
Это не вектор угловой скорости.
Ось z - это высота. Полярная ось цилиндрических координат - это не ось z.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1068
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #19 : 05 Март 2020, 00:08:27 »
Ось z - это высота. Полярная ось цилиндрических координат - это не ось z.
Оси вращаться могут только в неИСО.

Большой Форум

Re: Вычислить энергию диска
« Ответ #19 : 05 Март 2020, 00:08:27 »
Loading...